В. А. Жилкин

На эпюре нормальных сил силы заданы в ньютонах, а на эпюре нормальных напряжений – в МПа.

Полное удлинение стержня составило 39 мм.

8.2.2. Перемещения узлов стержневых систем

Перемещения узлов стержневых систем определяются по известным удлинениям и укорочениям стержней, сходящихся в рассматриваемый узел.

322

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

Пусть, например, требуется найти перемещение шарнира C кронштейна, изображенного на рис. 8.8, а. Перемещение шарнира C определяется перемещениями точки C стержней 1 – L1 , и 2 – L2 , которые в свою очередь зависят от внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях стержня. Для определения усилий N1 и N2 в стержнях кронштейна воспользуемся методом вырезания узлов.

а

б

в

Рис. 8.8

Выделим узел C, приложив к нему заданную силу P

иреакции связи N1 и N2 – внутренние усилия в стержнях 1

и2 (рис. 8.8, б). Так как система сил, приложенная к узлу C, сходящаяся, то она должна удовлетворять двум условиям равновесия:

X 0 : N1 cos N2 cos 0 ;

Y 0 : N1 sin N2 sin Р 0 .

Откуда

	N	P cos	; N	P cos	.
		sin		sin
	1		2

323

В. А. Жилкин

Так как углы и по модулю меньше 2 , то усилие N1 растягивающее, а усилие N2 сжимающее. В соответствии с зависимостью (5.4) находим изменения длин стержней:

L1 N1L1 ; L2 N2L2 . E1F1 E2F2

Длина первого стержня увеличивается на L1 , длина второго уменьшается на L2 .

Для нахождения положения шарнира C после деформации стержней следует мысленно разъединить их, отложить по направлениям стержней величины L1 и L2 и, вращая стержни вокруг центров D и E, вновь свести их вместе в точке C1 .

Таким образом, положение шарнира C1 после деформации находится на пересечении дуг, проведенных из центров D

и E радиусами ( L1 L1 ) и ( L2 L2 ). В силу малости удлинений (укорочений) можно дуговые засечки заменить перпен-

дикулярами, проведенными из торцов деформированных

стержней. Расстояние между точками C и C1	соответствует
величине вектора перемещения r ui vj ,	где i и j –

орты координатных осей x и y соответственно, а u и v – величины перемещений в направлении этих осей.

Для определения компонент u и v вектора перемещения r спроектируем их на удлинения стержней 1 и 2 (рис. 8.8, в):

L1 u cos v sin ;

L2 u cos v sin .

В этих зависимостях под L1 и L2 понимаются абсолютные значения приращений длины стержней, так как на рис. 8.8, в мы уже учли знаки этих приращений: стержень 1 удлиняется, а стержень 2 укорачивается.

Решая полученную систему уравнений относительно неизвестных u и v, найдем

324

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

L1 sinL2 sin

cos sincos sin

		cos	L1
		cos	L2
		cos	sin
	cos		sin

L1 sin L2 sin ; sin

	L1 cos L2 cos .
	sin

Данный метод решения системы линейных уравнений был предложен Г. Крамером49, а потому носит его имя.

Модуль вектора перемещения r и его направление (угол ) определяются в соответствии с формулами векторной алгебры.

r	u2 v2		L21	L22	2 L1	L2 cos	;
					sin

		tg v	L1 cos L2 cos .
		u	L sin L sin
			1	2
Пример 8.5. Пусть для кронштейна, изображенного на рис. 8.8: F1 2
F 4	см2,	E 2 105 МПа		(сталь),	E2 0.84 105
2		1		2 м, L	2	м, P 40
(медь):		45o , 15o , L
			1	2

см2, МПа кН.

49

Крамер Габриэль (31.07.1704–04.01.1752) – швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры. Около 1740 года Иоганн Бернулли поручает Крамеру хлопоты по изданию сборника собрания своих трудов. В 1742 г. Крамер публикует сборник в 4 томах, а вскоре (1744) выпускает аналогичный (посмертный) сборник работ Якоба Бернулли и двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Все эти издания имели огромный резонанс в научном мире. В 1750 году выходит его трактат «Введение в анализ алгебраических кривых», в котором он систему n-линейных уравнений решает с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера. Термина «определитель» (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в 1801 году), но Крамер дал точный алгоритм вычисления детерминанта (Википедия).

325