В. А. Жилкин

детали, вызванные развитием зон пластических деформаций, нарушают ее нормальное функционирование в конструкции.

Концентрация напряжений существенно снижает прочность деталей, выполненных из очень хрупких материалов, так как выравнивание поля напряжений не происходит,

ивысокая концентрация напряжений сохраняется до самого момента начала разрушения.

Однако появление даже сравнительно больших локализованных трещин не всегда приводит к разрушению детали или конструкции, что зависит от целого ряда факторов, таких, как величина и время действия нагрузки, геометрия детали, трещиностойкость (вязкость) материала, характер изменения поля напряжения, вызванного образованием трещины, и т. п.

Разрушение не является мгновенным актом, а представляет собой развивающийся с большей или меньшей скоростью процесс слияния микротрещин, пор и иных дефектов материала в макротрещины, а затем и магистральные трещины. Таким образом, трещины зарождаются и развиваются задолго до начала разрушения детали. Поэтому для решения вопроса о прочности детали требуются определенные сведения о самом процессе разрушения и особенно о причинах

иусловиях распространения трещин. Эти проблемы рассматриваются в механике разрушения.

7.10.Механика хрупкого разрушения42

Известно, что реальная прочность конструкционных материалов в десятки, а иногда и сотни раз меньше теоретической прочности, т. е. прочности на отрыв двух слоев атомов (или прочности на разрыв одиночной цепочки атомов), равной примерно одной десятой величины модуля упругости

	с	E
			.
		2

42 Материал раздела практически без изменений взят из книги Б. В. Заславского «Сопротивление материалов». М. : Машиностроение, 1986. 328 с.

284

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

Только на тонких нитях (стеклянных, кварцевых и т. д.

ина тонких нитевидных кристаллах, так называемых усах) удалось достигнуть прочности, приближающейся к теоретической. Однако с увеличением толщины нитей и усов их прочность на разрыв быстро уменьшается.

Значительная разница в теоретической и реальной прочности конструкционных материалов объясняется различного рода дефектами, неизбежно присутствующими в каждом материале. Такими дефектами являются прежде всего дефекты кристаллической решетки (дислокации, вакансии, внедрения

ит. п.), наличие различного рода микропор и включений и т. д.

Кдефектам, возникающим при изготовлении материала в металлургическом производстве, добавляются дефекты, появляющиеся в процессе изготовления детали при механической обработке, сварке, закалке и т. д., а также дефекты, появляющиеся в процессе эксплуатации конструкций или машин как результат взаимодействия их деталей друг с другом и с окружающей, часто агрессивной средой.

Именно малым количеством и малыми размерами дефектов в тонких нитях и усах можно объяснить их высокую прочность.

О существенном влиянии состояния поверхностного слоя на прочность детали свидетельствует опыт, проведенный академиком А.Ф. Иоффе43 (1920 г.). В этом опыте определялась прочность кристалла каменной соли при испытании на воздухе и в воде. Оказалось, что в результате растворения

43

Иоффе Абрам Фёдорович (наст. имя Аврум Файвиш-Израилевич) (29.10.1880–14.10.1960) – советский физик, академик, вице-президент АН СССР (1926–1929; 1942–1945), создатель научной школы, давшей многих выдающихся советских физиков, таких как А. Александров, Я. Дорфман, П. Капица, И. Кикоин, И. Курчатов, Н. Семенов, Я. Френкель и другие. Механика разрушения в России берет свое начало с работ А.Ф. Иоффе по влиянию трещин на прочность твердых тел. Он установил, что после растворения слоя с поверхностными трещинами кристаллов каменной соли их прочность резко возрастала и приближалась к теоретической прочности. Явление увеличения прочности хрупких тел при удалении поверхностных трещин, за счет растворения в воде или кислотах дефектного поверхностного слоя получило название «эффект Иоффе».

285

В. А. Жилкин

вводе всегда имеющего повреждения поверхностного слоя разрушающее напряжение для кристалла возросло с 45 до 1600 МПа и почти достигло теоретического значения, равного приблизительно 2000 МПа.

Установление закономерностей начального этапа разрушения требует исследования дефектов кристаллов на атомном уровне и представляет предмет интенсивных исследований методами химии, физики твердого тела и материаловедения.

Когда же трещина (или система трещин) по какой-либо причине возникла и захватила достаточное количество зерен, чтобы материалу можно было приписать свойство сплошности и однородности, дальнейшее развитие трещин может быть исследовано методами механики сплошной среды.

Раздел механики деформируемого тела, в котором

исследуется проблема распространения трещин, называют

механикой хрупкого разрушения.

Воснове механики хрупкого разрушения лежит представление о том, что материал всегда имеет какие-либо дефекты, которые отождествляются с некоторой системой начальных трещин. Эти трещины вызывают значительную концентрацию напряжений на их фронте, которая при некоторых условиях приводит к быстрому росту трещин.

Каждая из трещин, как показал Гриффитс44 (1920 г.), начинает расти только после того, как средние напряжения

втеле достигнут некоторого критического именно для данной трещины значения, зависящего от физико-механических свойств материала, размеров трещины и ее ориентации по отношению к направлению действующей нагрузки.

Всвоей теории распространения трещин, которая положена в основу современной механики хрупкого разрушения, Гриффитс исходил из следующих соображений.

Для расширения трещины требуется затратить некоторую энергию, равную в случае идеально хрупкого материала

44 Гриффитс Алан Арнольд (13.06.1893–13.10.1963) – английский инженер, известный своими работами в области механики хрупкого разрушения материалов, усталости металлов, является одним из первых разработчиков теоретических основ реактивных двигателей.

286

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

работе сил поверхностного натяжения (поверхностной энергии) на вновь образовавшихся свободных поверхностях трещины, которые до начала ее развития не существовали.

Источником необходимой для этого энергии является потенциальная энергия деформации, накопленная в теле, как в аккумуляторе энергии. Часть упругой энергии освобождается при увеличении размеров трещины вследствие роста объема охватывающих почти всю поверхность трещины областей пониженных напряжений.

Освободившаяся в результате уменьшения напряжений и деформаций в части материала тела упругая энергия как бы стекает к краям трещины – местам концентрации напряжений, где и происходит преобразование упругой энергии

вповерхностную. Этот процесс реализуется при напряжениях, близких к теоретической прочности хрупкого материала. При определенном значении нагрузки такие напряжения возникают на контуре трещины вследствие высокой концентрации напряжений в этом месте. Таким образом, причиной хрупкого разрушения является концентрация напряжений, возникающая на фронте трещины.

Рассмотрим теперь возможные соотношения между при-

ращениями упругой и поверхностной энергии тела с трещиной. Если количество U освободившейся упругой энергии будет меньше энергии S , необходимой для соответствую-

щего увеличения свободных поверхностей трещины, т. е.

вслучае U S , то трещина расти не будет. Если же осво-

бождающаяся энергия превзойдет энергию, требующуюся для разрыва материала на фронте трещины, т. е. U S ,

то начнется лавинообразное распространение трещины. Критерием начала развития трещины является равенство

U S .

(7.19)

Из этого равенства следует, что хрупкое разрушение может развиваться без какой-либо дополнительной работы внешних сил только за счет соответствующего уменьшения

287

В. А. Жилкин

потенциальной энергии деформации тела. Поскольку естественным состоянием тела является состояние, соответствующее минимуму потенциальной энергии, то трещина всегда имеет тенденцию к неограниченному росту.

Если в тонкой, подвергнутой одноосному растяжению пластинке (рис. 7.7) образовалась малая по сравнению с размерами пластинки поперечная трещина, то потенциальная энергия деформации пластинки уменьшится, как показал Гриффитс45, на величину

	U	L2 2	,	(7.20)
		E
		где		– номинальные напряжения

в пластинке;

2L – длина трещины. Толщина пластинки для простоты принята равной единице.

При увеличении размера трещины на dL упругая энергия пластинки уменьшится на

				d U 2 2L dL ,
				E
			а энергия поверхностного натяжения
			S 4 L	увеличится на 4 dL , где
Рис. 7.7			– необратимая работа, затрачен-
			ная на создание единицы площади
свободной поверхности трещины.
Согласно критерию (7.19) трещина начинает самопро-
извольно расти при
	L2 2		2 .	(7.21)
	E

Равенство (7.21) устанавливает связь между минимальной длиной (называемой критической) начальной трещины,

45 Гриффитс рассматривал трещину как узкое эллиптическое отверстие в пластинке.

288

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

величиной напряжения, при котором эта трещина начинает расти, и физико-механическими свойствами материала. График зависимости критической длины трещины 2Lк от величины действующего напряжения в пластинке

	Lк	2 E	(7.22)
		2

представлен на рис. 7.8. Аналогичные закономерности развития трещин имеют место и в телах более сложной формы.

Итак, для каждой величины напряжения в каждом конкретном материале существует своя критическая длина 2Lк трещины и, пока напряжения в материале не достигли критического для данной трещины значения c , эта трещина расти не будет. Именно поэтому реальные материалы обладают свойством прочности, несмотря на наличие в них трещин и иных дефектов.

Критическая длина трещины быстро уменьшается с ростом уровня напряжений и при больших эксплуатационных напряжениях может быть очень малой – порядка нескольких микрон. Этим частично объясняется повышенная чувствительность высокопрочных материалов к различного рода дефектам их структуры.

Теоретические и экспериментальные исследования показали, что заключения о росте трещины, когда ее размеры достигают некото-

Рис. 7.8 рой критической величины, справедливы не только для очень хрупких материалов типа стекла, керамики и т. п., но и для конструкционных материа-

лов, разрушение которых сопровождается пластической деформацией.

На контуре трещины в упруго пластическом материале образуются сначала значительные по величине пластические деформации порядка десятков процентов и лишь затем, когда исчерпывается способность материала пластически деформироваться, происходит отрыв берегов трещины друг

289

В. А. Жилкин

от друга, причем затраты энергии p на создание пластических деформаций при образовании единицы свободной поверхности трещины могут во много раз превышать интенсив-

ность поверхностной энергии . Для металлов, например,

p 103 .

Оказалось также, что все соотношения, полученные для идеально хрупких материалов, справедливы и для упруго пластических тел, если пластические деформации образуются только в узком слое, примыкающем непосредственно

к поверхности трещины. Такой случай разрушения называют квазихрупким. Надо только в этих соотношениях заменить

на сумму p .

Так, например, для тонкой пластинки из упруго пластического материала с малой поперечной трещиной критическая длина 2Lк трещины связана с растягивающими пластинку напряжениями соотношением

	2	p E
Lк			.	(7.23)
		2

Величину p называют удельной энергией диссипа-

ции, энергией разрушения или эффективной поверхностной энергией.

Из (7.23) следует, что параметр

Lк

2 p E

(7.24)

можно рассматривать как величину постоянную для каждого материала. Чем больше этот параметр, тем больше критическая длина трещины, т. е. тем больше сопротивление материала развитию трещины.

Способность материала сопротивляться развитию трещин называется вязкостью, или трещиностойкостью.

Вязкость зависит, в первую очередь, от способности материала пластически деформироваться, т. е. способности поглощать энергию на необратимые процессы перед

290

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

разрушением. Именно поэтому пластичные металлы с относительно невысокими пределами прочности обладают высокой трещиностойкостью, что является лучшей гарантией от внезапных разрушений.

Вто же время в высокопрочных жестких материалах затраты энергии на образование необратимых пластических деформаций малы и в них при нагружении тела аккумулируется много потенциальной энергии. Эта энергия выделяется

вбольших количествах при росте трещин, что приводит при определенных условиях к лавинному их распространению и полному разрушению тела.

Однако вязкость определяется не только пластическими свойствами, но и структурой материала – наличием в нем блокирующих развитие трещин поверхностей раздела, подобных границам между компонентами армированных материалов. Именно благодаря наличию поверхностей раздела многие композиционные материалы, например стеклопластики, обладают вязкостью, несмотря на то, что составляющие их компоненты являются хрупкими материалами.

Вболее широком смысле вязкость – это способность структуры материала блокировать развитие трещин.

Вязкость присуща сложному, неоднородному материалу, тогда как однородные материалы всегда проявляют свойство хрупкости.

Следует иметь в виду, что далеко не всякие границы раздела в материале вызывают торможение трещин. Объяснить это можно особенностями распределения напряжений вблизи фронта трещины и величинами сил сцепления материала на поверхности раздела.

Вкончике трещины в растянутом теле возникает вы-

сокая концентрация напряжений y , быстро убывающая по мере удаления от трещины вдоль оси x . Но на некотором расстоянии от этого кончика возникает вытянутая вдоль оси x

(в направлении трещины) область растягивающих напряжений, параллельных трещине и нормальных к линии действия нагрузки (рис. 7.9).

291

В. А. Жилкин

По некоторым оценкам наибольшая величина этих растягивающих напряжений x лишь примерно в пять раз меньше максимального значения напряжений y на кончике трещины.

а

б

в

Рис. 7.9

Область растягивающих напряжений движется всегда впереди трещины и первой подходит к поверхности раздела (рис. 7.9, а). Если силы сцепления на этой поверхности будут достаточно велики, то поверхность раздела не разрушится, трещина пересечет ее и распространится дальше (рис. 7.9, б). Если же поверхность раздела недостаточно прочна, то эта граница разрушится на некотором участке, прежде чем к нему подойдет основная трещина (рис. 7.9, в). Образуется новая трещина, перпендикулярная основной и параллельная линии действия нагрузки, а такие трещины обычно не развиваются. Встреча основной трещины с разрушившейся поверхностью раздела приводит к резкому увеличению радиуса на фронте этой трещины, а следовательно, и к резкому уменьшению концентрации напряжений на кончике трещины. В результате рост основной трещины прекращается.

Таким образом, трещина в процессе роста, по-видимому, сама создает возможность затормозить ее развитие при

292

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

оптимальном сочетании прочности основного материала и сил сцепления на границах раздела.

Энергетический подход Гриффитса оказался весьма трудоемким для исследования хрупкого и квазихрупкого разрушения тел сложной формы при сложных схемах нагружения. Однако то обстоятельство, что вершина трещины, где сосредоточен механизм разрушения, играет роль стока освобождающейся потенциальной энергии, которая здесь же расходуется на разрушение материала, позволило сформулировать условие разрушения материала на кончике трещины исходя из рассмотрения полей напряжений и деформаций непосредственно вблизи вершины трещины. Был обнаружен интересный и очень важный факт: характер распределения напряжений не зависит от размеров трещины и пластины

иот вида действующей на пластину нагрузки.

В1957 г. Ирвином46 был сформулирован критерий локального разрушения в вершине трещины, полностью эквивалентный энергетическому критерию Гриффитса, но более удобный для практических приложений, так как позволяет оценивать опасность разрушения по интенсивности напряженного состояния в локализованной области на фронте трещины и эффективно использовать возможности ЭВМ47.

Определение теоретическим путем напряжений и деформаций в окрестности кончика трещины, где напряженное состояние соответственно трехмерное, а материал не подчиняется закону Гука, представляет сложную и до сих пор не разрешенную задачу. Поэтому для определения полей напряжений и деформаций на фронте трещины пользуются

46Ирвин Джордж Ранкин (26.02.1907–9.10.1998) – всемирно известный американский ученый в области механики разрушения и прочности материалов, член Американской Национальной академии наук и иностранный член Королевского общества в Лондоне. С 1937 по 1967 гг. работая в американской военно-морской исследовательской лаборатории (NRL) в Вашингтоне, занимался баллистикой снарядов и их проникновением в бронь. Часть этих работ была использована для создания брони автомобилей. С 1950 по 1967 гг. до выхода на пенсию с государственной службы занимал должность начальника отдела механики этой лаборатории. Распространил теорию Гриффитса, справедливую для хрупких материалов, на пластичные материалы. Ввел понятие коэффициента интенсивности напряжений (КИН). После выхода на пенсию работал в ряде университетов Америки, занимаясь динамической прочностью материалов.

47Сиротари М., Миёси Т., Мацусима Х. Вычислительная механика разрушения. М. : Мир, 1986. 334 с.

293

В. А. Жилкин

решениями, полученными методами линейной теории упругости, чем и объясняется наименование такого подхода – линейная механика трещин.

Согласно решениям теории упругости, распределение напряжений в окрестности кончика прямолинейной трещины описывается формулами

x	K							sin						3
				cos			1					sin			;
	2 r
					2						2			2
	K													3
y				cos			1	sin				sin			;	(7.25)
	2 r				2						2
														2
xy	K											3
				cos		sin			sin					.
	2 r				2								2
								2

Здесь r и – полярные координаты рассматриваемой точки с полюсом в вершине трещины; K – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом интенсивности напряжений. Его размерность, как следует из (7.25), МН/м3/2.

Коэффициент интенсивности напряжений зависит от ряда факторов, в том числе и от типа раскрытия трещины при ее распространении.

а

б

в

Рис. 7.10

В случае, когда берега трещины расходятся друг от друга вследствие отрыва частиц на ее фронте (рис. 7.10, а),

294

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

этому коэффициенту приписывают индекс I и обозначают KI . В случае, когда берега трещины сдвигаются друг относительно друга в направлении самой трещины (рис. 7.10, б), этот коэффициент обозначают KII , а в случае сдвига берегов перпендикулярно направлению трещины (рис. 7.10, в), коэффи-

циент интенсивности напряжений обозначают KIII .

Из формул (7.25) следует, что напряжения x ,y , xy по мере приближения к трещине ( r 0 ), что является естественным следствием применения линейной теории упругости. Однако в линейной механике этой физически невозможной ситуации приписывается определенный смысл, для чего рассматриваются не напряжения на самом фронте трещины, а интенсивность поля напряжений в некотором объеме материала, окружающем кончик трещины. Эта интенсивность как раз и определяется коэффициентом интенсивности напряжений.

Коэффициенты интенсивности напряжений K имеют исключительно важное фундаментальное значение в механике хрупкого разрушения. Задачам их определения посвящено большое количество теоретических исследований.

Аналитическое определение коэффициентов интенсивности напряжений в телах сложной формы и при сложных схемах нагружения представляет собой значительные математические трудности, и поэтому для решения этой задачи широко используются численные методы с реализацией их на ЭВМ.

Сравнительно просто находятся коэффициенты интенсивности напряжения в пластинках с трещинами несложной формы. Так, при растяжении пластины неограниченных размеров со сквозной центральной трещиной размером 2L , перпендикулярной линии действия нагрузки (см. рис. 7.9, а),

коэффициент интенсивности напряжений
KI	L .	(7.26)
Для трещин, развивающихся в таких пластинах от сдвига,
KII	L ; KIII L .	(7.26*)

295

В. А. Жилкин

Для пластин ограниченных размеров при ином расположении и ориентации трещины в выражения (7.26) вводятся поправочные функции fIk ; fIIk ; fIIIk и коэффициенты интенсивности напряжений записывают в виде

KI fIk	L ; KII	fIIk	L ;
KIII fIIIk	L .		(7.27)

Так, например, в растягиваемой полосе для сквозной поперечной трещины длиной 2L и выходящей на свободную поверхность KI 1,58 L , тогда как для централь-

ной поперечной трещины той же длины согласно (7.26)

KI L .

Таким образом, трещина в поверхностном слое, выходящая на поверхность, опаснее внутренней трещины.

Сравнивая формулы (7.24) и (7.26), приходим к заключению, что коэффициент интенсивности напряжений можно трактовать как величину, характеризующую приток энергии к вершине трещины при ее развитии, что подтверждает эквивалентность энергетического и силового критерия разрушения.

Коэффициент интенсивности напряжения растет с ростом средних напряжений в детали и при некотором значении c , когда трещина начнет развиваться (начнется разрушение), коэффициент интенсивности напряжений достигнет предельного значения

K Kc .

(7.28)

Согласно критерию (7.28), трещина начнет расти, как только коэффициент интенсивности напряжений достигнет критического значения, характерного для данного материала.

Для трещины в поле растягивающих напряжений условие (7.28) записывается как

KI KIc .

(7.29)

296

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

Величина KIc является численной характеристикой трещиностойкости, или иначе вязкости разрушения, в случае развития трещины разрывного типа и является фундаментальной характеристикой материала.

Критическое значение коэффициента интенсивности напряжений KIc определяется экспериментально путем испытания образцов определенной формы и размеров с искусственно созданными начальными трещинами.

В процессе испытания регистрируется зависимость между нагрузкой на образец P и величиной расхождения v берегов начальной трещины и устанавливается критическое значение Pc нагрузки. По критической нагрузке Pc вычисляются критические напряжения в образце c , а по ним – значение коэффициента KIc . Например, при испытаниях на растяжение плоского образца со сквозной поперечной

трещиной длиной 2L0 величина KIc	вычисляется по формуле
(7.26), которая в этом случае будет иметь вид
KIc fIk c L .	(7.30)

Найденная экспериментальным путем величина KIc принимается в качестве механической характеристики материала, определяющей его трещиностойкость (вязкость).

Однако для того, чтобы экспериментально найденную величину KIc действительно можно было принять в качестве механической характеристики, подобной пределу текучести т и пределу прочности в , необходимо выполнение определенных условий, относящихся к формам и размерам образцов, размерам начальной трещины и условиям нагружения образцов в процессе испытания. Эти условия обосновываются теоретически и регламентируются стандартами.

Критерий (7.28) начала распространения трещины позволяет записать условие прочности тел с трещинами в виде

K Kc

(7.31)

297

В. А. Жилкин

иопределить тем самым допустимый размер трещины 2L

в случае заданных нагрузок или допустимое значение напряжений , если известен размер трещины.

Например, при расчете детали в форме пластины, име-

ющей сквозную трещину размера 2L , по известному значению KIc можно найти разрушающее напряжение c из соотношения (7.30):

	c	KIc		.	(7.32)
		fIk	L

Для обеспечения прочности при наличии дефектов

напряжения в детали не должны превышать величиныc n , т. е.

f		n L
		KIc	.	(7.33)
	Ik

Запас прочности n при этом выбирается несколько

меньше, чем при обычном расчете на прочность, поскольку

c в .

Из соотношения (7.33) можно найти допускаемые напряжения в детали при данных размерах дефектов либо установить допускаемые размеры L дефектов, соответствующих действующим в детали напряжениям . Запас прочности детали с трещинами определяется из соотношения

n	c
	.	(7.34)

Для предупреждения внезапных разрушений существенно, к какому типу принадлежит трещина при достижении предельного условия K Kc . Если в предельном состоянии трещина равновесна, т. е. ее длина увеличивается только при условии роста нагрузки, что можно объяснить сравнительно малым запасом потенциальной энергии в детали, то опасности немедленного полного разрушения нет. Признаком равновесия трещины является неравенство

298

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала
K	0 или	P	0 ,	(7.35)
L		L

где P – нагрузка на деталь.

Если трещина неравновесная, то при предельном состоянии K Kc начинается лавинное распространение трещины.

Лавинному распространению трещины часто предшествует ее медленный рост, связанный с постепенным развитием деформаций в вершине трещины и накоплением рассеянных повреждений. Чем больше трещиностойкость материала, тем медленнее происходит этот процесс. Условием неустойчивости трещины является неравенство

K	0 .	(7.36)
L

В заключение отметим, что механика хрупкого разрушения уже на настоящей стадии ее развития позволяет объяснить многие эффекты хрупкого разрушения, прогнозировать с той или иной степенью достоверности разрушение отдельных элементов сложной формы и правильно ставить прочностные эксперименты и интерпретировать их результаты.

299