ГЛАВА8Растяжение и сжатие

8.1. Напряженное состояние в точках бруса

8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях

Вырежем из бруса, подверженного центральному растяжению (сжатию) в направлении оси x (рис. 8.1), тремя парами взаимно перпендикулярных плоскостей (параллельные плоскости отстоят друг от друга на малые расстояния dx, dy, dz) элементарный параллелепипед. Пусть одна пара плоскостей совпадает с поперечными, а две другие – с продольными сечениями бруса.

Рис. 8.1

Как мы уже знаем, вырезанный нами элемент находится в линейном напряженном состоянии; в поперечных сечениях бруса, совпадающих с главными площадками, отличными от нуля, будут только нормальные напряжения (см. формулу (5.3)):

	x x	N x	,	(8.1)
		F x

где N(x) – нормальная сила в сечении с координатой x;

302

F(x) – площадь поперечного сечения бруса в сечении с координатой x.

Напряжения x являются экстремальными из совокупности нормальных напряжений, возникающих на любых площадках, проходящих через рассматриваемую точку. В продольных сечениях бруса не возникает никаких отличных от нуля напряжений: ни нормальных, ни касательных.

Пример 8.1. Чугунная колонна высотой 3 м имеет кольцевое поперечное сечение с наружным диаметром 25 см и внутренним диаметром 20 см (рис. 8.2). Она нагружена сжимающим усилием 50 т (5·105 Н).

Найти напряжения в поперечном сечении, абсолютное и относительное укорочения колонны.

	Итак, напряжения в поперечных сечениях
	колонны равны 28,29 МПа, абсолютное укоро-
	чение колонны – 0,707 мм, а относительное уко-
Рис. 8.2	рочение колонны – 2,36·10–4.

303

В. А. Жилкин

Все вычисления выполним в системе MathCAD, используя международную систему единиц измерения СИ: единицы длины – метр; единицы силы – ньютон.

Напряжения будем вычислять по формуле (8.1), учитывая, что во всех поперечных сечениях колонны N = P; абсолютное укорочение колонны – по формуле (5.4)

L NLEF ;

относительное укорочение колонны – по закону Гука (формула (5.5) x E x .

8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях

а

б

Рис. 8.3

Мысленно разрежем выделенный из бруса параллелепипед плоскостью, нормаль к которой перпендикулярна оси y и составляет с осью x угол (рис. 8.3). На рис. 8.3 показана проекция этой трехгранной призмы на плоскость xoz с действующими по ее граням напряжениями: x ;

z 0 ; xz zx 0 ; ; . Напряжения – нормальные и касательные – по наклонной грани нам пока неизвест-

ны ни по модулю, ни по направлению. Поэтому на чертеже

304

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

эти векторы изображаем ориентированными в положительных направлениях координатных осей. Этот прием позволяет автоматически получить правильные знаки для напряжений

вполученных ниже формулах.

Всоответствии с формулами для определения напряжений в наклонных площадках (3.8) и (3.9)

x		cos2	z sin2 xz sin2
	x	cos2	;		(8.2)
x z sin2				xz	cos 2
		2
		2 sin2 .			(8.3)
	x

Из формулы (8.2) следует, что нормальные напряжения изменяются от x (при 0o ) до 0 (при 90o ), т. е. наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса (поэтому и расчет прочности растянутого или сжатого бруса, о чем мы будем говорить несколько ниже, проводится по нормальным напряжениям, действующим в его поперечных сечениях).

Из формулы (8.3) следует, что на наклонной площадке, показанной на рис. 8.2, б, вектор касательного напряжения имеет противоположное направление. Касательные напря-

жения xz достигают максимальных величин в площадках,
наклоненных под углами 45o							к главным (к нормальным
сечениям):
	max			x		.	(8.4)
				2

Пример 8.2. Наибольшее нормальное напряжение в растянутом вдоль оси стержне равно 40 МПа, а по одному из наклонных сечений касательные напряжения равны (–17,3) МПа.

Определить угол наклонного сечения по отношению к поперечному и значение действующего по нему нормального сечения.

305

В. А. Жилкин

По любому наклонному сечению нормальные и касательные напряжения равны (см. формулы (8.2) и (8.3)):

x cos2 ; 2x sin2 .

Полное напряжение, всегда направленное по оси бруса:

p	2	2		x cos	2		2					2
											x sin2
										2

x cos .

Если площадь поперечного сечения стержня F, то площадь наклонного сечения (рис. 8.4)

F cosF .

Поэтому условия равновесия для любого наклонного сечения выполняются:

xF p F .

а

б

Рис. 8.4

Перепишем выражение для касательного напряжения в несколько ином виде:

2x sin2 x sin cosx sin sin 90 ,

306

ГЛАВА8 Растяжение и сжатие

из которого следует, что одному и тому же значению касательного напряжения соответствуют два угла и 90 , что и показано на рис. 8.4.

Задачу решим в системе MathCAD.

Угол можно найти непосредственно из формулы для касательных напряжений по наклонной площадке:

	1 arcsin					,
	2			x

или воспользоваться вычислительным блоком Given – Find. В системе MathCAD угол вычислим тем и другим способом.

Из приведенного решения следует, что в одном случае мы получили угол 30o и действующее в этой площадке нормальное напряжение 30 МПа, а в другом (по ортогональной площадке) – дополнительный угол 90o 60o и нормальное напряжение 10 МПа. Такая ситуация связана с тем, что для вычисления угла использовались разные численные процедуры: в первом случае определялся аргумент обратной тригонометрической функции, а во втором – использовался алгоритм решения нелинейного уравнения.

307