ГЛАВА9Сдвиг и кручение

9.1.Практический расчет соединений, работающих на сдвиг

Ряд деталей элементов машин и механизмов в процессе их работы нагружены такими силами, которые стремятся их разрушить путём сдвига. В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются заклёпочные (рис. 9.1, а), шпоночные (рис. 9.1, б), штифтовые (рис. 9.1, в) и болтовые соединения.

а

б

в

Рис. 9.1

Действительная их деформация сложна и лишь приближённо может быть рассмотрена как деформация сдвига. Поэтому излагаемые в этом разделе расчеты основаны на грубых допущениях и во многом носят условный характер. Но исключительная простота расчетов обеспечила им широкое применение в практике проектирования с введением

369

В. А. Жилкин

соответствующих корректирующих коэффициентов при назначении допускаемых напряжений.

9.1.1.Расчет заклёпочных, штифтовых и болтовых соединений

Для изучения работы заклёпок рассмотрим простейший пример заклёпочного соединения – одна заклёпка соединяет внахлёстку два листа (рис. 9.2). Под действием сил P эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему препятствует заклёпка, на которую и будет передаваться действие силы P.

Для проверки прочности заклёпок применим общий порядок решения задач сопротивления материалов.

На заклёпку передаются по две равные и прямо противоположные силы P: одна – от первого листа, другая – от второго. Эти силы стремятся перерезать заклепку по сечению

mn раздела обоих листов (рис. 9.2, б и в). Такая заклёпка называется односрезной.

Примечание. В аналогичных условиях находятся штифтовые и некоторые виды болтовых соединений, поэтому расчеты заклёпочных, штифтовых и некоторых видов болтовых соединений идентичны, что позволяет в дальнейшем рассматриваеть только расчет заклёпочных соединений.

Для вычисления напряжений, действующих в плоскости среза mn, мысленно рассечем заклёпку этой плоскостью на две части, верхнюю часть отбросим. Нижняя часть заклёпки находится в равновесии под действием приложенных к ней сил:

известной равнодействующей контактных сил P на боковую поверхность заклёпки (истинное распределение контактных усилий в зоне взаимодействия заклёпки и листа неизвестно!);

370

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

касательных напряжений в опасном поперечном сечении заклёпки (рис. 9.2, г), т.е.

P dF ,

(9.1)

F

где F – площадь поперечного сечения заклепки.

а

г

б

в

Рис. 9.2

Распределение касательных напряжений в поперечном сечении заклепки также неизвестно. Однако к моменту разрушения заклепки (наступлению текучести в сечении среза) касательные напряжения в поперечном сечении заклёп-

ки более или менее выравниваются за счет пластических деформаций. Поэтому предполагают, что в предельном состоянии касательные напряжения распределены равномерно по сечению среза. Тогда при диаметре заклёпки d на единицу

площади сечения будет приходиться напряжение

	P			P		,	(9.2)
	F			d2
				4

371

В. А. Жилкин

которое должно удовлетворять условию прочности заклёпки на срез

	d2
	P			,	(9.3)
	4

где – допускаемое напряжение на срез. В машиностроении при расчете штифтов, болтов, шпонок и др. принимают

0,25 0,35 T ,

где T – предел текучести материала штифта, болта и др. Условие прочности (9.3) позволяет определить диа-

метр d заклепки (обычно d 2t , где t – толщины склёпываемых листов):

d	4P			.	(9.4)

Если неразъёмное соединение реализуется с помощью n заклёпок (рис. 9.3, а), то предполагается, что все заклепки нагружены одинаково, т.е. на каждую заклёпку будет приходиться усилие P/n. Кроме того, каждая заклепка может иметь несколько плоскостей среза k (рис. 9.3, б; k = 2). В самом общем случае заклёпочного соединения условие прочности (9.3) имеет вид

	4P			.	(9.5)
	kn d2

а

б

Рис. 9.3

372

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Если диаметр заклёпки назначается, то из условия прочности заклёпки на срез (9.5) можно найти необходимое число заклёпок n, способных передать заданную нагрузку P на конструкцию:

4P
n k d2 .	(9.6)

Помимо среза при относительно тонких листах возмож-

но нарушение соединения вследствие смятия листов или заклёпки в месте их контакта. Под смятиемпонимают пластиче-

скую деформацию, возникающую на поверхности контакта.

Давления, возникающие между поверхностями отверстий и соединительных деталей, принято называть напряжения-

ми смятия и обозначать см . Соответственно расчет, обеспечивающий выбор таких размеров деталей, при которых

не будет значительных деформаций контактирующих деталей, называют расчетом на смятие.

Расчет на смятие носит условный характер, поскольку закон распределения давления на поверхности контакта точно не известен.

Обычно принимают нелинейный закон распределения дав-

ления (рис. 9.4, б), считая, что давление пропорционально про-
екции dF площадки dF (dF t d d ,			d d – элементарная дуга
1	d	2	2
окружности радиуса	2	) цилиндрической поверхности на диаме-
тральную плоскость:

	см			dF		dF	.
				dF		dF cos
		1см
				1
Откуда
1см			см cos .

Принято считать, что неравномерное давление, передающееся на полуцилиндрическую поверхность заклёпки,

373

В. А. Жилкин

равномерно распределяется по диаметральной плоскости сечения заклёпки BC. При этом напряжение по этой диаметральной плоскости оказывается равным наибольшему сминающему напряжению см :

	2	см cos t dd
P	1смdFсм 2
Fсм	0	2

2

смtd cos d смtd.

0

Откуда

см FP ,

см

где Fсм t d – площадь проекции поверхности контакта

на диаметральную плоскость, последняя называется услов-

ной площадью смятия.

а

б

в

Рис. 9.4

Так как давление на одну заклёпку равно P/n, то условие прочности на смятие имеет вид

		P
	см		см	.	(9.7)
		n t d
Допускаемые напряжения на смятие см					устанавли-
ваются опытным путём и принимаются

374

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

см 2 2,5 сж .

Зависимость (9.7) позволяет определить необходимый диаметр заклёпки

	d	P			(9.8)
		n t см
или необходимое число заклёпок
	n	P		.	(9.9)
		d t см

Из двух значений диаметров, найденных по формулам (9.4) и (9.8), следует взять большее, округлив его до стандартного.

В металлических конструкциях иногда приходится склёпывать целые пакеты соединяемых элементов. В таких пакетах заклёпки могут работать и на большее число срезов. Однако методы расчёта многосрезных заклёпок не отличаются от изложенных. Для вычисления касательных напряжений следует разделить силу, относящуюся к одной заклёпке, на суммарную площадь среза, воспринимающую эту силу. Для вычисления же напряжений смятия следует найти ту часть заклёпки, которая находится в наиболее опасных условиях, т. е. воспринимает наибольшую силу на наименьшем протяжении. Напряжения смятия получаются делением этой силы на площадь диаметрального сечения наиболее напряжённой части заклёпки. Затем останется написать два условия прочности и получить либо диаметр заклепок, либо их число.

Наличие заклёпок вносит некоторые изменения и в проверку прочности на растяжение или сжатие самих склёпанных листов. Опасным сечением каждого листа (рис. 9.5) будет теперь сечение, проходящее через заклёпочные отверстия; здесь рабочая ширина листа будет наименьшей; принято говорить, что это сечение ослаблено заклёпочным отверстием.

375

ста Fбрутто

В. А. Жилкин

Рис. 9.5

Обозначая полную ширину листа буквой b, условие прочности для листа в опасном сечении 1–1 примет вид:

	P		,	(9.10)
	t b md

где m – число отверстий, попадающих в сечение (в нашем случае – два).

Площадь Fнетто b md t ослабленного сечения называется площадью нетто, площадь же полного сечения ли-

b t называется площадью брутто.

Этот учёт влияния заклёпочных отверстий на прочность склёпываемых листов общепринят, но является весьма условным, так как не учитывает концентрацию напряжений около отверстий.

В ортотропных материалах, типа древесины, при больших давлениях на контур отверстия, если расстояние от его центра до края элемента невелико, часть элемента может срезаться (выколоться), как схематически показано на рис. 9.5. В этом случае необходимо выполнить ещё и проверку на скалывание листа:

	2F n
	P			,	(9.11)
	скал

где n – количество плоскостей скалывания.

Пример 9.1. Из условия прочности стали на срез и смятие определить величину допускаемой нагрузки P, которую можно приложить

376

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

к тяге болтового соединения, изображённого на рис. 9.6, при допускаемых напряжениях: на срез 80 МПа и на

смятие см 240 МПа. Размеры элементов соединения: d 50 мм, t 20 мм, t1 12 мм.

Рис. 9.6

Все вычисления выполним в MathCAD.

Итак, допускаемая нагрузка P = 24 т.

377

В. А. Жилкин

Пример 9.2. Болт диаметром d = 100 мм, работающий на растяжение, опирается головкой на лист (рис. 9.7). Определить диаметр головки D и её высоту t, если растягивающие напряжения в сечении болта 100 МПа, напряжения смятия по площади опирания головки см 40 МПа и напряжения среза головки ср 50 МПа.

Рис. 9.7

Все вычисления выполним в MathCAD.

Диаметр головки болта D = 187 мм, высота головки t = 50 мм.

378

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Пример 9.3. Два листа толщиной t = 10 мм соединены внахлестку шестью заклёпками диаметром d = 20 мм (рис. 9.8). Определить величину допускаемых растягивающих усилий P и необходимую ширину листа b при допускаемых напряжениях: на растяже-

			160			ср
ние				МПа, на срез
						120 МПа и на смятие
см 320 МПа.

Рис. 9.8

Все вычисления выполним в MathCAD.

379