ГЛАВА1 Основные понятия

Рис. 1.9

Продольная сила N стремится переместить поперечное сечение параллельно самому себе вдоль оси бруса, вызывая деформацию растяжения (сжатия) бруса. На растяжение (сжатие) работают цепи, канаты, тросы, тяги, колонны и т.д.

Поперечная сила T, расположенная в плоскости поперечного сечения, стремится сдвинуть его относительно смежных сечений, вызывая деформацию сдвига. На срез работают заклепки, шарнирные болты, деревянные врубки и т.п.

Крутящий момент Mк стремится повернуть данное сечение вокруг оси х на некоторый угол относительно смежного с ним сечения, вызывая деформацию кручения бруса.

Изгибающие моменты Mz, My стремятся повернуть исследуемое сечение соответственно вокруг осей z и y, вызывая деформацию изгиба бруса.

Перечисленные четыре вида деформаций бруса называются простыми, а их возможные сочетания – сложными

деформациями бруса.

1.6.4. Определение внутренних усилий

Для определения внутренних усилий в заданном поперечном сечении бруса пользуются методом РОЗУ. В месте разреза прикладывают внутренние силовые факторы, направляя их вектора в произвольном направлении,

29

В. А. Жилкин

идля рассматриваемой отсеченной части бруса составляют уравнения равновесия, каждое из которых будет содержать только один внутренний силовой фактор:

X 0 :	отс.част
	Nx	Pix 0;
Y 0 :	отс.част
	Qy	Piy 0;
Z 0 :	отс.част
	Qz	Piz 0;
Mx 0;		отс.част
	Mx	Mx (Pi ) 0;
My 0;		отс.част
	My	My (Pi ) 0;
Mz 0;		отс.част
	Mz	Mz (Pi ) 0.

Решая эти уравнения относительно искомых величин, определяют все внутренние силовые факторы. Положительная величина найденных внутренних усилий означает правильность их направлений, указанных на расчетной схеме, а знак минус будет означать, что направление силового фактора надо изменить на обратное.

Чтобы судить о сравнительной прочности бруса в различных сечениях, нужно знать закон изменения внутренних усилий по длине бруса. Этот закон может быть выражен в виде аналитических зависимостей или изображен графически в виде эпюр.

Эпюрой внутреннего силового фактора называется график, показывающий закон изменения внутреннего усилия в различных сечениях по длине бруса.

Каждая ордината эпюры в определенном масштабе представляет собой величину внутреннего усилия в соответствующем поперечном сечении бруса.

30

ГЛАВА1 Основные понятия

1.6.5. Алгоритм построения эпюр

А.Освобождают брус от связей. Действие связей заменяют реакциями связи.

B.Из условий равновесия системы сил, приложенных к брусу, определяют реакции связей.

C.Брус разбивается вдоль его оси на участки, в пределах которых характер внешней нагрузки не изменяется, т. е. границами участков являются точки приложения силовых факторов: сосредоточенных сил, моментов, распределенной нагрузки.

D.На каждом из участков брус мысленно рассекается на две части. Одна часть отбрасывается (обычно та, к которой приложена более сложная нагрузка, но мы всегда будем отбра-

сывать правую часть бруса; это позволит упростить написание программ в MathCAD’е), а действие отброшенной части

заменяется реакциями связи – внутренними силовыми факторами N, Qy , Qz , Mx , My , Mz .

E.Для отсеченной части записывают уравнения равновесия,

из которых находят аналитические выражения для N, Qy , Qz , Mx , My , Mz . В случае плоской системы сил сумму моментов всех сил системы записывают относительно центра тяжести

рассматриваемого сечения.

F.Строят графики функций N, Qy , Qz , Mx , My , Mz вдоль оси бруса в пределах рассматриваемого участка. Правильность по-

ведения эпюр на каждом из участков проверяют с помощью дифференциальных зависимостей (см. раздел 1.6.6). Правило знаков для внутренних силовых факторов приведено на рис. 1.10.

а

б

Рис. 1.10

31

В. А. Жилкин

1.6.6.Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами и внешней нагрузкой1

Построение эпюр внутренних силовых факторов значительно упрощается, если при этом пользоваться дифференциальными зависимостями между распределенной нагрузкой q, нормальной силой N, поперечной силой Q и изгибающим моментом M. Выведем эти зависимости.

Рассмотрим прямой брус, находящийся под действием произвольной уравновешенной плоской системы сил (рис. 1.11, а). За положительные направления интенсивностей распределенных нагрузок qx и qz примем направления координатных осей. Вначале предположим, что мы продвигаемся вдоль оси балки слева направо (т. е. в положительном направлении оси x).

Выделим из бруса двумя поперечными сечениями элемент 1 длиной dx так, чтобы на него не действовали внешние сосредоточенные силы и моменты (рис. 1.11, б). Пусть в левом сечении бруса, определяемом координатой x, действуют внутренние усилия Nx , Qz и My. В правом сечении, находящемся от левого на расстоянии dx, внутренние усилия отличаются от усилий в левом сечении бруса на бесконечно малые величины dNx, dQz и dMy. Поэтому, выделяя этот элемент из бруса, следует к его граням при-

ложить усилия, заменяющие действие отсеченных частей бруса: слева – Nx , Qz и My, справа – (Nx + dNx), (Qz + dQz) и (My + dMy). Вырезанный элемент должен находиться

в равновесии под действием внешней нагрузки qx и qz, а также указанных внутренних усилий (рис. 11, б).

Условия равновесия системы сил, приложенной к элементу 1, имеют вид

1 Жилкин В. А. Расчеты на прочность и жесткость. Основные понятия. Челябинск : ЧГАУ, 1991. 104 с.; Он же : Построение эпюр внутренних силовых факторов в брусьях и рамах в программных продуктах SCAD и MathCAD. Методические указания. Челябинск : ЧГАУ, 2007. 60 с.

32

ГЛАВА1 Основные понятия
X 0;	Nx qxdx Nx dNx 0;
Z 0;	Qz qz dx Qz dQz		0;	(1.5)
Mo 0;	My Qz dx	qz dx 2	My dMy 0.
	2

а

б

в

Рис. 1.11

Из первого и второго уравнений системы (1.5) следует:

	qx	dNx		;	qz	dQz		.	(1.6)
		dx				dx

Первые производные от нормальной и поперечной сил по абсциссе х равны взятым с обратным знаком интенсивностям соответствующих распределенных нагрузок.

Зависимости (1.6) неприменимы в местах приложения сосредоточенных сил.

33

В. А. Жилкин

Из третьего уравнения системы (1.5), пренебрегая

величиной второго порядка малости q dx 2						2 , находим
	Qz	dMy		.		(1.7)
		dx

Первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна взятой с обратным знаком поперечной силе.

Рассмотрим условия равновесия системы сил, приложенной к элементу 2. Сосредоточенная сила P и момент M приложены на расстояние dx/2 от левого поперечного сечения бруса:

Z 0; Qz P Qz dQz 0;

Mo 0; My Qz dx M P 2dx My dMy 0. (1.8)

Из первого уравнения системы (1.8) приращение поперечной силы

dQz P

.

(1.9)

В поперечных сечениях бруса, в которых приложена сосредоточенная нагрузка, поперечная сила изменяется на величину этой силы, на эпюре в этих сечениях наблюдается скачок на величину силы в направлении, обратном направлению действия силы.

Из второй зависимости системы (1.8), пренебрегая ве-

			dx		, получим:
личинами первого порядка малости Qzdx P			2
	dMy M	.			(1.10)

В поперечных сечениях бруса в местах приложения сосредоточенного момента на эпюрах моментов будут наблюдаться скачки на величину моментов.

34