В. А. Жилкин

Задачи этой категории относятся к так называемым «плоским задачам» теории упругости.

При рассмотрении плоской задачи обычно различают два следующих ее вида.

1.Плоская деформация соответствует случаю, когда перемещения точек тела происходят параллельно одной плоскости, на-

пример, плоскости xoy (т. е. перемещения по направлению оси oz отсутствуют: w 0 ), причем перемещения, параллельные этой плоскости (u f1 x, y и v f2 x, y ), не зависят от координаты z. Например, ролик, сжимаемый между двумя плитами в шарнирно подвижной опоре.

2.Плоское напряженное состояние соответствует случаю, когда

все напряжения в точках тела параллельны одной плоскости, например, плоскости xoy , и не зависят от координаты z

x3 x, y , y f4 x, y и xy f5 x, y ).

В сопротивлении материалов в основном рассматривают одноосное и двухосное напряженные состояния.

3.2.Дифференциальные уравнения равновесия материальной частицы тела в случае плоской задачи

Пусть некоторое тело (пластина толщиной t) находится в равновесии под действием приложенных к нему сил. Мысленно вырежем у некоторых точек B и C с координатами x, y, плоскостями, параллельными координатным, бесконечно малый клин 1 и параллелепипед 2 (рис. 3.3). Системы сил, приложенных к этим телам, должны удовлетворять трем уравнениям равновесия:

X 0 ; Y 0 ; MA 0 .

(3.2)

Прежде чем расписать эти уравнения, необходимо по граням выделенных элементов проставить реакции связей отброшенной части тела. Эти реакции распределены непрерывно по граням выделенных тел и представляют не что иное, как полные напряжения. Естественно, что в пределах каждой гра-

118

ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела

ни эти напряжения не одинаковы, но ввиду малости граней параллелепипеда их условно можно считать постоянными. Таким образом, компоненты напряжений на каждой грани элементов представляют собой осредненные значения напряжений.

а

б

в

Рис. 3.3

Пусть длины ребер клина и параллелепипеда равны dx, dy, dL.

Если для плоскости, перпендикулярной оси x и проходящей через точку C, компоненты напряжений обозначим x ,xy , то одноименные компоненты напряжений в параллельной плоскости, отстоящей от нее на расстояние dx, определятся как (рис. 3.3, в):

			x		x	dx ; xy	xy	dx ,
					x
							x
где	x	и	xy	– скорости изменения напряжений x , xy
	x
			x
в направлении оси x;

119

В. А. Жилкин
x	x	dx и xy	xy	dx – приращения напряжений
	x
			x

x , xy при изменении координаты x на величину dx. Аналогичным образом находятся компоненты напряже-

ний на плоскости y dy .

На наклонной грани клина с нормалью , совпадающей с внешней поверхностью пластины, действуют полные напряжения p (внешняя нагрузка на этот участок поверхности

пластины), проекции которого на оси координат x и y: p x ,
p	, а на оси и – и		.
y

Составим условия равновесия системы сил, приложенных к клину (рис. 3.3, б).

Площади граней клина: с нормалью – tdL; с нормалью x – tdy tLcos ; с нормалью y – tdx tdLsin . Уси-

лия, действующие по граням клина: с нормалью – p tdL

x

и p ytdL ; с нормалью x – xtLcos и xytdLcos ; с нормалью y – ytdLsin и yxtdLsin . Тогда

X 0 : xtLcos yxtdLsin p xtdL 0 ;

Y 0; ytdLsin xytdLcos p ytdL 0;

MA 0 : xytdy dx2 yxtdx dy2 0 .

Откуда

p		x	cos	yx	sin ;
x						(3.3)
p y	y sin xy				;
					cos .
			.
xy	yx					(3.4)

Зависимость (3.4) называется законом парности каса-

тельных напряжений.

В каждых двух взаимно перпендикулярных плоскостях компоненты касательных напряжений, направленные пер-

120

ГЛАВА3 Напряженное состояние в точке твёрдого тела

пендикулярно к линии пересечения этих плоскостей, равны между собой и при этом оба направлены либо к линии пересечения, либо от нее.

Введём обозначения для направляющих косинусов нор-
		sin m .
мали : cos x,	cos l ; cos y,

Сучетом закона парности касательных напряжений

ивведённых обозначений зависимости (3.3) переписываются в виде

p		x	l	xy	m;
x						(3.5)
p y
	ym xyl.

и называются условиями на поверхности.

Составим условия равновесия системы сил, приложенных к параллелепипеду (рис. 3.3, в).

X 0 : xtdy x xx dx tdy yxtdx

yx yyx dy tdx X tdxdy 0;

Y 0 ; ytdx y yy dy tdx xytdy

xy

xy

dx tdy

Y tdxdy 0;

x

MA 0 : xytdy

dx

xy

dx

xy

dx tdy

2

x

2

dy

yx

dy

yxtdx

yx

dy

tdx

0.

2

y

2

В этих уравнениях X и Y – проекции на оси x и y объемной силы, отнесенной к единице массы; – плотность вещества.

Пренебрегая в третьем уравнении бесконечно малыми величинами более высокого порядка, получим закон парности касательных напряжений.

121

В.А. Жилкин

Сучетом закона парности касательных напряжений первые два уравнения системы приобретают вид

	x				yx
							X 0;
				y
x								(3.6)
xy				y
							Y 0.
x				y

и называются дифференциальными уравнениями равновесия

(или уравнениями Навье13).

Если бы тело находилось в движении, то согласно второму закону Ньютона, правые части уравнений (3.6) равнялись бы произведению массы элемента dxdyt на соответствующую проекцию его ускорения

2u , 2v ;t2 t2

где u, v – перемещения точки в направлении координатных осей x и y соответственно. В рассмотренном нами случае первое уравнение системы (3.6) имело бы вид

X dxdyt 2u ,

t2

т.е. мы бы получили бы уравнения движения элементарного объёма dxdyt в направлении оси x

	x	yx	X	2u	.
		y		t2
x

13

Навье (Navier) Луи Мари Анри (15.2.1785, Дижон – 23.8.1836, Париж), французский инженер и учёный, член французской АН (1824). Профессор Школы мостов и дорог (с 1820) и Политехнической школы (с 1831). Известен работами в области строительной механики, сопротивления материалов

итеории упругости, а также гидравлики и гидромеханики. Н. впервые сделал вывод уравнения изогнутой оси прямого и кривого брусьев при изгибе, исследовал изгиб прямоугольной пластинки, дал общие уравнения равновесия

идвижения упругого тела, разработал метод аналитического расчёта висячих мостов, вывел уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости

идр. Автор ряда учебников по механике, а также курса сопротивления материалов, являвшегося в течение нескольких десятилетий основным руководством для инженеров-строителей и машиностроителей (БСЭ).

122