ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

где с – удельное сцепление почвы;– угол внутреннего трения;

X и Z – компоненты объемных сил.

Иногда при оценке предельного состояния почвы используют критерий Кулона-Мора, называемый также критерием Мизеса-Шлейхера или Боткина, отличающимся от критерия Кулона только тем, что величины и заменяются на октаэдрическое касательное напряжение T окт (формула (3.40)) и октаэдрическое нормальное напряжение

окт ср :

окт	cм октtg м ,				(7.17)
где константы c	м	и tg	м	близки по смыслу к с	и tg в урав-

нении Кулона.

7.9.Концентрация напряжений и её влияние на прочность при постоянных во времени напряжениях39

Вблизи различного рода отверстий, надрезов, выточек

ивообще мест резкого изменения поперечных размеров распределение напряжений становится неравномерным,

ивозникают зоны повышенных напряжений. Например,

при одноосном равномерном растяжении тонкой пластин-

ки шириной b с небольшим ( d b5 ) круглым отверстием распределение напряжений по поперечному сечению, про-

ходящему через центр отверстия, оказывается существенно неравномерным с пиками напряжений в точках А и В кон-

тура отверстия (рис. 7.4). Точное решение показывает, что

нормальные напряжения в радиальных сечениях на контуре отверстия изменяются по закону 1 2cos 2 ,

где угол отсчитывается от продольной оси симметрии пластиной в направлении против хода часовой стрелки. В точках А и В при 2 напряжения достигают

39 Нейбер Г. Концентрация напряжений. М. ; Л. : Гостехиздат, 1947. 204 с.; Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. К. : Наук. думка, 1968. 887 с.; Материал раздела практически без изменений взят из книги Б. В. Заславского «Сопротивление материалов». М. : Машиностроение, 1986. 328 с.

279

В. А. Жилкин

величины max 3 , а при 0 , т. е. в сечении, параллельном линии действия нагрузки, действуют сжимающие

напряжения , равные по величине приложенным к пластинке напряжениям.

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Неравномерность распределения напряжений по поперечному сечению имеет место и при центральном растяжении ступенчатого бруса (рис. 7.5), причем максимальные напряжения быстро увеличиваются по мере уменьшения радиуса закругления переходной части (галтели). Большие местные напряжения возникают также в зоне контакта деталей (контактные напряжения).

Явление возникновения значительных местных напряжений называется концентрацией напряжений, а причина, вызвавшая концентрацию, – концентратором напря-

жений.

280

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

Концентрация напряжений характеризуется коэффи-

циентом концентрации . Величину называют теоретическим коэффициентом концентрации, если она вычислена

в результате решения соответствующей краевой задачи.

Коэффициентомконцентрации называется отношение действительного напряжения max в наиболее напряженной точке к номинальному н напряжению в той же точке, т. е.

	max	или		max	.
	н			н

Номинальными называются напряжения, вычисленные по формулам сопротивления материалов, не учитывающим явление концентрации напряжений. В тех случаях, когда возникают трудности в вычислении номинальных напряжений в сечении с концентратором напряжений, за номинальные принимают напряжения в неослабленном сечении детали.

В настоящее время методами теории упругости и экспериментальными методами (обычно путем испытания образцов из оптически активного материала в поляризованном свете) определены величины коэффициентов концентрации для многих практически важных случаев. Расчетные формулы, таблицы и графики для определения коэффициентов концентрации α приводятся в справочной литературе40.

При одноосном равномерном растяжении пластинки с малым эллиптическим отверстием наибольшие напряжения возникают на концах А и В оси отверстия, перпендикулярной линии действия растягивающих пластинку сил, причем коэффициент концентрации напряжений в этих точках:

	1 2 a ; 1 2	a	,	(7.18)
	b

где a – полуось эллипса, перпендикулярная линии действия нагрузки;

b– полуось, параллельная линии действия нагрузки;

– радиус кривизны контура отверстия в точках А и В.

40 Петерсон Р. Коэффициенты концентрации напряжений. М. : Мир, 1977. 302 с.

281

В. А. Жилкин

Для круглого отверстия b = a и из (7.18) получаем указанное выше значение 3 . Концентрация напряжений, как следует из (7.18), растет с увеличением отношения a b

исоответственно с увеличением отношения a . В случае сильно вытянутого эллиптического отверстия, которое можно

рассматривать как трещину (узкую щель), напряжения в ее вершине могут достигать весьма большой величины41. Этим объясняется, почему трещины, перпендикулярные к линии действия растягивающих сил, имеют тенденцию к распространению. Развитие трещины иногда можно приостановить,

высверливая отверстия на ее концах, что увеличивает радиус закругления вершины трещины и уменьшает поэтому

концентрацию напряжений в данном месте.

Концентрация напряжений всегда носит местный характер и быстро убывает от места ее возникновения, причем скорость затухания тем больше, чем больше максимальные напряжения в зоне концентрации. Кроме того, образование зоны повышенных напряжений вблизи очага концентрации всегда сопровождается появлением областей пониженных напряжений.

Обычно в зоне концентрации напряжений усложняется

ихарактер напряженного состояния. Например, в окрестности отверстия при одноосном растяжении пластинки напряженное состояние становится плоским.

Согласно методу расчета по напряжениям в опасной точке, несущая способность детали, т. е. способность детали выполнять свое назначение в конструкции, будет исчерпана, как только в окрестности хотя бы одной ее точки материал перейдет в пластическое состояние или образуется трещина.

Вслучае равномерного распределения напряжений по всему объему детали (или по ее опасному сечению) переход материала в предельное механическое состояние действительно означает исчерпывание несущей способности детали.

41 Согласно (11.23) коэффициент концентрации α → ∞ при ρ → 0, но эта формула выведена в предположении, что деформации малы и справедлив закон Гука, и поэтому она теряет смысл при больших значениях напряжений.

282

ГЛАВА7 Теории предельного состояния материала

В тех случаях, когда поле напряжений существенно неравномерно с пиками напряжений вблизи очагов концентрации, распределение напряжений при возрастании нагрузки весьма зависит от пластичности материала.

Для пластичных материалов характерны большие деформации при малом приращении напряжений за пределом текучести. Поэтому после возникновения пластических зон в местах концентрации рост напряжений в этих зонах

практически	прекращается. Возрастание нагрузки			ведет
к интенсивному росту напряжений в упругих областях и, как
следствие, к расширению пластических зон. В результате
распределение напряжений в детали становится все более
и более равномерным.
	На рис. 7.6 показано распределе-
	ние напряжений в пластинке с круглым
	отверстием при чисто упругом (сплош-
	ная линия) и упруго пластическом со-
	стоянии с различными степенями раз-
	вития пластических зон		(пунктирные
	линии). Картина распределения напря-
	жений, представленная на этом рисун-
	ке, является приближенной.
	Именно	выравниванием		поля
	напряжений	объясняется	тот	факт,
	что концентрация напряжений обычно
	не снижает прочности деталей, выпол-
	ненных из пластичных материалов. Так,
	при статических испытаниях образцов
	из пластичных материалов малые от-
	верстия, выточки и надрезы на образ-
Рис. 7.6	цах не уменьшают величины предела

прочности В . Однако при напряжениях, переменных во времени, концентрация напряжений существенно снижает прочность и в случае пластичного материала.

Для деталей из пластичных материалов предельной может быть такая нагрузка, при которой перемещения точек

283