ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

9.2.3.Анализ напряжённого состояния при кручении бруса с круглым поперечным сечением. Главные напряжения и главные площадки

Влюбом поперечном сечении прямого бруса, работаю-

щего на кручение, векторы касательных напряжений в контурных точках сечения направлены по касательным к контуру.

Это следует из того условия, что нормальная к контуру составляющая n полного касательного напряжения x на площадке поперечного сечения должна быть равна нулю, так как в противном случае в силу закона парности возникнет равная этой компоненте и направленная вдоль образующей касательное напряжение n на боковой поверхности бруса. Боковая же поверхность обычно свободна от касательных нагрузок. По этой же причине в продольных сечениях отсутствуют касательные напряжения, направленные вдоль радиуса (рис. 9.18).

Рис. 9.18

Рис. 9.19

Выше было установлено, что в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, которые в каждой точке сечения перпендикулярны к радиусу, соединяющему эту точку с осью бруса. На основании закона парности касательных напряжений такие же напряжения возникают и в радиальных плоскостях бруса, т. е. в плоскостях, проходящих через его продольную ось (рис. 9.18).

395

В. А. Жилкин

Выделим из бруса элементарный параллелепипед, основание которого abcd расположено на поверхности цилиндра, а боковые грани ab и dc расположены в поперечных сечениях бруса (рис. 9.19). По боковым граням этого параллелепипеда действуют только касательные напряжения. По основаниям параллелепипеда ни нормальные, ни касательные напряжения не действуют.

Следовательно, параллелепипед находится в плоском напряженном состоянии чистого сдвига. Боковые грани параллелепипеда являются площадками чистого сдвига, и, следовательно, действующие на них касательные напряжения являются экстремальными.

Для определения напряжений по любым площадкам, перпендикулярным к основанию abcd параллелепипеда, можно использовать формулы плоского напряженного состояния, приведённые в главе 3. Главные напряжения 1 и 3 при чистом сдвиге, как известно, равны по величине экстремальным касательным напряжениям и, следовательно, равны касательным напряжениям по боковым граням параллелепипеда, расположенным в поперечных сечениях бруса. Главные площадки наклонены под углом 450 к площадкам чистого сдвига (рис. 9.19).

Наибольшие по величине экстремальные касательные и главные напряжения действуют на внешней поверхности бруса и определяются по формуле

M

max min max Wкр . (9.29)

Траектории главных напряжений представляют винтовые линии, наклонённые к образующим под углом 450. Можно сделать вывод, что при кручении брусьев с круглым поперечным сечением, в зависимости от способности материала сопротивляться действию касательных и нормальных напряжений, опасными будут либо касательные напряжения, действующие в поперечных и продольных сечениях, либо нормальные напряжения, действующие в площадках, расположенных под углом 450 к оси бруса.

396

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение
		Например,		древесина	плохо
	сопротивляется действию касатель-
	ных	напряжений		вдоль волокон;
	при	кручении	деревянных		валов
	с продольным расположением воло-
	кон трещины будут возникать вдоль
	образующих (рис. 9.20). Чугун плохо
	сопротивляется растягивающим на-
	пряжениям: при кручении трещины
	пройдут по винтовым линиям, ка-
	сательные к		которым составляют
Рис. 9.20	угол 450 с осью бруса, т.е. располо-
	женным нормально к главным рас-
	тягивающим напряжениям. Стальные валы под действием
	касательных напряжений обычно разрушаются по сечениям,
	перпендикулярным оси вала.

9.2.4.Потенциальная энергия при кручении бруса с круглым поперечным сечением

При кручении бруса с круглым поперечным сечением его материал находится в состоянии чистого сдвига:

1 ; 2 0 ; 3 .

Удельная потенциальная энергия, накопленная в брусе, определяется зависимостью (5.31):

u 21E 21 22 23 2 1 2 2 3 3 1

2 2 1 2 . 2E 2G

Заменяя в полученном выражении касательные напряжения зависимостью (9.21), найдем полную потенциальную энергию бруса, накапливаемую им при кручении:

397

В. А. Жилкин

				2			1
U udV					Mкр	2		dFdx
					2		2G
	V		V		J
	L	M2							L	M2 dx
		кр			2dF dx					кр	.
		J2 2G		F						2GJ
Здесь dV dFdx			– элементарный объём материала

бруса; dF – элементарная площадь; так как в исходном подынтегральном выражении сомножители

Mкр2

2GJ2

зависели только от координаты x и только полярный радиусточки в поперечном сечении бруса зависел от координат (y и z), то было целесообразно предварительно вычислить интеграл

2dF ,

F

который, как мы уже знаем, равен полярному моменту инерции J .

Итак, потенциальная энергия деформации бруса при кручении определяется по формуле

M2 dx

U кр . (9.30)

L 2GJ

Если по длине бруса крутящий момент Мкр и жесткость GJ не изменяются, то

		M2	L
	U	кр			.	(9.31)
		2GJ

9.2.5.Расчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении

При кручении бруса с круглым поперечным сечением, как мы уже знаем, материал бруса находится в состоянии чистого сдвига (см. п. 9.2.4).

398

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Так как валы и другие элементы конструкций, работающие на кручение, зачастую на практике изготавливают из пластичных материалов (сталь обыкновенная, легированная и т. д.), то для таких материалов целесообразно использо-

вать третью или четвертую теории прочности. По третьей теории прочности

экв 1 3 2

или

0,5 .

Тогда условие прочности по третьей теории запишется в виде

	.
max 0,5		(9.32)

Откуда допускаемое напряжение при сдвиге равно

0,5 .

По четвертой теории прочности для плоского напряженного состояния

экв

12 32 1 2

3

или

0,577 0,6 . 3

Условие прочности по четвёртой теории запишется в виде

	.
max 0,6		(9.33)

399

В. А. Жилкин

Откуда допускаемое напряжение при сдвиге равно

0,6 .

Эти значения допускаемых напряжений относятся к случаям работы элементов конструкций на чистое кручение при статическом нагружении. Валы, являющиеся основными объектами, рассчитываемыми на кручение, кроме кручения, испытывают также изгиб; кроме того, возникающие в них напряжения переменны во времени. Поэтому, рассчитывая вал только на кручение статической нагрузкой без учета изгиба и переменности напряжений, необходимо принять пониженные значения допускаемых напряжений . Практически

в зависимости от материала и условий работы для стальных

валов принимают

20 40 МПа.

Обычно условие прочности при кручении прямого бруса

записывают в виде

Mкр

.

(9.34)

max

W

Отсюда момент сопротивления бруса при кручении

должен быть

W

Mкр

.

(9.35)

Воспользовавшись зависимостью (9.23), получим формулу для определения диаметра вала с круглым сплошным поперечным сечением

d 3	16M	кр		,	(9.36)

а на основании выражения (9.28) – формулу для определения наружного диаметра трубчатого вала (при заданном отношении c)

16Mкр
D 3 1 c4 .	(9.37)

400

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Условие жесткости скручиваемого стержня состоит в том, что максимальный угол закручивания стержня не должен превышать допускаемого значения:

			max	MкрL		,	(9.38)
				GJ
		– допускаемый угол закручивания, рад.
где

Так как допускаемый угол закручивания обычно задаётся в градусах на метр длины, то формула (9.38) преобразуется к виду

		180 Mкр 1	o		.	(9.39)
max
		GJ

Практикой установлены следующие допускаемые углы закручивания в машиностроении:

	o	0,3		на метр длины при спокойной работе вала;
			o
	o	0,25		o на метр длины при переменных нагрузках;
	o	0,15		o	на метр длины при ударных нагрузках.
		Из зависимости (9.38) следует, что
					J	MкрL		.	(9.40)
						G

Отсюда диаметр сплошного вала с круглым поперечным сечением должен быть

d 4	32Mкр L
	G ,	(9.41)

а наружный диаметр D трубчатого вала при заданном отношении c

D 4	32Mкр L
	(1 c4 )G .	(9.42)

401

В. А. Жилкин

Условия прочности (9.34) и жесткости (9.38) при кручении позволяют выполнять, как и при растяжении (сжатии), три вида расчетов: конструкторский, или проектный, проверочный, определение грузоподъёмности или несущей способности.

Пример 9.6. Определить грузоподъёмность Mкр стального стержня круглого сечения диаметром d = 20 мм при допускаемом напряжении 100 МПа. Чему равна величина угла закручивания участка стержня длиной 100 см?

Решение задачи выполним в MathCAD.

Пример 9.7. Стержень из мягкой стали диаметром 25 мм удлиняется на 0,122 мм на длине 20 см при растяжении силой 6 т. Этот же стержень закручивается на угол 0,750 на длине 20 см при нагружении крутящим моментом 2 т·см. Определить величины E , G и .

Для решения поставленной задачи воспользуемся фор-

мулами
	NL		MкрL		E
L		;		; G		.
	EF				2 1
			EJ

Решение задачи выполним в MathCAD.

402

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Итак, модуль упругости		E 2,004 105 2 105	МПа,
модуль сдвига	G 7,968 104	8 104 МПа, коэффициент
Пуассона 0,257 .
Пример 9.8. К стальному	валу приложены крутящие пары		сил:

М1 = 1142 Н·м, М2 = 2716 Н·м, М3 = 5 000 Н·м (рис. 9.21). Диаметр крайних участков вала – 40 мм; диаметр вала

на среднем участке – 60 мм. Построить эпюру крутящих моментов и график нарастания угла закручивания, отсчитываемого от левого торцевого сечения вала (сечения 1). Подсчитать, чему равны касательные напряжения у поверхности вала на каждом его участке и угол закручивания вала между сечениями 2 и 4?

Рис. 9.21

Решение задачи выполним в MathCAD.

403

В. А. Жилкин

404

ГЛАВА9 Сдвиг и кручение

Итак, у поверхности вала на всех его участках касательные напряжения практически одинаковы и равны ≈ 91 МПа. Угол закручивания вала между сечениями 2 и 4 составляет 0,0113 рад.

Пример 9.9. При определении мощности турбины был измерен угол закручивания вращаемого ею стального вала, который на длине 6 м оказался равным 1,20. Наружный и внутренний диаметры вала равны 25 см и 17 см. Скорость вращения вала – 250 об./мин. Вал выполнен из стали. Определить мощность, передаваемую валом, и возникающие в нём наибольшие касательные напряжения.

Из формулы (9.27)

MкрL

GJ

определяем крутящий момент Мкр.

405