Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

ражение для относительной линейной деформации εz и относительных сдвигов γyz è γzx. В результате получим следующие шесть зависимостей между относительными деформациями и перемещениями, их называют геометрическими уравнениями:

(14.1.3-3)

Исходя из геометрического смысла частных производных, стоящих в правой части, можно установить правила знаков: положительное значение относительных линейных деформаций соответствует удлинению, положительное значение относительных сдвигов соответствует уменьшению прямых углов õÎó, óÎz è zÎx.

По аналогии с тензором напряжений вводится тензор деформаций:

или в индексной форме

(14.1.3-4)

Тензор деформаций симметричен, т.е. γyz = γzy, γxy = γyx, γxz = γzx, или в тензорной форме:

εi j = εj i ïðè i ≠ j

Таким образом, деформированное состояние в точке определено, если известны шесть компонент тензора деформаций.

Как и в случае напряжений, вводится понятие главных деформаций, имеющих место на площадках, на которых отсутствуют деформации сдвига.

Эти деформации обозначают в порядке убывания ε1, ε2, ε3. Они инвариантны относительно выбора координат. В решении практических задач прочности часто применяется другая инвариантная относительно выбора системы координат величина – интенсивность деформаций (иногда ее называют обобщенной деформацией):

(14.1.3-4)

ãäå µ - коэффициент Пуассона.

Геометрические уравнения можно представить в тензорном виде:

εij = 1/2 (ui,j + uj,i)

(14.1.3-5)

Геометрические уравнения были выше получены в предположении малости деформаций. Благодаря этому они оказались линейными, что существенно упрощает всю процедуру анализа на- пряженно-деформированного состояния тела. Если деформации нельзя считать малыми (это относится, например, к гибким тонкостенным конструкциям, конструкциям из резины и некоторых полимеров), необходимо использовать нелинейные геометрические уравнения (см. [14.1.25.1]).

14.1.4 - Уравнения совместности деформаций

Из уравнений (14.1.3-3), исключив перемещения, можно получить соотношения, связывающие между собой отдельные компоненты деформации. Это означает, что они не независимы в сплошной среде.

Дифференцируя первые два уравнения (14.1.3-3) для линейных деформаций, находим:

,

925

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Складывая эти выражения и учитывая выражение для γõó, получаем:

Аналогичным образом можно получить еще два уравнения, которые составят первую группу уравнений неразрывности.

Дифференцируя уравнения для угловых деформаций (14.1.3-3), складывая первые два уравнения и вычитая третье получим:

Дифференцируя это уравнение по ó получим:

После круговой подстановки можно получить еще два аналогичных уравнения, которые составят вторую группу уравнений неразрывности. Обе группы вместе имеют вид:

Рисунок 14.1.4_1 - Деформированное состояние тела при нарушении условий совместности деформаций

Физический смысл уравнений (14.1.4-1) можно проиллюстрировать следующим примером. Разобьем тело до деформации на конечное количе- ство малых параллелепипедов и тетраэдров (см. Рис. 14.1.4_1а). Если условия (14.1.13) не соблюдены, то после деформации каждого из них может оказаться невозможным сложить непрерывное деформированное тело (см. Рис. 14.1.4_1б). По этой причине уравнения (14.1.4-1) называют уравнениями совместности (неразрывности) деформаций.

Если анализ напряженно-деформированного состояния тела сводится к определению перемещения, а по ним – напряжений (решение в перемещениях), уравнения совместности деформаций выполняются тождественно. Если анализ ведется в напряжениях, уравнения совместности деформаций необходимы для определения перемещений.

14.1.5 - Обобщенный закон Гука

Зависимость между напряжениями и деформациями в реальном материале может быть достаточно сложной. При напряжениях, не превышающих предела упругости, эта зависимость, как известно, выражается законом Гука, согласно которому деформации в материале пропорциональны напряжению. В простейшем случае одноосного растяжения элементарного параллелепипеда, например в направлении оси x, он получает в направлении x относительное удлинение равное :

εx = σx/E

(14.1.5-1)

(14.1.4-1)	а в направлениях y è z – относительное сужение:
	εy = −µσx/E , εz = −µσx/E
	ãäå E - модуль упругости материала;
	µ - коэффициент Пуассона материала.

926

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Деформация сдвига, как известно, пропорциональна касательным напряжениям, например:

γxy = τxy / G,

ãäå G = E/2(1 + µ) − модуль сдвига. Характеристики упругости материала E è µ

зависят от температуры и определяются экспериментально.

Если необходимо учесть тепловое расширение при нагреве тела, нужно добавить к относительному удлинению произведение коэффициента линейного расширения α на температуру материала:

εx = σx/E + αT

(14.1.5-2)

В общем случае трехосного напряженного состояния экспериментально установлена линейная зависимость компонент тензора деформаций с компонентами тензора напряжений, названная обобщенным законом Гука. С учетом теплового расширения материала обобщенный закон Гука имеет вид:

(14.1.5-3)

Компоненты тензора напряжений можно отсюда выразить через компоненты тензора деформаций:

(14.1.5-4) ãäå ε = 1/3(εx + εy + εz) - средняя деформация;

- постоянная Ляме.

Приведенная выше запись обобщенного закона Гука относилась к изотропному материалу, свойства которого одинаковы во всех направлениях. В ГТД в последние годы активно применяют анизотропные материалы: монокристаллические никелевые сплавы для лопаток турбин, композиционные материалы для изготовления корпусных деталей и т.д. Для этих материалов также справедливо представление о линейной зависимости между компонентами тензоров напряжений и деформаций. В общем случае эти зависимости могут быть представлены следующими линейными уравнениями:

(14.1.5-5)

Можно доказать, что для системы линейных уравнений (14.1.5-3) коэффициенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали, должны быть равны и в этих уравнениях отпадает коэффициентов и остается 21 коэффициент, характеризующий упругие свойства анизотропного материала и подлежащий экспериментальному определению.

Для наиболее распространенных ортотропных материалов уравнения (14.1.5-3) содержат только 9 независимых параметров упругости: модули упругости в трех направлениях Ex, Ey, Ez и коэффициентов Пуассона µxy, µyz...

Обобщенный закон Гука часто записывают в матричной форме:

927

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

{ε} = [a]{σ}+{αT}

(14.1.5-6)

где векторы деформаций, напряжений и тепловых деформаций:

(14.1.5-7)

матрица коэффициентов упругости:

(14.1.5-8)

14.1.6 - Краевая задача теории упругости. Граничные условия.

Методы решения краевых задач теории упругости

Теперь рассмотрим замкнутую математическую формулировку задачи анализа статического напряженно-деформированного состояния упругого тела.

Будем считать, что форма и размеры тела известны, материал подчиняется закону Гука, известно поле температур T(x, y, z) и константы упругости материала для этих температур.

Нагрузка может быть задана в виде: объемных сил (вес, центробежные силы); распределенных сил на некоторой части поверхности S1 (сосредоточенные силы можно рассматривать как распределенные на малой поверхности);перемещений на некоторой части поверхности S2, в частном случае перемещения могут быть равны нулю, что означа- ет закрепление в соответствующем направлении.

Математически задача определения статического напряженно-деформированного состояния тела

928

сводится к решению системы уравнений, включающих в себя три уравнения равновесия (14.1.2-2), шесть геометрических уравнений (14.1.3-3) и шесть уравнений обобщенного закона Гука (14.1.16). Таким образом, в общем случае необходимо решать систему из пятнадцати дифференциальных уравнений в частных производных с пятнадцатью неизвестными функциями: шестью компонентами

тензора напряжений σx, σy, σz ,τxy, τyz, τzx, шестью компонентами тензора деформаций εx, εy, εz , γxy, γyz,

γzx и тремя u, v, w перемещениями.

Поскольку уравнения дифференциальные, должны быть заданы граничные условия - заданные значения переменных на поверхности тела. Как было отмечено в постановке задачи, на части поверхности S2 заданы перемещения.

Заданные на части поверхности S1 нагрузки являются граничными условиями по напряжениям. Для того, чтобы связать нагрузки с напряжениями на поверхности, рассмотрим бесконечно малый участок поверхности тела вблизи точки А (см. Рис. 14.1.6_1). Представим его плоскостью, положение которой определяется нормалью N с направляющими косинусами l, m è n по отношению к осям x, y, z соответственно. В точке A проведем три взаимно перпендикулярные плоскости, параллельные координатным. Получившаяся геометрическая фигура представляет собой пирамиду с треугольным основанием. Будем считать, что точка А совпадает с началом координат, а три взаимно перпендикулярные грани тетраэдра с плоскостями координат. Площадь наклонной грани BCD обозначим dF. Тогда площадь грани АВС будет dFn, грани ACD - dFl и грани АDB – dFm.

На наклонной грани BCD действует равномерно распределенная нагрузка q. Ее проекции на оси õ, y è z обозначены соответственно qx, qy, qz. На боковых гранях действуют нормальные и касательные напряжения (см. Рис. 14.1.6_1).

Рисунок 14.1.6_1Равновесие элемента у поверхности