Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Перемещение e, исходя из геометрических соображений, можно приближенно выразить через производную прогиба, определяемого формой колебаний:

Тогда

(14.4.2-12)

ãäå R - радиус корневого сечения лопатки;

ω- круговая частота вращения ротора, остальные обозначения приведены в разделе 14.4.2.1.

Выражения для Êmax è Ïmax имеют тот же вид, что и для невращающейся лопатки (14.4.2-4),

(14.4.2-5). Подставляя их вместе с (14.4.2-12) в (14.4.2-11) получаем соотношение для динами- ческой собственной частоты:

(14.4.2-13)

Это выражение отличается от полученного выше для невращающейся лопатки (14.4.2-7) наличием дополнительного слагаемого в числителе. Обозначая динамическую собственную круговую частоту pÄ, а статическую, соответствующую соотношению (14.4.2-7), pC получаем

(14.4.2-14)

или для статической и динамической частот fC = pC / 2π è fÄ = pÄ / 2π

(14.4.2-15)

ãäå n = ω / 2π - частота вращения ротора. Коэффициент B определяется как

Из соотношения (14.4.2-15) видно, что с увеличением частоты вращения ротора собственная частота изгибных колебаний возрастает. Коэффициент B, отвечающий за этот эффект, зависит от формы колебаний, относительного удлинения лопатки, ее клиновидности, закрутки. Эффект возрастания собственной частоты изгибных колебаний лопатки с увеличением частоты вращения в наибольшей степени проявляется на низших формах колебаний у лопаток большого удлинения. Динамическая собственная частота может превосходить статическую в 1,5 раза и более.

14.4.3 - Трехмерные модели колебаний лопаток

Как отмечалось выше, наиболее точный рас- чет собственных частот колебаний лопатки сводится к пространственной динамической задаче теории упругости. Обычно она решается численно методом конечных элементов. В такой постановке удается рассчитывать с достаточной точностью собственные частоты в практически необходимом диапазоне, учесть неравномерность нагрева, влияние центробежных сил, особенности формы лопатки, ее взаимодействия с диском и соседними лопатками (если лопатка имеет полки) и т.д. В то же время такой способ связан с проведением трудоемких расчетов и неудобен, если при расчете необходимо многократно изменять форму и размеры лопатки.

Методика конечно-элементного трехмерного расчета собственных частот колебаний лопаток состоит из следующих этапов:

- Создание трехмерной твердотельной геометрической модели лопатки. Как правило, это те же модели, которые создаются в процессе конструи-

1038

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Рисунок 14.4.3_1 - Пример геометрической и конеч- но-элементной модели рабочей лопатки второй ступени ТВД

рования и используются для статических расчетов. Вообще говоря, возможно применение моделей, упрощено отражающих мелкие детали геометрии. Необходимое для статического расчета подробное описание скруглений, галтелей и пр. в расчете собственных частот не повышает точность.

-Построение конечно-элементной сетки. Как правило используется сетка, созданная для стати- ческого расчета, хотя для расчета собственных ча- стот можно без потери точности использовать более грубые сетки.

-Задание граничных условий. Закрепление лопатки в диске обычно моделируется исключением всех перемещений на соответствующих поверхностях контакта лопатки. В реальной конструкции жесткость закрепления ниже, поэтому получаемые расчетные значения частот могут быть несколько завышены. В случае лопаток с бандажными или антивибрационными полками на контактных поверхностях полок задаются условия циклической симметрии.

-Задание нагрузок. В качестве нагрузки для рабочей лопатки задают частоту вращения ротора. Нагрузками считают также поля температур, влияющих на собственные частоты колебаний.

-Расчет собственных частот и форм колебаний. В методе конечных элементов расчет собственных частот и форм колебаний сводится к задаче

îсобственных значениях [14.8.9]

det | [K] - p2 [M] | = 0,

(14.4.3-1)

ãäå [K] è [M] - матрицы жесткости и масс конечноэлементной модели;

p - собственная частота.

На Рис. 14.4.3_1 показан пример геометрической и конечно-элементной моделей рабочей лопатки турбины с бандажной полкой. Геометрическая твердотельная модель выполнена в системе UNIGRAPHICS и включает в себя все основные элементы лопатки: перо, бандажную полку, ножку и замковую часть.

Граничные условия задаются следующим образом. На контактных поверхностях замка запрещены все перемещения. Это условие не вполне точно отражает реальные условия закрепления лопатки в диске, в частности, не учитывает податливость соединения лопатки с диском. Более точная модель должна была бы включать в себя сектор диска с замковым пазом.

На контактных поверхностях бандажной полки задается условие циклической симметрии, которое воспроизводит взаимодействие лопатки с соседними. Условие циклической симметрии соответствует связной форме колебаний лопаточного венца, когда все лопатки двигаются в одной фазе (см. Рис. 14.4.1_2).

На Рис. 14.4.3_2 показаны первые три собственные формы колебаний лопатки, приведенной на Рис. 14.4.3_1 Первая форма колебаний - изгибная с одной узловой линий, приходящейся на замок. Вторая форма также изгибная имеет нулевые осевые перемещения еще и на бандажной полке. По стержневой классификации это - вторая изгибная форма. Третья форма - крутильная, узловая линия проходит вдоль всего пера и ножки.

Расчет собственных частот колебаний лопатки, приведенной на Рис.14.4.3_1, с использованием стержневой модели дает значение первой изгибной частоты колебаний 1072Гц, с использованием 3D конечноэлементной модели (без учета контакта в бандажной полке) - 1005Гц. Такое расхождение в значении первой изгибной частоты колебаний (~6%) можно считать вполне приемлемым. Частота колебаний по второй изгибной форме отличается уже на ~25%, частоты колебаний более высоких форм могут отличаться в несколько раз. Таким образом, проведение анализа частотных характеристик лопаток по стержневой модели следует ограничивать анализом первой изгибной частоты колебаний.

1039

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Рисунок 14.4.3_2 - Линии нулевых перемещений в осевом направлении (а), суммарные перемещения (б), деформированное состояние (в), радиальные динамические напряжения (г) в рабочей лопатке второй ступени ТВД

1040

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Метод конечных элементов позволяет наряду с картиной деформации детально проанализировать характер распределения напряжений при колебаниях лопатки по той или иной собственной форме. На Рис. 14.4.3_2 видно, что при всех трех формах колебаний наиболее нагруженными являются входная и выходная кромки профильной части.

При колебаниях по первой изгибной форме в рассматриваемой лопатке наибольшие напряжения возникают на входной кромке со стороны корыта вблизи корневого сечения. При колебаниях по второй изгибной форме - в средней части на выходной кромке и на спинке. При колебаниях по крутильной форме наиболее напряженные зоны - входная кромка со стороны корыта в прикорневом сечении и выходная кромка со стороны корыта вблизи полки. Эта информация необходима при дальнейшем экспериментальном подтверждении усталостной прочности лопатки для определения мест установки тензорезисторов для измерения вибронапряжений.

14.4.4 - Влияние конструктивных и эксплуатационных факторов на собственные частоты колебаний лопатки

Конструктивными факторами, влияющими на собственные частоты колебаний лопатки, являются ее форма и размеры, а также свойства материала. Для анализа влияния этих факторов на собственные частоты колебаний лопатки по изгибным и крутильным формам рассмотрим сначала соотношения (14.4.2-10).

Влияние материала лопатки на собственные частоты колебаний определяется квадратным корнем из отношения модуля упругости к плотности материала. Эта величина для нержавеющих жаропрочных сталей, жаропрочных сплавов на никелевой основе, алюминиевых и титановых сплавов при комнатной температуре лежит в пределах 4950...5070 м/сек.

Таким образом, различие в собственных частотах лопаток из указанных материалов при одинаковых прочих параметрах укладывается менее чем в 3%. Следовательно, изменение материала практически не приводит к изменению собственных частот. Существенное изменение собственных частот (почти двукратное снижение) происходит лишь в случае, когда лопатка изготавливается из

стеклоили углепластика, Заметим, что речь идет о собственных частотах, а не о прочностных характеристиках материала и демпфировании колебаний.

Из геометрических факторов, определяющих собственные частоты колебаний, выделим длину пера лопатки L, и основные размеры поперечных сечений пера - хорду b и толщину c профиля. Наиболее очевидно влияние длины лопатки. Собственные частоты изгибных и крутильных колебаний, как следует из (14.4.2-10), при прочих равных условиях обратно пропорциональны квадрату длины лопатки.

Влияние формы и размеров корневого сече- ния лопатки на собственные частоты изгибных колебаний в соответствии с (14.4.2-10) определяется отношением момента инерции I к площади F этого сечения. Площадь сечения можно в первом приближении считать пропорциональной толщине профиля c, а момент инерции - пропорциональным третьей степени толщины. Тогда из (14.4.2-10) следует, что собственные частоты изгибных колебаний приближенно пропорциональны толщине профиля корневого сечения. Для крутильных колебаний, как следует из (14.4.2-10), определяющим собственные частоты геометрическим параметром корневого сечения является отношение момента инерции при кручении к полярному моменту инерции Ik/Ip. Это отношение приближенно пропорционально (c/b)2, следовательно собственные частоты крутильных колебаний приближенно пропорциональны отношению толщины профиля к его хорде.

Влияние на собственные частоты изгибных колебаний характера изменения профиля по длине лопатки отражено в (14.4.2-10) коэффициентами αi è βi. С уменьшением отношения площадей и моментов инерции периферийного и корневого сече- ний лопатки ее жесткость увеличивается, и собственные частоты возрастают. Так, в частности, для лопатки с двукратным уменьшением площади се- чения низшая собственная частота изгибных колебаний возрастает приблизительно на 20%.

Из эксплуатационных факторов наиболее существенное влияние на собственные частоты колебаний рабочих лопаток оказывают рабочая температура и частота вращения ротора.

С ростом температуры падает модуль упругости материала. Как видно из (14.4.2-10) собственные частоты уменьшаются в соответствии с соотношением:

(14.4.4-1)

1041

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

ãäå p20 è pt - значения собственной частоты при комнатной температуре 200С и рабочей температуре t;

E20 è Et - значения модуля упругости при комнатной и рабочей температурах.

Влияние частоты вращения ротора связано с действием центробежных сил. При повышении частоты вращения собственные частоты изгибных колебаний возрастают за счет условного повышения изгибной жесткости пера лопатки. Как показано выше в разделе 14.4.2, этот эффект описывается соотношением (14.4.2-15).

С повышением частоты вращения ротора повышается температура газа в проточной части двигателя и увеличивается температура лопаток. Это приводит к падению собственной частоты из-за снижения модуля упругости материала в соответствии с (14.4.3-1).

Характер изменения собственных частот изгибных колебаний с увеличением частоты вращения ротора показан на Рис. 14.4.4_1 пунктирными линиями показана зависимость собственной частоты от частоты вращения с учетом совместного действия обоих эффектов. Наиболее характерно такое изменение собственных частот в случае «горячих» лопаток турбин и последних ступеней компрессоров. Для «холодных» лопаток первых ступеней компрессора характерно изменение собственных частот, показанное сплошными линиями.

При низких частотах вращения жесткость крепления лопатки в диске снижена из-за неплотного прилегания по контактным поверхностям замка. По мере увеличения частоты вращения жесткость крепления повышается благодаря увеличению центробежных сил и собственная частота возрастает. Снижение собственной частоты наблюдается при низких частотах вращения ротора, ниже половины максимального режима (см. Рис. 14.4.4_2).

14.4.5 - Нестационарные газодинамические силы, действующие на

лопатку

Колебания лопаток возбуждаются внешними, главным образом, газодинамическими силами, изменяющимися во времени с частотами порядка сотен и тысяч герц. Понимание причин появления этих сил, умение оценить их параметры на стадии проектирования позволяют исключить вибрационные поломки лопаток, упростить экспериментальную доводку двигателя, повысить его надежность.

Основным источником возбуждения колебаний лопаток является окружная неравномерность

Рисунок 14.4.4_1 - Зависимость собственных частот изгибных колебаний от частоты вращения ротора

Рисунок 14.4.4_2 - Влияние жесткости крепления лопатки в диске на собственную частоту колебаний

потока в проточной части двигателя. Она связана со следующими факторами: неравномерностью на входе в двигатель; влиянием элементов конструкции, находящихся в проточной части; влиянием перепуска и отбора воздуха из компрессора; неравномерностью параметров на выходе из камеры сгорания; пульсациями давления топлива; окружной неравномерностью радиальных зазоров. Кроме того, колебания лопаток могут возникнуть в результате так называемого кинематического возбуждения вследствие колебаний роторов, шестерен и др., а также в результате «вращающегося срыва» пото-

1042

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

ка в компрессоре. Рассмотрим отдельно каждый из	Поток воздуха на входе в двигатель может
этих факторов.	быть неравномерным при несимметричной форме
Неподвижные элементы конструкции, нахо-	канала воздухозаборником, при подводе воздуха по
дящиеся в проточной части, так называемые «за-	двум каналам. Эта неравномерность обуславлива-
теняющие» элементы - лопатки статора, стойки,	ет появление переменных сил, возбуждающих ко-
жаровые трубы и др. Механизм возникновения пе-	лебания лопатки. Неравномерность также может
ременных газодинамических сил, возбуждающих	быть связана с влиянием фюзеляжа, крыла и дру-
колебания лопатки, в этом случае следующий. За-	гих элементов самолетной конструкции. Неравно-
теняющие элементы вызывают появление зон по-	мерность потока может быть вызвана также нали-
ниженного полного давления (см. Рис. 14.4.5_1). Ра-	чием касательной составляющей скорости воздуха
бочая лопатка, вращаясь в проточной части	на входе в двигатель, возникающей при боковом
и проходя последовательно зоны повышенного и по-	ветре или движении самолета со скольжением на
ниженного давления, испытывает действие пере-	крыло. Один и тот же двигатель на разных самоле-
менной газодинамической нагрузки q(τ), изменяю-	тах или в разных условиях эксплуатации может
щейся несколько раз за один оборот лопатки.	иметь различия в переменных газодинамических
Именно эта нагрузка, повторяясь от оборота к обо-	силах, обусловленных этими причинами.
роту, возбуждает колебания лопатки. Возмущения	Перепуск и отбор воздуха из компрессора вы-
от затеняющих элементов распространяются вниз	зывают увеличение скорости в зонах отбора и из-
по потоку и действуют на лопатки ближайших трех-	менение газодинамической силы при прохождении
четырех ступеней, расположенных за источником	лопаток через эти зоны.
возмущений. Кроме того, в дозвуковом потоке воз-	Неравномерность газового потока на выходе
мущения возникают и выше по потоку, создавая	из камеры сгорания обусловлена конечным числом
переменные нагрузки на лопатки предыдущих сту-	форсунок. В зонах повышенной температуры уве-
пеней.	личивается скорость потока. Кроме того, возможно
	существование некоторой неравномерности в рабо-
	те форсунок: различие в расходе топлива и его рас-
	пылении. В этом случае появляются дополнитель-
	ные переменные силы.
	Окружная неравномерность радиального за-
	зора также является причиной неравномерности
	потока. Она является следствием погрешностей из-
	готовления корпуса или его деформации («овали-
	зации») при работе. В этом случае во время вра-
	щения рабочей лопатки изменяется радиальный
	зазор между ней и корпусом, скорость движения
	газа в зазоре и действующая на лопатку газодина-
	мическая нагрузка.
	Колебания дисков, валов роторов, шестерен
	могут приводить к кинематическому возбуждению
	колебаний рабочих лопаток. При кинематическом
	возбуждении колебаний лопатки нагружаются че-
	рез хвостовик переменными силами инерции, ве-
	личина которых зависит от массы лопатки, часто-
	ты и амплитуды колебаний диска. В двухвальных
	двигателях частоты таких колебаний необязатель-
	но кратны частоте вращения ротора.
	Специфическим механизмом возбуждения
	колебаний лопаток компрессора является вращаю-
	щийся срыв. Напомним механизм его развития (см.
Рисунок 14.4.5_1 - Изменение полного давления по	Рис. 14.4.5_2). Вначале из-за локального наруше-
окружности проточной части	ния однородности набегающего на колесо потока
при обтекании затеняющих эле-	происходит превышение критического угла атаки
ментов	и возникает срыв потока на спинке одной или не-
	скольких из лопаток. Расход воздуха через соот-

1043