Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

(14.1.18-5)

Отсюда видно, что вынужденные колебания происходят по гармоническому закону с частотой вынуждающей силы Ω. Сравнивая это соотношение с выражением (14.1.18-5), полученным без уче- та сопротивления, можно увидеть, что в знаменателе появилось слагаемое, не позволяющее ему обратиться в ноль при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой. Т.е. при наличии сопротивления, амплитуда колебаний на резонансном режиме хотя и возрастает, но остается конечной. Динамические свойства системы оценивают с помощью коэффициента динамичности β, представляющего собой отношение амплитуды вынужденных колебаний y0 к статическому

перемещению груза под действием амплитудной нагрузки: β = y0 / Fα.

На Рис. 14.1.18_2 показана зависимость коэффициента динамичности от соотношения собственной частоты и частоты вынуждающей силы при различных значениях логарифмического декремента колебаний. С увеличением декремента колебаний коэффициент динамичности быстро падает.

Рисунок 14.1.18_2 - Зависимость коэффициента динамичности от частоты вынуждающей силы при различных значениях декремента колебаний

Èç (14.1.18-5) ïðè Ω/p = 1 получается простая приближенная зависимость максимального значения коэффициента динамичности от логарифмического декремента колебаний:

β max ≈ π / δ.

(14.1.18-6)

Даже при большом декременте колебаний δ= 0,2π амплитуда колебаний при резонансе в пять раз выше статической деформации.

14.1.19 - Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы под действием произвольной периодической возмущающей силы

Рассмотрим общий случай периодической внешней силы F(t), действующей на груз. Его движение описывается уравнением (14.1.17-1) при отсутствии демпфирования или уравнением (14.1.18- 1) при его наличии. Рассмотрим сначала первый случай.

Для решения неоднородного уравнения (14.1.17-1) тем, что периодическую функцию можно представить в виде ряда Фурье:

(14.1.19-1)

ãäå Fi, Ωi è ψi – амплитуда, круговая частота и фаза гармонических составляющих внешней силы.

Такое представление возмущающей силы означает, что любая периодическая внешняя сила действует на колебательную систему так же, как сумма гармонически изменяющихся сил.

Решение линейного уравнения (14.1.17-1) в этом случае можно пользуясь принципом суперпозиции представить в виде суммы:

i = 1,2,…

(14.1.19-2)

ãäå yi è ϕi - амплитуда и фаза гармонических составляющих. Собственные колебания здесь отброшены.

Подстановкой этого выражения в (14.1.17-1) можно получить:

956

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

(14.1.19-3)

При наличии демпфирования колебания описываются уравнением (14.1.18-1). Для внешней силы, представленной рядом (14.1.19-1) его решение представляет собой суперпозицию колебаний (14.1.19-2) с амплитудами:

(14.1.19-4)

Таким образом, движение груза под действием произвольной периодической силы, представленной в виде сумму гармонических составляющих, есть наложение гармонических колебаний с частотами этих составляющих. Характер колебательных процессов, соответствующих этому решению, зависит от соотношения частот и амплитуд входящих в него гармоник. На Рис. 14.1.19_1 показано несколько примеров колебательных процессов, состоящих из двух гармоник. Хотя гармоник всего две, процессы весьма разнообразны.

Как видно из (14.1.19-3) и (14.1.19-4), амплитуда каждой из гармоник yi пропорциональна амплитуде соответствующей гармонической составляющей внешней силы Fi.

Наибольший интерес представляет зависимость амплитуд yi от отношения частот гармони- ческих составляющих внешней силы Ωi ê собственной частоте p. При совпадении собственной частоты с любой из частот Ωi амплитуда соответствующей гармоники колебаний yi возрастает, т.е. колебания становятся резонансными. Условие резонанса для системы с одной степенью свободы под действием произвольной периодической силы имеет вид:

Ωi = p, i = 1,2,…

(14.1.19-5)

На Рис. 14.1.19_2 приведен пример колебаний одномассовой системы под действием периодической внешней силы F(t), которая приближенно может быть представлена тремя гармоническими составляющими. В рассматриваемом примере cоотношение частот составляющих Ω1 : Ω2 : Ω3 = 1:2:5, соотношение амплитуд: F1 : F2 : F3 = 2:1:2 (график I). Соотношение амплитуд и частот удобно представлять в виде спектра, в котором каждая вертикальная линия представляет частоту Ωi и амплитуду Fi i-й гармоники внешней силы (график II). Количество гармоник,

Рисунок 14.1.19_1 - Типичные колебательные процессы, содержащие две гармоники

вообще говоря, бесконечно; обычно в спектрах приводят несколько первых (соответствующих низшим значениям) частот.

На Рис. 14.1.19_2 рассмотрены три варианта соотношения собственной частоты с частотами возмущающей силы (график III): в первом слу- чае собственная частота совпадает с частотой второй гармоники (а), во втором – с частотой третьей гармоники (б), в третьем (в) – находится между второй и третьей (Ω2 < p < Ω3). Колебания системы в первом и втором случаях имеют резонансный характер. В первом случае в спектре колебаний (график IV) выделяется вторая гармоника, амплитуда которой во много раз превосходит амплитуды остальных гармоник. Колебания - почти гармонические с частотой Ω2. Во втором случае ситуация аналогична, но колебания происходят с частотой Ω3. В третьем случае (в) колебания не резонансные, их амплитуда невелика, а амплитуды составляющих в спектре близки друг к другу.

957

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Рисунок 14.1.19_2 - Пример колебаний системы с одной степенью свободы по действием периодической возмущающей силы

à) p/Ω1 = 2; á) p/Ω1 = 5; â) p/Ω1 = 4;

I – изменение во времени силы; II – спектр силы; III – амплитудно-частотная характеристика системы; IV - спектр колебаний; V – колебания груза

Отметим характерную особенность резонансных колебаний. В отличие от нерезонансных колебания близки к гармоническим, а одна из амплитуд в спектре существенно больше остальных.

Применяя принцип Даламбера, приложим к каждой массе силу инерции:

,

	14.1.20 - Колебания системы с
	несколькими степенями свободы	Прогибы стержня под действием усилий F1 è F2
	Сначала рассмотрим свободные колебания
		равны:
	системы с двумя степенями свободы. Классичес-	y1 = α11F1 + α12F2 , y2 = α21F1 + α22F2
	кий пример такой системы - изгибные колебания
	невесомого стержня с двумя сосредоточенными	(14.1.20-1)
	массами m1 è m2 (ñì. Ðèñ. 14.1.20_1).

958

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Рисунок 14.1.20_1 - Схема системы с двумя степенями свободы

ãäå αij – коэффициенты влияния, представляющие собой прогибы в точке i под действием единичной силы, приложенной в точке j.

Они определяются методами сопротивления материалов, например, через интегралы Мора. Извест-

íî, ÷òî αij = αji.

Подставляя (14.1.20-1) в выражения для F1 è F2 получаем систему дифференциальных уравнений, описывающих движение грузов:

(14.1.20-2)

Будем рассматривать гармонические колебания системы, происходящие по закону:

(14.1.20-3)

ãäå y01,y02 - амплитудные отклонения точек закрепления масс.

Подставляя (14.1.20-3) в (14.1.20-2) получаем систему однородных уравнений относительно амплитуд y01 è y02 :

(14.1.20-4)

Однородная система линейных уравнений может иметь отличное от нуля решение в том слу- чае, если ее определитель равен нулю:

(14.1.20-4)

Из этого условия получается характеристическое уравнение для определения собственных частот колебаний:

(14.1.20-5)

Отсюда могут быть определены два действительных корня - значения собственной частоты p1 è p2 (для определенности будем далее индексом 1 обозначать низшую частоту, а индексом 2 – высшую). Как видно из (14.1.20-5) Они зависят только от параметров колебательной системы: масс и податливостей.

Получить амплитуды колебаний из однородных уравнений (14.1.20-4) невозможно. Однако, если определитель системы уравнений равен нулю, то из любого уравнения системы (14.1.20-4) можно получить соотношение между прогибами y01 è y02 при данной частоте. Например, из первого уравнения (14.1.20-4) находим для первой и второй собственных частот:

Рисунок 14.1.20_2 - Собственные формы колебаний двухмассовой системы

959

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

(14.1.20-6)

Эти отношения амплитуд также зависят только параметров системы и характеризуют две формы колебаний, которые называют собственными. Колебания с низшей, например, собственной частотой происходят по закону (14.1.20-3):

Они представляют собой гармоническое движение обеих масс по одному и тому же закону во времени с частотой p1. В каждом цикле обе массы одновременно проходят положение равновесия и одновременно достигают крайних положений, при этом соотношение перемещений в любой момент времени остается постоянным и равным r1. Аналогичные рассуждения могут быть проведены применительно ко второй собственной частоте. Каждой из собственных частот соответствует своя форма колебаний. Можно показать [14.8.11], что низшей собственной частоте p1 соответствует форма, когда обе массы двигаются в одну сторону; ча- стоте ð2 отвечает движение масс в разные стороны (см. Рис. 14.1.20_2).

Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы рассмотрим на примере нагружения рассмотренной выше системы (см. Рис. 14.1.20_1) гармонической силой FocosΩt, приложенной к одной из масс (для определенности – к первой). Эта сила добавляется к системе уравнений (14.1.20-2) в F1 и система становится неоднородной:

(14.1.20-7)

Решение ищем в виде, соответствующем отсутствию свободных колебаний:

Рисунок 14.1.20_3 - Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы для системы с двумя степенями свободы

После подстановки этих соотношений в (14.1.20-7) получаем систему алгебраических уравнений относительно y01 è y02 :

Получающиеся выражения для y01 è y02 громоздки и здесь не приводятся. Практический интерес представляет анализ амплитуд колебаний в зависимости от частоты вынуждающей силы Ω, представленный на Рис. 14.1.20_3. Видно, что система имеет два резонансных режима, соответствующих совпадению частоты вынуждающей силы с каждой из собственных частот. Таким образом, главное отличие вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы от систем с одной степенью свободы состоит в наличии двух, (а не одного) резонансных режимов.

Рассмотрим теперь колебания упругой системы с n сосредоточенными массами (см. Рис. 14.1.20_4). На каждую из этих масс действует сила инерции. Перемещение i-й массы по аналогии с выражением для двухмассовой системы (14.1.20-1) может быть представлено в виде:

yi = αi1F1 + αi2F2 + ... + αinFn, i = 1,2,...,n

960