Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Рисунок 14.2.2_3 - Напряжения растяжения от центробежных сил в лопатке с полкой

ление газа (воздуха) приводится к продольной оси стержня в виде интенсивности (погонной нагрузки, приведенной к единице длины пера) изменяющейся только по высоте лопатки. Эта нагрузка имеет две составляющие, одна из которых Ðà направлена вдоль оси двигателя осевая), а другая - в окружном направлении Ðu.

На Рис. 14.2.3_1 изображены усилия, действующие на элемент рабочей лопатки компрессора и турбины при обтекании его потоком газа. Применяя теорему о количестве движения для движущейся среды, получим выражения для интенсивности осевой и окружной нагрузок:

(14.2.3-1)

Рис. 14.2.2_2 показан пример такой лопатки (кривая 4); этот пример соответствует «холодной» лопатке, для которой постоянство запаса прочности соответствует постоянству напряжения. На практике такие лопатки не применяются по нескольким соображениям. Во-первых, выигрыш в массе по сравнению с лопатками, спрофилированными по линейному или степенному закону, при этом невелик. Во-вторых, кроме центробежных сил на лопатку действуют другие нагрузки, по отношению к которым такой способ профилирования лопаток оказывается не оптимальным.

Если лопатка имеет антивибрационную полку, к напряжениям от центробежных сил масс пера необходимо, в соответствии с (14.2.2-5) добавить напряжения от центробежных сил, действующих на полку. На Рис. 14.2.2_3 показано распределение напряжений для случаев, когда полка расположена на конце лопатки (кривая 1) и в средней части пера (кривая 2). Заметим, что напряжения возрастают только в той части пера, которая находится ниже полки.

14.2.3 - Изгибающие моменты и напряжения изгиба от газодинамических сил

Для расчета напряжений изгиба используем стержневую модель. Перо лопатки считаем стержнем переменного сечения, консольно защемленным в диске. Распределенное по поверхности пера дав-

											, (14.2.3-2)
ãäå GÃ
		- секундный расход газа;
p1, p2		- давление газа перед и за лопаткой;
Ñ1à, Ñ2à		- осевые составляющие скорости;
Ñ1u, Ñ2u		- окружные составляющие скорости;
Z		- число лопаток.

Рисунок 14.2.3_1 - Усилия, действующие на элемент рабочей лопатки компрессора (а) и турбины (б)

976

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Отметим, что осевая нагрузка для рабочих лопаток компрессора направлена против потока, для турбины - по потоку. Положительное направление окружной нагрузки для рабочих колес соответствует направлению окружной скорости и для рабочих лопаток турбин совпадает с направлением вращения, для компрессора - противоположно направлению вращения.

В приближенных расчетах можно принять интенсивность газовой нагрузки постоянной по высоте лопатки и равной интенсивности нагрузки на среднем радиусе. Тогда формулы (14.2.3-1) и (14.2.3-2) упрощаются и принимают вид:

(14.2.3-3)

. (14.2.3-4)

Схема нагружения рабочих лопаток газодинамическими силами в плоскостях rox è roy показана на Рис. 14.2.3_2. Изгибающие моменты в произвольном сечении будут определяться интегрированием элементарных изгибающих моментов по радиусу. В плоскости вращения roy изгибающий момент от газодинамических сил обозначим Ìãõ, в осевой плоскости roõ изгибающий момент обозначим Ìãó. По правилу знаков для изгибающих моментов, при-

нятому в сопротивлении материалов положительным считается момент, стремящийся повернуть систему по часовой стрелке, если смотреть по направлению соответствующей оси. В произвольном сечении с радиусом R (см. Рис. 14.2.3_2) выделим элемент лопатки длиной dr . Изгибающие моменты, которые от создает в сечении с радиусом R равны:

Изгибающие моменты определяются интегрированием :

(14.2.3-5)

(14.2.3-6)

Характер распределения изгибающих моментов показан на Рис. 14.2.3_2. Максимальные зна- чения приходятся на корневое сечение лопатки.

Для определения напряжений изгиба в лопатках необходимо перейти к главным центральным осям рассматриваемого поперечного сечения (см. Рис. 14.2.3_3). Ось минимальной жесткости сече- ния ξ направлена практически параллельно хорде, ось максимальной жесткости η - перпендикулярна ей. Угол между осью вращения двигателя и осью минимальной жесткости обозначим β. Положительное направление оси ξ - от входной кромки к выходной, оси η - от корыта на спинку лопатки.

Максимальные напряжения изгиба возникают в точках профиля, наиболее удаленных от главных

Рисунок 14.2.3_2 - К расчету изгибающих момен-	Рисунок 14.2.3_3 - К расчету напряжений изгиба
тов от газодинамических сил	в лопатках компрессора (а) и
	турбины (б)

977

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

осей. Таковыми являются точки А и С на входной и выходной кромках лопатки соответственно и точ- ка В на спинке лопатки (см. Рис. 14.2.3_3). Изгибающие моменты относительно главных центральных осей определим, проецируя изгибающие моменты ÌÃõ è ÌÃó íà îñè ξ è η:

(14.2.3-7)

(14.2.3-8)

В формулах (14.2.3-7) и (14.2.3-8) знаки соответствуют случаю нагружения рабочей лопатки турбины; для рабочей лопатки компрессора соответствующие формулы получаются, если изгибающие моменты подставить со своими знаками.

Напряжения изгиба в характерных точках профиля А, В и С определяются по формулам сопротивления материалов для случая косого изгиба че- рез составляющие изгибающего момента ÌÃξ è ÌÃη, моменты инерции сечения относительно главных осей Iξ è Iη и координат этих точек относительно осей ξ è η. На Рис. 14.2.3_4 приведено распределение напряжений изгиба для положительных направлений составляющих момента ÌÃξ è ÌÃη.

Для точки А выражение для расчета напряжения изгиба от газодинамических сил имеет вид:

(14.2.3-9)

Знак «-» перед вторым слагаемым в формуле (14.2.3-9) означает, что положительный момент

в точке А с положительной координатой вызывает напряжение сжатия (см. Рис. 14.2.3_4). Аналогич- ным образом выглядят выражения для напряжений изгиба в точках В и С.

Напомним, что моменты инерции сечения определяются как:

,

Геометрические характеристики сечений определяется численным интегрированием с использованием заданных координат точек профиля. Для момента инерции относительно оси наименьшей жесткости известно приближенное соотношение [14.8.3]:

,

ãäå b, cmax è h - соответственно, хорда, толщина и кривизна профиля.

Следует отметить, что момент инерции Iξ относительно оси ξ пропорционален третьей степени толщины профиля, а момент инерции Iη - третьей степени хорды профиля. Поскольку толщина профиля значительно меньше хорды, первое слагаемое в (14.2.3-9) заметно больше второго.

Направление действия газодинамических сил, действующих на рабочие лопатки компрессора

èтурбины, показано на Рис. 14.2.3_5. Видно, что

èв лопатках турбины, и в лопатках компрессора,

	Рисунок 14.2.3_5 - Направление действия газодина-
	мических сил на лопатки турби-
	ны (а) и компрессора (б), распре-
Рисунок 14.2.3_4 - Распределение напряжений	деление напряжений изгиба от
изгиба по сечению пера лопатки	газодинамических сил в лопат-
	ках компрессора и турбины (в)

978

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

газодинамические силы вызывают появление растягивающих напряжений на входной и выходной кромках (в точках А и С) и напряжения сжатия на спинке (точка В). Как и изгибающие моменты, напряжения изгиба в рабочих лопатках максимальны по абсолютному значению вблизи корневого сечения, периферийные сечения от напряжений изгиба разгружены.

14.2.4 - Изгибающие моменты и напряжения изгиба от центробежных сил. Компенсация напряжений изгиба от газодинамических сил напряжениями изгиба от центро-

бежных сил

Для обеспечения работоспособности рабочих лопаток необходимо, по возможности, минимизировать действующие на них нагрузки. В первую очередь, это относится к изгибающим моментам от газодинамических сил, которые можно частич- но компенсировать действием противоположных по знаку изгибающих моментов от центробежных сил. Для этого при проектировании лопатки центры тяжести поперечных сечений располагают на некотором удалении от оси радиуса, что называется выносом центров тяжести. Выносы делаются как в осевом, так и в окружном направлении.

Рисунок 14.2.4_1 - Схема для определения изгибающих моментов от центробежных сил

Степень разгрузки лопатки от изгиба характеризуется коэффициентом компенсации γ = ÌÖ/ÌÃ. Для его вычисления необходимо определить изгибающий момент от центробежных сил.

Рассмотрим изгибающий момент от центробежных сил в сечении с радиусом R (см. Рис. 14.2.4_1). Выделим на радиусе r > R элемент толщиной dr. Выносы центра тяжести этого элемента равны x è y, выносы центра тяжести сечения на радиусе R равны xi è yi . На элемент действует центробежная сила dPÖ , равная:

(14.2.4-1)

В плоскости вращения roy изгибающий момент дают составляющие силы dPÖ íà îñè r è ó, которые можно определить следующим образом, полагая малым угол ( между осью r и направлением действия dPÖ:

dPÖr = dPÖ cos α ≈ dPÖ ≈ ρω 2Frdr dPÖy = dPÖ sin α ≈ dPÖ y/r ≈ ρω 2yFdr

Тогда для элементарного изгибающего момента относительно оси õ получим:

dMÖÕ = dÐyr (y - yi) - dÐÖY (r - R) =

(14.2.4-2)

= ρω 2(yR - yir)Fdr

В плоскости rox изгибающий момент дает радиальная составляющая dÐÖr. Элементарный изгибающий момент относительно оси ó равен:

dMÖY = -dÐÖr (õ - õi) = - ρω 2 (õ - õi)Frdr(14.2.4-3)

Изгибающие моменты от центробежных сил MÖÕ è MÖY, действующие в сечении на радиусе R, определяются путем интегрирования:

(14.2.4-4)

(14.2.4-5)

979