Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

видно, что на критическом режиме прогиб вала равен:

(14.5.2-12)

Из выражения (14.5.2-10) следует A2 = uy2 + ux2. Т.е. точка Î1 крепления диска описывает окружность радиуса А с центром в точке Î. Аналогично, центр масс диска Î0 движется по окружности радиуса À0 также с центром в точке Î.

Фазовый угол χ представляет собой угол между векторами è . Соотношение (14.5.2-10) показывает, что при фиксированном значении частоты вращения ω величина угла χ остается постоянной, т.е. диск, вращаясь вместе с валом, обращен к линии подшипников ÎÎ’ одной и той же стороной. Такое движение называется прямой синхронной прецессией. Особенность прямой синхронной прецессии состоит в том, что вал не испытывает переменных во времени деформаций - в системе координат, вращающейся вместе с валом, его деформации постоянны (это следует иметь в виду при экспериментальных исследованиях колебаний роторов с помощью, например, тензорезисторов, наклеенных на вал).

Зависимость (14.5.2-5) фазового угла χ от частоты вращения ротора показана на Рис. 14.5.2_3. Видно, что при малых частотах вращения ω ≈ 0 óãîë χ имеет малые значения и направления векторов (прогиб вала) и (эксцентриситет центра масс) почти совпадают. По мере роста частоты вращения и приближения ее к значению ω→p âåëè- ÷èíà óãëà χ возрастает и при ω = p достигает зна- чения π/2, т.е. на критической частоте вращения вектор эксцентриситета перпендикулярен вектору прогиба вала и направлен в сторону вращения. При дальнейшем увеличении частоты вращения угол χ продолжает расти и при ω >>p приближается к зна- чению π. Это означает, что вектор прогиба вала и вектор эксцентриситета оказываются противоположно направленными, т.е. вектор эксцентриситета направлен в сторону оси подшипников. Это объясняет описанное выше явление самоцентрирования и подтверждает приемлемость принятого в предыдущем параграфе предположения о прямой синхронной прецессии.

Анализ выражения (14.5.2-6) показывает, что частота свободных колебаний ротора, диск которого совершает только поступательные перемещения в своей плоскости, зависит от упругих и массовых параметров системы и не зависит от частоты вращения ротора. Соответственно, критическая ча- стота такого ротора также зависит только от соот-

Рисунок 14.5.2_3 - Зависимость фазового угла от частоты вращения ротора

ношения массы и жесткости: увеличение массы приводит к снижению собственной частоты колебаний и соответствующей критической частоты вращения, а уменьшение массы наоборот приводит к их росту. Влияние жесткости противоположно влиянию массы системы: увеличение жесткости вызывает повышение собственной частоты колебаний и соответствующей критической частоты вращения, уменьшение же жесткости ведет к их снижению.

Рассматривая влияние жесткости системы на значение критической частоты вращения, необходимо помнить, что величина жесткости, входящая в выражение (14.5.2-2), включает в себя как жесткость вала CÂ, так и жесткость опор C0 ротора. Соответственно, изменение критической частоты ротора, т.е. его отстройку, можно выполнить как путем изменения жесткости вала, так и путем изменения жесткости опор ротора.

14.5.3 - Динамика одномассового ротора. Угловые перемещения

Обычно при колебаниях роторов диск кроме поступательных совершает также угловые перемещения, связанные с поворотом его осей инерции. Рассмотрим частный случай, когда поступательные перемещения отсутствуют. На Рис. 14.5.3_1 показан ротор с невесомым валом, на который в середине межопорного пролета посажен диск. Диск полностью уравновешен так, что точка его крепления к валу совпадает с центром масс, попереч- ные перемещения центра масс запрещены. Начало

1066

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Рисунок 14.5.3_1 - Расчетная схема

неподвижной системы координат Oxyz помещено в центре масс диска, ось вращения Ox направлена вдоль линии подшипников, ось Oy ортогональна оси Ox и направлена вертикально, ось Oz ортогональна плоскости xOy и образует с осями Ox è Oy правую систему координат. Диск будем считать осесимметричным, т.е. диаметральные моменты инерции диска относительно любого его диаметра одинаковы и равны I, полярный момент инерции диска относительно оси вращения обозначим I0.

Получив начальное угловое возмущение, вращающийся диск будет совершать свободные колебания, изменяя направления своих осей инерции. Для определения положения диска при колебаниях свяжем с ним подвижную систему координат Oξζη таким образом, чтобы оси Oξ, Oζ è Oη совпадали с текущим направлением главных осей инерции диска (см. Рис. 14.5.3_2). Начало координат поместим в центре инерции диска, ось Oξ совместим с текущим направлением оси вращения диска.

В процессе колебаний диска система Oξζη совершает угловые перемещения по отношению к неподвижной системе координат Oxyz, которые характеризуются углами Эйлера [14.8.5]. Сначала выполняется поворот вокруг оси Oy íà óãîë ψ. Ïðè ýòîì îñè On1 è On2 остаются перпендикулярными оси Oy и лежат в плоскости xOz. Далее выполняется поворот вокруг оси On1 íà óãîë θ. Ïðè ýòîì îñè Oξ è On’ остаются перпендикулярными оси On1 и лежат в плоскости n2Oy. Окончательно положение диска определяется поворотом вокруг оси Oξ íà óãîë ϕ. Îñè Oη è Oζ перпендикулярны оси Oξ и лежат в плоскости n1On’. Óãëû ψ, θ è ϕ соответствующие им скорости полностью определяют положение и движение системы координат, связанной с диском.

Рисунок 14.5.3_2 - Системы координат

Проекции угловой скорости диска на оси координат Oξζη определяются через углы ψ, θ , ϕ и скорости соотношениями (см. Рис. 14.5.3_2):

(14.5.3-1)

а проекции вектора момента количества движения в главных осях инерции Oξζη записываются в виде

(14.5.3-2)

Проецируя компоненты вектора момента количества движения на оси Oxyz, получим

(14.5.3-3)

1067

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Теперь подставим выражения (14.5.3-2) в (14.5.3-3). В виду малости углов ψ è θ заменим синусы их углами, а косинусы единицами; линеаризуем уравнения, т.е. отбросим произведения и степени малых углов, как величины более высокого порядка малости; учтем также, что скорости è существенно меньше . В итоге получим:

(14.5.3-4)

Поскольку углы поворота ϕy è ϕz диска вокруг осей Oy è Oz выражаются соотношениями

(14.5.3-5)

а движение вокруг оси Ox не рассматривается и принимается , ϕ = ωt, то уравнения (14.5.3-4) принимают форму:

(14.5.3-6)

и уравнения движения

(14.5.3-7)

запишутся в виде

(14.5.3-8)

ãäå My è Mz- моменты внешних сил относительно осей Oy è Oz.

Составляющие è отражают инерцию поворота диска относительно соответствующих осей. Члены è характеризуют гироскопический эффект, появляющийся при поворотах плоскости вращающегося диска. Появление гироскопического момента можно представить непосредственно, рассматривая ускорения отдельных

Рисунок 14.5.3_3 - К определению гироскопического момента

точек диска при изменении ориентации оси его вращения (см. Рис. 14.5.3_3). Пусть ось вращения Ox диска поворачивается на угол dϕz вокруг оси Oz за время dt. Скорости Vy точек А и В, первона- чально направленные параллельно оси Oy, изменяют свое направление на V’y, получая приращения dVx.

Величина этих приращений и соответствующих ускорений ax пропорциональна частоте вращения ротора (т.к. Vy = ωR, ãäå R - радиус диска) и скорости поворота оси его вращения. Для создания ускорений ax точек А и В необходимо к этим точкам приложить силы, создающие момент My относительно оси Oy, приложенный к ротору. Таким образом, если задана скорость поворота оси вращения Ox ротора вокруг оси Oz, то для того, чтобы ось вращения ротора оставалась в плоскости xOy, необходимо приложить к ротору момент относительно оси Oy, который должен компенсировать гироскопический эффект диска.

В уравнениях (14.5.3-8) внешний по отношению к диску момент, создаваемый силами упругости вала, пропорционален углам поворота диска

ϕy è ϕz и определяется проекциями My = -sϕy è Mz = -sϕz. Если считать опоры ротора абсолютно

жесткими, то углы поворота диска определяются только изгибом вала. В этом случае коэффициент жесткости s имеет значение s = 12EJ/l, причем l -

1068

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

длина вала, E - модуль упругости, J - момент инерции площади поперечного сечения вала. Если же считать вал абсолютно жестким, а опоры податливыми, то углы поворота диска будут определяться деформациями опор, а коэффициент жесткости s примет значение s = C0l2/4, ãäå C0 - жесткость каждой из опор. Подставив значения моментов, создаваемых упругостью вала (или опор) в уравнения (14.5.3-8), окончательно получим:

(14.5.3-9)

Выражения (14.5.3-19) представляют уравнения свободных угловых колебаний диска в отсутствие демпфирования. В условиях осевой симметрии упругих характеристик системы и инерционных свойств диска решение может быть найдено в форме:

(14.5.3-10)

ãäå Ω - частота собственных колебаний. Подстановка (14.5.3-5) в (14.5.3-4) дает:

(14.5.3-11)

Однородная система линейных алгебраических уравнений (14.5.3-11) относительно неизвестных амплитуд Ôy è Ôz угловых перемещений диска имеет нетривиальное решение лишь в случае равенства нулю ее определителя:

(14.5.3-12)

Равенство (14.5.3-12) представляет частотное уравнение для определения собственных частот угловых колебаний ротора. Заметим, что в это уравнение явно входит частота вращения ω, что приводит к зависимости собственных частот колебаний от частоты вращения и отражает влияние гироскопических свойств системы. При нулевой частоте вращения ω = 0 собственная частота Ω0 находится по формуле:

,	(14.5.3-13)

При частоте вращения ω, отличной от нуля, соотношение (14.5.3-7) можно записать в форме

[( s - IΩ2 ) + I ωΩ ] [( s - IΩ2 ) - I ωΩ ] = 0
0	0

откуда следует

.(14.5.3-14)

Собственные частоты Ω1 è Ω2 соответствуют прямой и обратной прецессии ротора. При прямой прецессии направление прецессии совпадает с направлением вращения вала, при обратной прецессии направление прецессии и направление вращения противоположны друг другу. Если частота прецессии по величине совпадает с частотой вращения, прецессия называется синхронной. В противном случае прецессия будет несинхронной. Зависимость собственных частот от частоты вращения для различных соотношений моментов инерции диска показано на Рис. 14.5.3_4. Крити- ческие частоты вращения соответствуют случаям совпадения частоты вращения с одной из собственных частот прецессии ротора. Подставив значения ω = Ω1 èëè ω = Ω2 в соответствующее равенство (14.5.3-14), получим выражения для критических частот вращения:

, (14.5.3-15)

соответствующих прямой Ω1* и обратной Ω2* прецессии ротора. Значения критических частот показаны на Рис. 14.5.3_4, как точки пересечения прямой Ω = ω с кривыми, характеризующими собственные частоты. Видно, что при I < I0 критические частоты прямой прецессии в системе отсутствуют. Для изотропных (осесимметричных) систем, т.е. систем, у которых в плоскости, перпендикулярной оси вращения ротора, характеристики жесткости не зависят от направления, колебания на критических частотах обратная прецессия не

1069

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Рисунок 14.5.3_4 - Собственные частоты и критические режимы ротора

возбуждается собственной неуравновешенностью ротора. Возбуждение таких колебаний возможно лишь в случае наличия анизотропии жесткости, либо когда на ротор, вращающийся с частотой ω , действует нагрузка, вращающаяся с частотой ω в противоположную сторону.

Для определения амплитуды вынужденных угловых колебаний необходимо учесть возмущающие силы и силы демпфирования. Рассмотрим покоящийся (не вращающийся) ротор с косо посаженным диском. Расположим ротор так, чтобы угол Ã перекоса диска совпадал с поворотом диска относительно оси Oy (см. Рис. 14.5.3_5). При повороте ротора вокруг оси вращения Ox íà óãîë ϕ =ωt плоскость диска, в которой лежат оси инерции диска, составит с осями Oy è Oz óãëû

Рисунок 14.5.3_5 - Ротор с косо посаженным диском

Поскольку при колебаниях ротора положение (14.5.3-16) плоскости крепления диска определяется углами ϕy è ϕx (14.5.3-5), то для определения положения

1070