Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

плоскости, в которой лежат оси инерции диска, к углам ϕy è ϕ÷ необходимо добавить углы γy è γx (14.5.3-16), характеризующие перекос диска. Положение главных осей инерции диска тогда будет определяться углами

.(14.5.3-17)

Проекции момента количества движения относительно главных осей инерции диска, аналогич- но (14.5.3-6), запишутся в виде

,(14.5.3-18)

а уравнения движения (14.5.3-7) - аналогично выражениям (14.5.3-8)

. (14.5.3-19)

К моментам My è Mx внешних сил, помимо моментов, связанных с упругостью вала, с проекциями -sϕy è -sϕz, добавим момент сил сопротивления с проекциями -Rϕy è -Rϕz:

, (14.5.3-20)

ãäå R - коэффициент сопротивления, характеризующий силы внешнего трения.

Подставив выражения (14.5.3-20) в (14.5.3-19), после преобразования получим уравнения вынужденных колебаний ротора, в котором неуравновешенность задана в виде углового отклонения Ã осей инерции диска от оси вращения

ки зависит от разности диаметрального и полярного моментов инерции диска (I - I0), и при равенстве всех моментов инерции диска (I = I0) колебания в системе возбуждаться не будут.

Стационарный режим, соответствующий установившимся вынужденным колебаниям, определяется частным решением уравнений (14.5.3-21)

(14.5.3-22)

После подстановки этого решения получим выражения для угловой амплитуды колебаний плоскости крепления диска

(14.5.3-23)

и, с учетом выражений (14.5.3-17), плоскости, в которой расположены оси инерции диска

.(14.5.3-24)

Анализ выражений (14.5.3-23) и (14.5.3-24) показывает, что угловые амплитуды Ô è Ô0 достигают максимума вблизи частоты вращения равной , представляющей собой критическую частоту прямой прецессии. Как и при поступательных перемещениях, за критической частотой происходит самоцентрирование ротора, т.е. ось инерции диска стремится к линии центров подшипников Ô0→0, а угол наклона касательной к изогнутой оси вала стремится к величине начального перекоса диска (Ô→Ã).

14.5.4 - Динамика одномассового несимметричного ротора

.(14.5.3-21)

Видно, что неуравновешенность диска, связанная с его перекосом, играет роль внешней периодической нагрузки. Интенсивность этой нагруз-

Рассмотрим ротор, диск которого расположен не в середине межопорного пролета, а находится ближе к одной из опор (см. Рис. 14.5.4_1), например, к левой. При действии на вал ротора попереч- ных сил и изгибающих моментов, сечения вала будут получать перемещения в направлении осей Oy и Oz и повороты вокруг этих осей.

Проанализируем деформации вала в плоско-

1071

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Рисунок 14.5.4_1 - Несимметричный ротор

ñòè xOy (ñì. Ðèñ. 14.5.4_2à, 14.5.4_2á). Ñèëà Py, приложенная в точке крепления диска и действующая

âположительном направлении оси Oy, вызовет пе-

ремещение uy вала вдоль оси Oy и поворот сечения вала на угол ϕz вокруг оси Oz. Направление перемещения будет совпадать с направлением действия силы, т.е. с положительным направлением оси Oy, а направление поворота поперечного сечения бу-

дет совпадать с положительным направлением от-

счета угла ϕz. Изгибающий момент Mz, приложенный к валу в точке крепления диска и действующий

âнаправлении положительного поворота вокруг

îñè Oz, вызовет в плоскости xOy положительный

прогиб вала uy и поворот ϕz в положительном направлении вокруг оси Oz. Таким образом, для деформации вала в плоскости xOy можно записать соотношения:

, (14.5.4-1)

ãäå α−прогиб вала под действием единичной силы; γ - угол поворота сечения вала при действии

единичного момента; β - прогиб вала, вызываемый единичным

изгибающим моментом или угол поворота сечения под действием единичной силы.

Из теории изгиба балок известно, что коэффициенты α, γ, β определяются выражениями:

(14.5.4-2)

Сила и момент, которые необходимы для прогиба вала на величину uy и поворота его сечения на угол ϕz, можно найти из выражений (14.5.4-1):

(14.5.4-3)

где коэффициенты C, N è S определяются соотношениями

(14.5.4-4)

Рассмотрим деформации вала в плоскости xOz (см. Рис. 14.5.4_2в, 14.5.4_2г). В точке крепления диска сила Pz, действующая в положительном направлении оси Oz, вызывает прогиб uz вала в положительном направлении этой оси и поворот сечения вала на угол (−ϕy) вокруг оси Oy в отрицательном направлении отсчета углов. Момент My, действующий в положительном направлении относительно оси Oy, вызовет поворот сечения вала на положительный угол ϕy и отрицательный прогиб вала (-uz). Деформации вала в плоскости xOz запишутся в виде соотношений

(14.5.4-5)

Здесь α , γ, β - представляют рассмотренные выше (14.5.4-2) коэффициенты упругости вала.

Сила и момент в плоскости xOz, вызывающие прогиб uz и поворот сечения ϕy, определяются выражениями, аналогичными (14.5.4-3)

1072

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Рисунок 14.5.4_2 - Деформации несимметричного ротора

(14.5.4-6)

Где величины C, N, S определяются соотношениями (14.5.4-4).

Итак, для того, чтобы в месте крепления диска вал имел перемещения uy, uz и углы поворота сечения ϕz, ϕy к нему необходимо приложить силы и моменты, определяемые выражениями (14.5.4-3) и (14.5.4-6). При этом со стороны вала на диск будут действовать внешние по отношению к диску силы и моменты той же величины, но противоположного направления. В плоскости xOy

(14.5.4-7)

и в плоскости xOz

(14.5.4-8)

Воспользовавшись соотношениями (14.5.2-4) и (14.5.3-19), можно записать уравнения колебаний одномассового несимметричного ротора под действием неуравновешенности при отсутствии сил демпфирования:

(14.5.4-9)

1073

Глава 14 - Динамика и прочность ГТД

Если неуравновешенность в роторе (эксцентриситет массы и перекос диска) отсутствует, то получим уравнения свободных колебаний

(14.5.4-10)

Принимая во внимание, что колебания ротора в плоскости xOy (величины uy è ϕz) опережают по фазе на четверть периода колебания в плоскости xOz (величины uz è ϕy), запишем решение в виде

(14.5.4-11)

Тогда

(14.5.4-12)

или в матричной форме:

(14.5.4-13)

Система уравнений (14.5.4-13) представляет однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд поступательных и угловых перемещений ротора. Такая система может иметь отличное от нуля решение лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю. Раскрывая определитель, найдем:

[(C - mp2)(S - Ip2) - N2 + I0ωp(C - mp2)]õ

õ[(C - mp2)(S - Ip2) - N2 - I0ωp(C - mp2)] = 0

(14.5.4-14)

откуда получим два уравнения для определения собственных частот колебаний:

(14.5.4-15)

Эти уравнения различаются между собой только знаками перед членами, содержащими частоту вращения ω, и анализ можно ограничить только одним из них, например первым, полагая, что частота вращения может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Из уравнения видно, собственные частоты колебаний зависят от частоты вращения ротора. Это является следствием гироскопического эффекта, поскольку колебательные перемещения ротора сопровождаются пространственным изменением направления оси вращения диска. Критические режимы будут иметь место при совпадение частоты вращения ω с собственной частотой колебаний ð ротора. Для прямой синхронной прецессии следует положить ω = p и уравнение примет вид:

.(14.5.4-16)

Åñëè I > I0, то уравнение имеет два положительных корня, которые определяют две критические частоты вращения при прямой прецессии. При I < I0 будет только одна критическая частота.

Для случая обратной синхронной прецессии следует положить ω = -p. Частотное уравнение принимает форму:

(14.5.4-17)

При обратной прецессии всегда будем иметь два положительных корня, которые определяют две критические частоты вращения. Резонансная диаграмма несимметричного ротора показана на Рис. 14.5.4_3.

1074