2.B. Не вполне рациональные предпочтения

56

именно, склонность сохранять статус-кво. Предыдущий пример можно интерпретировать и с этой точки зрения.

Более очевидный пример такой склонности представляет собой следующий эксперимент. Каждому участнику случайным образом выдали либо конфету, либо кружку, причем в целом конфет и кружек было одинаковое количество. Ясно, что если бы каждый участник предпочитал либо одно, либо другое, то примерно половина участников (если их количество достаточно большое) осталась бы недовольна полученным, и согласились бы отдать свой предмет и получить вместо него другой. В реальном же эксперименте только 10% участников соглашались на обмен44.

Изменение предпочтений во времени

При рассмотрении предпочтений важно помнить, что, вообще говоря, предночтения изменяются во времени. Если вы сегодня предпочитаете яблоки грушам, то далеко не факт, что ваши предпочтения останутся неизменным на протяжении всей вашей жизни. Естественно, этот факт также демонстрирует нарушение наших аксиом при рассмотрении реального выбора/предпочтений.

Этот далеко не исчерпывающий список, его можно продолжать и продолжать. Так, например, в литературе много внимания при обсуждении предпочтений и выбора уделяется вопросам инверсии предпочтений, несостоятельности предпочтений во времени и др. Но мы не будем здесь обсуждать эти явления и отсылаем заинтересованного читателя к соответствующей литературе.

2.B.1 Непротиворечивые, но неполные предпочтения

Можно представить себе индивидуума, который не всегда может сравнить пару альтернатив. Другими словами, кроме отношений «лучше», «хуже» и «безразлично» между парой альтернатив следует еще ввести отношение «неизвестно». Как несложно понять, при этом нестрогое отношение предпочтения < может быть понято двояко: как отрицание отношения(«не хуже») или же как отношение «лучше или эквивалентно». Удобнее (и принято в посвященной этому литературе) использовать его во втором значении. Этой традиции будем следовать и мы:

x < y (x y или x y)

Такой индивидуум может быть во всех остальных отношениях рациональным и последовательным. Введем определение подобных предпочтений.

Определение 21:

Назовем предпочтения h, <, i непротиворечивыми, если они удовлетворяют следующим предположениям:

(i)для любых x, y X выполняется не более чем одно из следующих трех соотношений: x y, или x y, или x y;

(ii)выполнено < = (т. е. < является отношением «лучше или эквивалентно»);

(iii)отношение < транзитивно;

(iv)отношение рефлексивно.

Здесь имеется близкая аналогия с индивидуумом, который имеет неоклассические предпочтения, но полная информация о таких предпочтениях отсутствует. Фактически, выше мы

44J. L. Knetsch: The Endowment Effect and Evidence of Nonreversible Indifference Curves, American Economic Review 79 (1989): 1277–1284.

2.B. Не вполне рациональные предпочтения

57

уже частично рассмотрели соответствующую теорию в случае конечного числа альтернатив (см. пункт 2.A.1)45.

Заметим, что данное определение предполагает не только непротиворечивость предпочтений, но и полное использование имеющейся информации. Рассмотрим свойства непротиворечивых предпочтений.

Теорема 18:

Если предпочтения h, <, i непротиворечивы, то они обладают следующими свойства-

ми:

•нестрогое отношение предпочтения < рефлексивно;

•строгое отношение предпочтения транзитивно и иррефлексивно;

•отношение безразличия транзитивно и симметрично;

•для x, y X выполнено

(x < y и (y < x)) x y и (x < y и y < x) x y;

• для x, y, z X выполнено

(x y и y z) x z и (x y и y z) x z;

•если по цепочке для альтернатив xi, xj, xk, . . . , xq, xr выполнено xi < xj , xj < xk , . . ., xq < xr , xr < xi , то эти альтернативы попарно эквивалентны, и, следовательно, ни одна из них не может быть лучше другой (аналог «обобщенной аксиомы выявленных

предпочтений»).

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Следующее утверждение говорит о том, что непротиворечивые предпочтения можно «достроить» до неоклассических предпочтений.

Теорема 19:

Если предпочтения h, <, i непротиворечивы, то существуют неоклассические пред-

почтения h0, <0, 0i, являющиеся их продолжением в том смысле, что

• x y x 0 y;

• x y x 0 y.

В случае конечного числа альтернатив данная теорема является очевидным следствием пункта (18) предыдущей теоремы и Теоремы 12. В общем случае доказательство довольно трудоемкое и далеко выходит за рамки данного учебника46.

Возникает вопрос о том, каким будет правило выбора, основанное на таких предпочтениях. Можно предложить вариант C<(A) (см. Определение 6):

C(A) = { x A y Ax y или x y } = { x y A x < y } .

Как показано выше (см. Теорему 14), если предпочтения непротиворечивы, то данное правило выбора удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений (см. Определение 20). Другое его свойство заключается в том, что из-за неполноты предпочтений это правило может приводить к тому, что ни одна альтернатива не может быть выбрана даже в «хорошо устроенных» ситуациях выбора A (например, когда имеется конечное число альтернатив).

45Существенное отличие состоит в том, что аналог отношения «выявленно не хуже» здесь не вводится.

46На основе отношения безразличия можно определить множества безразличия и не полностью заданное на этих множествах безразличия строгое отношение предпочтения. Затем можно распространить это отношение, полностью упорядочив кривые безразличия (см. сноску 37).

2.B. Не вполне рациональные предпочтения

58

С другой стороны, если правило выбора имеет вид C (A), т. е.

C(A) = C (A) = { x @y A : y x } ,

то указанная проблема не возникает, однако содержательно не очень правдоподобно, что индивидуум может действовать в соответствии с таким правилом. Например, если индивидуум не может сравнить альтернативу x с другими допустимыми альтернативами, то x может быть выбрана в соответствии с таким правилом; в то же время, данная альтернатива фактически может оказаться хуже всех остальных.

Как промежуточный вариант, избегающий указанных крайностей, можно предположить то, что выбор делается исходя из некоторого статус-кво x0 . Если нет таких альтернатив x A, что x x0 , то индивидуум выбирает x0 (т. е. C(A) = {x0}), если же такие альтернативы есть, то можно считать, что функция выбора имеет вид

C(A) = { x A x x0 и @y A: y x } .

В качестве примера подобного выбора укажем на голосование на основе консенсуса, такое что каждый из участников голосования имеет неоклассические предпочтения. Заметим, что построенное так правило выбора может не удовлетворять слабой аксиоме выявленных предпочтений.

2.B.2 Полные, но противоречивые (нетранзитивные) предпочтения

В самом общем смысле под полнотой предпочтений можно понимать то, что индивидуум всегда может определить, как он относится к паре альтернатив: является ли x для него более предпочтительной, чем y, или y для него более предпочтительна, чем x, или эти эти альтернативы эквивалентны. При этом можно не накладывать ограничения, что эти ситуации несовместны, т. е. для двух альтернатив, x и y, выполняется хотя бы одно из трех соотношений: x y, или x y, или x y. Тогда отношение «лучше или эквивалентно», вообще говоря, может не совпадать с отрицанием отношения (т. е. с отношением «не хуже»), но уже не по причине неполноты, как это было в предыдущем пункте.

Мы не будем обсуждать это (слишком серьезное) отклонение от рациональности и будем в дальнейшем исходить из того, что всегда выполнено ровно одно из трех соотношений: x y, или x y, или x y. В таком случае смысл нестрогого отношения предпочтения становится однозначным. Будем рассматривать предпочтения, которые могут быть нетранзитивными, т. е. такими что, например, возможно выполнение соотношений x y, y z и z x для несовпадающих альтернатив x, y, z.

Определение 22:

Назовем предпочтения h, <, i полными, если они удовлетворяют следующим предположениям:

(i)для любых x, y X выполняется ровно одно из следующих трех соотношений: x y, или x y, или x y;

(ii)выполнено < = .

Теорема 20:

Если предпочтения h, <, i полные, то они обладают следующими свойствами:

•нестрогое отношение предпочтения < является полным и рефлексивным;

•строгое отношение предпочтения является иррефлексивным и асимметричным;

• отношение безразличия является рефлексивным и симметричным.

2.B. Не вполне рациональные предпочтения	59
Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Такие предпочтения можно использовать для моделирования коллективного выбора, например, голосования простым большинством в случае, если каждый из участников голосования имеет неоклассические предпочтения47.

Как обсуждалось выше, условие транзитивности является ограничительным при моделировании поведения потребителя. Поэтому представляется вполне естественным задаваться вопросом о свойствах предпочтений и о существовании функции полезности в случае, если строгое отношение предпочтения не обладает свойством отрицательной транзитивности, или, что эквивалентно, нестрогое отношение предпочтения < не обладает свойством транзитивности.

При полноте предпочтений правила выбора C (A) и C<(A) совпадают, и поэтому не возникает проблем с определением правила выбора. В то же время, нетранзитивность предпочтений, так же как и неполнота, может приводить к тому, что правило выбора может быть пустым даже если ситуация выбора A «хорошо устроена». Например, при выборе из трех альтернатив, таких что x y z x, значение правила выбора будет пустым.

Как показывает приведенная выше Теорема 6 (с. 26), при нетранзитивности не существует функции полезности в смысле Определения 7 (с. 25), т. е. показателя, заданного на отдельных альтернативах и оценивающего уровень благосостояния при выборе данной альтернативы. Но, тем не менее, даже в этом случае можно построить некоторый индикатор, который давал бы полное описание рассматриваемых предпочтений. Такой индикатор может быть задан на парах альтернатив и сравнивать две альтернативы между собой.

Идея состоит в том, чтобы подобный индикатор (Δ(·)) удовлетворял следующим условиям:

(Δ1)	Δ(x, y) > 0 тогда и только тогда, когда x y;
(Δ2)	Δ(x, y) < 0 тогда и только тогда, когда y x;
(Δ3)	Δ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x y;

(Δ4) Δ(x, y) = −Δ(y, x).

Так построенная функция может считаться обобщенной функцией полезности. Нетрудно понять, что если предпочтения представимы обычной функцией полезности u(·), то в качестве Δ(x, y) можно взять функцию u(x) − u(y).

Следующая теорема дает условия существования «обобщенной функции полезности», соответствующей полным, но, возможно, нетранзитивным предпочтениям. Для доказательства существования такой функции используется некоторый аналог условия непрерывности предпочтений (замкнутость <). Пары альтернатив в доказательстве обозначаются p, q, r, s. Типичная пара альтернатив имеет структуру p = (x, y), где x, y X . Порядок альтернатив в паре при этом существенен.

Теорема 21:

Пусть на X Rl заданы полные предпочтения h , <, i, такие что бинарное отношение < замкнуто (в Rl × Rl ). Тогда существует непрерывная функция : X × X → R, удовлетворяющая условиям (Δ1)–(Δ4).

Доказательство: Рассмотрим отношение безразличия . Так как предпочтения полные, то оно рефлексивно. Таким образом, оно непусто, если рассматривать его как подмножество множества X × X (в него входят все пары вида (x, x)). Кроме того, из замкнутости < следует замкнутость .

Пусть d(p, q) = |p−q| — евклидово расстояние на Rl ×Rl . Определим функцию d (·): X × X 7→R так, чтобы паре альтернатив p X × X она сопоставляла наименьшее расстояние

47Парадокс Кондорсе демонстрирует, что процедура голосования большинством голосов может приводить к нетранзитивности и к тому, что значение правила выбора будет пустым. См. сноску 19 на с. 418.