5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния

187

ящика Эджворта, причем на каждой кривой безразличия в ящике Эджворта лежит ровно одна точка Парето, и что кривая Парето-границы не имеет колец. (Подсказка: воспользоваться представлением Парето-границы через оптимизационную задачу с параметром задающим «вес» полезности одного из потребителей, и теоремой о непрерывности по параметру решения задачи максимизации вогнутой функции на выпуклом множестве.)

/285. Покажите, что в модели обмена (с m потребителями) с совпадающими и строго выпуклыми предпочтениями потребителей и совпадающими начальными запасами векторы начальных запасов потребителей составляют Парето-оптимальное распределение.

/286. Какими свойствами обладает равновесие в модели обмена с монотонными и строго выпуклыми предпочтениями. Аргументируйте свой ответ.

/287. В модели обмена распределение x называется справедливым, если xi <i xj i, j (никто никому не завидует).

(1)Покажите, что множество справедливых распределений непусто.

(2)Покажите, что если предпочтения строго выпуклы, непрерывны и строго монотонны, а совокупные начальные запасы положительны, то множество справедливых распределений, которые являются Парето-оптимальными, непусто.

(3)Как выглядит множество Парето-оптимальных справедливых распределений, если предпочтения потребителей одинаковы?

/288. Найдите равновесие и Парето-границу в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями:

u1(x1) = ln(x11) + ln(x12), u2(x2) = ln(x21) + ln(x22), ω1 = (1, 3), ω2 = (3, 1).

Проиллюстрируйте этот анализ на диаграмме Эджворта и проинтерпретируйте графически обе теоремы благосостояния.

/ 289. Рассмотрим модель обмена с m одинаковыми потребителями со строго выпуклыми предпочтениями.

P

Покажите, что эгалитарное распределение xi = ωi/m принадлежит границе Парето. Принадлежит ли это распределение ядру данной экономики?

При каких дополнительных предположениях это эгалитарное распределение можно реализовать как равновесие? При каких ценах?

Что можно сказать о таких ценах в случае, если предпочтения представимы строго монотонной дифференцируемой функцией полезности?

Остается ли это утверждение справедливым при отказе от предположения о выпуклости предпочтений?

5.5Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния

Сопоставляя дифференциальные характеристики оптимума Парето и равновесия, можно обнаружить, что они совпадают. Совпадение дифференциальных характеристик позволяет заключить, что при определенных условиях совпадают и сами эти состояния. Характеристика этих условий составляет содержание так называемых теорем благосостояния10 (или, как их

10Идею этих теорем можно найти в книге В. Парето. Несколько известных экономистов (А. Лернер, Х. Хотеллинг, О. Ланге, М. Алле) занимались этими вопросами в 1930-1940 гг. и дали наброски доказательств. Формальные доказательства теорем разработали Кеннет Эрроу (1951) и Жерар Дебрё (1951, 1954).

5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния

188

еще называют, фундаментальные теоремы экономики благосостояния). Первая теорема благосостояния утверждает, что равновесие Парето-оптимально. Вторая теорема благосостояния утверждает, что на основе Парето-оптимума можно построить равновесие.

Для доказательства первой теоремы благосостояния нам потребуется определение локальной ненасыщаемости предпочтений11.

Определение 51:

см. ?? Предпочтения потребителя ( i, <i, i) называются локально ненасыщаемыми, если для любого допустимого набора xi Xi в любой окрестности этого набора V (xi) найдется другой лучший для него допустимый набор xˇi , т. е. такой набор, что

xˇi Xi, xˇi V (xi) и xˇi xi.

Для локальной ненасыщаемости, в частности, достаточно, чтобы функция полезности в каждой точке множества Xi строго возрастала хотя бы по одному из благ и Xi = Rl+ . (Для внутренних потребительских наборов (xi > 0) строгое возрастание по одному из благ здесь можно заменить на строгое убывание по одному из благ).

Теорема 67 ((Первая теорема благосостояния)):

Пусть (p¯, x¯, y¯) — общее равновесие экономики, и функции полезности всех потребителей локально ненасыщаемы, тогда состояние (x¯, y¯) Парето-оптимально.

Доказательство: Доказательство проводится от противного: пусть есть другое допустимое состояние, (x˜, y˜), доминирующее состояние (x¯, y¯) в смысле Парето, то есть такое, что

x˜i <i x¯i i I,

ипотребитель i0 для которого x˜i0 i0 x¯i0 .

1)Набор x˜i0 дороже, чем нужно, чтобы удовлетворять бюджетному ограничению при равновесных ценах и доходах, т. е.

p¯x˜i0 > βi0 .

Если бы это было не так, то набор x˜i0 , более предпочтительный для него, чем x¯i0 , являлся бы допустимым в задаче потребителя, что противоречит определению равновесия.

Аналогично для прочих потребителей p¯x˜i > βi( i I). Действительно, в противном случае (при p¯x˜i < βi ) существовала бы окрестность набора x˜i , все точки которой удовлетворяли бы бюджетному ограничению, и по условию локальной ненасыщаемости в этой окрестности нашелся бы альтернативный допустимый набор xˇi Xi , который лучше для потребителя, чем x˜i и удовлетворяет бюджетному ограничению (см. Рис. 5.5). Этот набор лучше для потребителя, чем равновесный набор x¯i , что невозможно.

Суммируя полученные неравенства по всем потребителям, получаем

p¯

X

x˜i >

X

i I

i I

2) С другой стороны, вычислим сумму доходов потребителей в равновесии:

βi =

p¯kωik + γij

p¯ky¯jk + Si

=

X

X X

X

kX

I

K

j

J

K

i I

i

k

+ Si

ωik + y¯jk

=

p¯k

ωik + y¯jk

γij

=

p¯k

kX

X

X

X

X

X

X

X

K

I

J

K

I

i

j

i I

i

I

k

i

j

J

11Отметим, что локальная ненасыщаемость предпочтений потребителя влечет за собой то, что решение задачи потребителя выводит бюджетное ограничение на равенство. Однако этот факт не добавляет ничего нового к характеристикам равновесия, поскольку, как показано выше, в любом равновесии бюджетное ограничение выполнено как равенство.

5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния

189

xi2

xˇi

x˜i

xi1

Рис. 5.5. Иллюстрация к доказательству первой теоремы благосостояния

или

X X X

βi = p¯ ωi + p¯ y¯j.

i I i I j J

3) Поскольку y¯j — оптимальная технология для j -го предприятия при ценах p¯ , то

p¯y¯j > p¯y˜j.

Суммируя по всем предприятиям, получим

XX

		p¯	y¯j > p¯		y˜j.
		j J		j J
4) Сопоставим три полученные выше соотношения:							jX
Xi I	X	X		X		X
p¯ x˜i > βi		= p¯ ωi + p¯			y¯j	> p¯ ωi + p¯	y˜j
	i I	i I		j	J	i I	J
или		X	X			jX
	p¯
		x˜i > p¯		ωi + p¯		y˜j.
		i I	i	I		J

Это неравенство противоречит тому, что (x˜, y˜) — допустимое состояние, поскольку в допустимом состоянии должны выполняться балансы

X	X	jX
	x˜i = ωi + y˜j.
i I	i I	J

Получено противоречие, поэтому для (x¯, y¯) нельзя найти Парето-улучшение. Это означает, что (x¯, y¯) — Парето-оптимум.

Рассмотрим пример экономики с потребителями, характеризующимися локальным насыщением, и проиллюстрируем его с помощью ящика Эджворта.

Пример 30:

Первый потребитель имеет функцию полезности с «толстой» кривой безразличия

x11x12,	x11x12 < 2,
u1 = 2,	2 < x11x12 < 3,

x x − 1, x x > 3.

11 12 11 12

5.5.	Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния	190
	x21
	x12
	P
	WP
	x11
	x22
	Рис. 5.6. Контрпример к первой теореме благосостояния

У второго же потребителя функция полезности линейна

u2 = x21 + x22.

Начальные запасы в экономике достаточно большие.

Данная ситуация представляет собой контрпример к первой теореме благосостояния и показывает важность условия локальной ненасыщаемости. Точки в заштрихованной области Рис. 5.6 принадлежат слабой границе Парето, но не сильной. Их можно реализовать как рав-

новесие при ценах p1 = p2 = 1, но они не являются Парето-оптимальными.

4

Перейдем к доказательству того, что всякое Парето-оптимальное состояние можно реализовать как равновесие (вторая теорема благосостояния). Мы докажем здесь эту теорему в предположении дифференцируемости функций с использованием теоремы Куна — Таккера.

Теорема 68 ((Вторая теорема благосостояния)):

Пусть (xˆ, yˆ) — Парето-оптимальное состояние экономики, причем

G функции полезности и производственные функции дифференцируемы,

G множества Xi выпуклы, а функции полезности и производственные функции вогнуты12,

G рассматриваемый Парето-оптимум внутренний (т. е. для всех потребителей xˆi int Xi ),

G в рассматриваемом состоянии градиенты всех функций полезности и производственных функций не равны нулю:

rui(xˆi) 6= 0, i I и rgj(yˆj) 6= 0, j J.

Тогда найдется вектор цен p и трансферты Si , i = 1, . . . , m, такие что (p, xˆ, yˆ) — общее равновесие.

Доказательство: Выше мы доказали, что в условиях теоремы найдутся множители Лагранжа λi > 0 (i I ), µj > 0 (j J ) и σk (k K ), такие что в состоянии (xˆ, yˆ) выполняются следующие условия первого порядка:

∂ui(xˆi)			= σk, i, k и	∂gj(yˆj)		+ σk = 0, j, k.
λi				µj
	∂xik				∂yjk

12Здесь достаточно потребовать «приводимость к вогнутости».

∂xik

5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния

191

Возьмем в качестве равновесных цен множители Лагранжа для балансовых ограничений, т. е. pk = σk , k K и выберем такие трансферты Si , чтобы доход каждого потребителя совпадал с расходами, требуемыми на покупку набора xˆi при ценах p (βi = pxˆi ), т. е.

X	jX
Si = βi − pωi − γijpyˆj = p(xˆi − ωi −	γijyˆj).
j J	J

Несложно проверить, что сумма этих трансфертов равна нулю.

Для того, чтобы доказать, что (p, xˆ, yˆ) является равновесием, нам достаточно доказать,

(i) что для всех потребителей xˆi является решением задачи потребителя при ценах p и доходах pxˆi , и (ii) что для всех производителей yˆj является решением задачи производителя при ценах p.

(i) Очевидно, что набор xˆi является допустимым в задаче потребителя. Докажем, что он является оптимальным. Для этого воспользуемся обратной теоремой Куна — Таккера.

Требуется найти неотрицательный множитель Лагранжа νi для бюджетного ограничения, такой что выполнено условие первого порядка (выведенное ранее)

∂ui(xˆi) = νipk, k K.

Этому требованию удовлетворяет νi = 1/λi , поскольку выполнено λi∂ui(xˆi)/∂xik = σk и λi >

0.

Условие дополняющей нежесткости для бюджетного ограничения выполнено, поскольку в точке xˆi бюджетное ограничение активно. Поскольку функция полезности вогнута, а множество Xi выпукло, то выполнены все требования обратной теоремы Куна — Таккера. Т. е. xˆi — решение задачи потребителя.

(ii) Докажем теперь, что технология yˆj является оптимальной для j -го производителя. Требуется найти неотрицательный множитель Лагранжа κj для технологического ограничения, такой что выполнено условие первого порядка

κj ∂gj(yˆj) = pk, k K. ∂yjk

Этому требованию удовлетворяет κj = µj . Условие дополняющей нежесткости для технологического ограничения выполнено, поскольку соответствующее условие с точностью до замены µj на κj выполнено в Парето-оптимуме. Таким образом, выполнены условия Куна — Таккера, и поскольку производственная функция вогнута, то yˆj — решение задачи производителя.

Замечание: В экономике без трансфертов, чтобы доходы βi равнялись требуемым расходам pxˆi , следует соответствующим образом распределить собственность, то есть указать начальные запасы ωi и доли в прибылях γij . Для этого достаточно найти долю θi каждого потребителя в совокупных расходах потребителей,

pxˆi

θi = P ,

s I pxˆs

и поделить собственность в соответствующих пропорциях, т. е. взять γij = θi i, j и ωi = θiωΣ i, где ωΣ — совокупные начальные запасы.

В экономике чистого обмена достаточно выбрать ωi = xˆi .

Использование теоремы Куна — Таккера в дифференциальной форме — только один из возможных путей доказательства. Мы воспользовались им здесь, поскольку этот подход понадобится нам в дальнейшем для проверки противоположных утверждений — о неоптимальности несовершенных рынков. Условия дифференцируемости функций во второй теореме благосостояния на самом деле избыточны.

5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния

192

Теорема 69 ((вторая теорема благосостояния без дифференцируемости)):

Пусть

F множества допустимых потребительских наборов Xi выпуклы, предпочтения потребителей <i выпуклы, непрерывны и локально ненасыщаемы,

F технологические множества Yi каждого производителя выпуклы.

Тогда если (xˆ, yˆ) — оптимальное по Парето состояние и xˆi int Xi i (т. е. данное Па- рето-оптимальное состояние является внутренним), то существуют цены p и трансферты Si , i = 1, . . . , m, такие что (p, xˆ, yˆ) является общим равновесием.

Доказательство: Введем ряд обозначений которые нам понадобятся в дальнейшем для доказательства этого утверждения.

Обозначим множество наборов лучших для потребителя i, чем xˆi , через L++i :

L++i (xˆi) = { xi Xi | xi i xˆi } .

Поскольку предпочтения потребителей выпуклы, и множества допустимых потребительских наборов Xi выпуклы, то, как несложно показать, L++i (xˆi) также выпуклы, и, значит, их сумма

L++(xˆ) = i I Li++(xˆi) =		i I xi	xi Xi, xi i xˆi i I
	X	X
++					++	(xˆ) непу-
выпукла. Кроме того, Li	(xˆi) непусты по локальной ненасыщаемости, значит и L
сто.
Множество производственных возможностей,

XX

		YΣ + ωΣ = j J Yj + ωΣ =			j J yj + ωΣ yj Yj j J ,
тоже является выпуклым в силу выпуклости технологических						множеств и непустым, так как
ему принадлежит точка				j J yˆj + ωΣ .
Поскольку	(xˆ	, yˆ)	—	оптимум Парето, то множества L++(xˆ) и YΣ + ωΣ не имеют общих
				P
точек:				L++(xˆ) ∩ (YΣ + ωΣ) = .

Предположим, что существует общая точка z L++(xˆ) и z YΣ + ωΣ . Это означало бы, что существует состояние экономики (x, y), такое что xi Xi , xi i xˆi i, yj Yj j ,

P P

i I xi = z и j J yj + ωΣ = z. Тем самым мы нашли бы допустимое состояние экономики, которое доминирует13 оптимальное по Парето состояние (xˆ, yˆ), чего быть не может.

Поскольку множества L++(xˆ) и YΣ + ωΣ выпуклы, непусты и не пересекаются, к ним применима теорема отделимости. Поэтому существует вектор p Rl , p 6= 0 и число r R,

такие что

pz > r, если z L++(xˆ)

и

pz 6 r, если z YΣ + ωΣ.

Пусть x = {xi} — такой набор допустимых потребительских наборов, что xi <i xˆi i, что можно по аналогии записать как x L+(xˆ). Покажем, что p Pi I xi > r. Из локальной ненасыщаемости предпочтений <i следует, что для любого натурального числа N в окрестности

V1/N (xi) набора xi существует набор xNi , такой что xNi i xi , где V1/N (xi) — шар с центром xi и с радиусом 1/N . Поскольку xNi i xi <i xˆi , то Pi I xNi L++(xˆ), откуда p Pi I xNi > r. Заметим, что последовательность xNi сходится к xi . Переходя к пределу по N , получим тре-

буемое неравенство.

13Причем строго доминирует.

5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния

193

Введем обозначение

XX

zˆ = xˆi = yˆj + ωΣ.

i I j J

(Второе равенство здесь является следствием балансов по благам.)

Поскольку zˆ L+(xˆ) (по рефлексивности отношения <i — каждый из наборов xˆi не хуже себя самого), то pzˆ > r. С другой стороны, так как Парето-оптимум технологически допустим, то zˆ YΣ + ωΣ , и pzˆ 6 r. Следовательно, r = pzˆ.

z2

L+(xˆ)

zˆ

YΣ+ωΣ

z1

Рис. 5.7. Иллюстрация к доказательству второй теоремы благосостояния

Таким образом, мы нашли гиперплоскость, проходящую через zˆ и разделяющую множества YΣ + ωΣ и L+(xˆ) (см. Рис. 5.7). Возьмем коэффициенты p, соответствующие этой гиперплоскости, в качестве цен и покажем, что (p, xˆ, yˆ) является равновесием при соответствующем подборе трансфертов.

Покажем сначала, что при этих ценах прибыль каждого предприятия j максимальна в точке yˆj . Пусть yj Yj . Тогда

	X6
yj + yˆs + ωΣ YΣ + ωΣ
	s=j
и выполнено	X
X6
p(yj +	yˆs + ωΣ) 6 pzˆ = p( yˆs + ωΣ).
s=j	s J

Отсюда pyj 6 pyˆj . Другими словами, производитель не может при ценах p увеличить свою прибыль, выбрав yj вместо yˆj , то есть yˆj — решение задачи производителя.

Аналогичным образом доказывается, что любой набор xi Xi , который не хуже xˆi (xi <i xˆi ), не может стоить дешевле, чем xˆi в ценах p. Действительно, так как (xˆ1, . . . , xi, . . . , xˆn) не хуже для каждого потребителя, чем xˆ , то

XX

p(xi +	xˆs) > pzˆ = p xˆs.
s6=i	s I

Таким образом, из xi <i xˆi следует pxi > pxˆi .

Докажем, что при ценах p и доходе βi = pxˆi полезность каждого потребителя i максимальна в точке xˆi . Для этого требуется усилить доказанный только что факт и доказать, что из xi i xˆi следует pxi > pxˆi . Другими словами, требуется доказать, что лучший набор xi (xi Xi и xi i xˆi ) должен стоить дороже, чем xˆi в ценах p. Мы уже доказали, что pxi > pxˆi , поэтому осталось показать, что равенство здесь достигаться не может.

Предположим, что это не так и pxi = pxˆi .

Условие xˆi int Xi означает, что xˆi принадлежит множеству Xi вместе с некоторой своей окрестностью. Поскольку не все цены равны нулю (p 6= 0), то в этой окрестности найдется

5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния

194

набор x0i , который в ценах p стоит дешевле xˆi и, следовательно, дешевле xi . Действительно, пусть pk 6= 0 для некоторого блага k. Если pk > 0, то можно немного уменьшить потребление этого блага по сравнению с xˆik , а если pk < 0, то немного увеличить. Таким образом, существует допустимый набор x0i , такой что px0i < pxi .

Рассмотрим выпуклые комбинации αx0i + (1 − α)xi , α [0, 1]. Поскольку множество допустимых потребительских наборов Xi выпукло, то все такие наборы допустимы. В силу непрерывности предпочтений, если положительное α является достаточно малым, то набор

x00	= αx0	+ (1	−	α)x	i
i	i
лучше, чем xˆi . Кроме того, поскольку pxi0 < pxˆi = pxi , то pxi00						< pxi .
xi2
	xi
	xi00
		xˆi
	xi0			xi1
Рис. 5.8. Иллюстрация к доказательству второй теоремы благосостояния

Но, с другой стороны, из x00i i xˆi следует, что px00i > pxˆi . Получили противоречие. Таким образом, pxi > pxˆi . Значит, невозможно найти допустимый набор, который был бы

лучше xˆi , но стоил бы не дороже, чем xˆi . Таким образом, xˆi — решение задачи потребителя при ценах p и доходе βi = pxˆi .

Для того, чтобы доказать, что (p, xˆ, yˆ) — равновесие Вальраса, нам осталось найти такие трансферты, равные в сумме нулю, чтобы с учетом трансфертов βi = pxˆi . Рассуждения здесь повторяют рассуждения предыдущей теоремы.

Рассмотрим примеры того, что отказ от предположений второй теоремы благосостояния приводит к тому, что она перестает быть верной. При этом удобно воспользоваться для иллюстрации ящиком Эджворта. Для того, чтобы на основе Парето-оптимума можно было построить равновесие, требуется найти прямую, которая бы разделяла множества L++1 (xˆ1) и L++2 (xˆ2) на диаграмме Эджворта. Например, на Рис. 5.1 такая гиперплоскость имеется, поэтому точка x¯ является одновременно Парето-оптимальной и равновесной. На Рис. 5.3 первый потребитель имеет невыпуклые предпочтения и Парето-оптимальную точку xˆ нельзя реализовать как равновесие — не существует прямой, которая бы разделяла L++1 (xˆ1) и L++2 (xˆ2). Приведем еще несколько примеров.

Пример 31:

Пусть потребители имеют функции полезности u1 = x11 + √x12 и u2 = x22 .

Правый нижний угол ящика Эджворта (xˆ ) представляет собой оптимум Парето, но не может быть реализован как равновесие ни при каких ценах (см. Рис. 5.9). Эта экономика представляет собой контрпример ко второй теореме благосостояния с не внутренним оптимумом Парето. Прямая, разделяющая L++1 (xˆ1) и L++2 (xˆ2), существует — она проходит горизонтально. Однако это разделение нестрогое, поскольку частично эта прямая лежит в L++1 (xˆ1). Действительно, несложно проверить, что при ценах p1 = 0 и p2 > 0 набор xˆ1 не является

решением задачи первого потребителя, так как полезность не ограничена сверху.

4

5.5. Связь равновесия и Парето-оптимума. Теоремы благосостояния

195

x12
x21
L1++(xˆ1)
xˆ	x11
L2++(xˆ2)
	x22

Рис. 5.9. Контрпример ко второй теореме благосостояния: не внутренний Парето-оптимумом

В следующем примере вместо ящика Эджворта используется диаграмма, аналогичная той, что изображена на Рис. 5.2.

Пример 32:

Пусть экономика состоит из одного потребителя с локально насыщаемыми предпочтениями и одного производителя (см. Рис. 5.10). Точка Парето-оптимума xˆ = ω + yˆ лежит на границе производственных возможностей и находится внутри «толстой» кривой безразличия. Поскольку множество производственных возможностей и множество лучших наборов L++(xˆ) не имеют на диаграмме общих точек, то это действительно оптимум.

x2=ω2+y2
	L++(xˆ)
xˆ=ω+yˆ
ω+Y	x1=ω1+y1

Рис. 5.10. Контрпример ко второй теореме благосостояния: предпочтения потребителя не являются локально ненасыщаемыми

Чтобы точка xˆ = ω + yˆ была равновесной, нужно, чтобы отношение цен было равно наклону границы производственных возможностей в этой точке. Однако в условиях бюджетного ограничения, соответствующего такому наклону бюджетной прямой, точка xˆ не будет решением задачи потребителя, так как гипотетический бюджетный треугольник имеет общие точки с множеством L++(xˆ).

Аналогичный пример можно построить, если взять Парето-оптимум внутри множества производственных возможностей и внутри «толстой» кривой безразличия. Из такого оптимума нельзя сконструировать равновесие, поскольку (при ненулевых ценах) решение задачи производителя должно лежать на границе технологического множества. На этом примере видно, что рыночное равновесие, в отличие от концепции оптимальности по Парето, предполагает самостоятельную роль предприятий и технологическую эффективность. В равновесии достигается технологическая эффективность даже тогда, когда с общественной точки зрения она бесполезна.