11.7. Равновесие с политическим механизмом	422

11.7Долевое финансирование: равновесие с нерыночным (политическим) механизмом коллективного выбора

В этом параграфе мы охарактеризуем общие свойства равновесий с различными механизмами принятия коллективных решений об объемах производства общественных благ (согласования предпочтений потребителей относительно этих количеств). Одним из примеров таких механизмов является рассмотренный выше механизм голосования по правилу простого большинства.

Мы будем использовать следующее (общее) представление механизма принятия коллективных решений об объемах производства общественных благ.

` Потребители могут влиять на общественное решение путем выбора значений некоторых «политических» переменных. Поэтому каждый механизм характеризуется множеством возможных значений политических переменных Zi (произвольной природы, т. е. это не обязательно действительные числа), правилом выбора их значений zi Zi каждым потребителем, а также процедурой принятия коллективного решения G(z1, . . . , zm) относительно объемов производства общественных благ. Объем производства общественных благ x(1) X(1) выбирается

так, что

x(1) = G(z1, . . . , zm).

` На выбор потребителя в данных моделях, в свою очередь, влияет размер бремени финансирования общественного блага. Будем, как и выше, рассматривать долевое финансирование с априорно устанавливаемыми долями потребителей в финансировании общественного блага

δik(xk).

Будем предполагать, что выбор каждого определяется из решения следующей задачи

ui(x(1), x(1)i ) → max (xi,zi)

XX

δik(xk)pkxk +	pkxik + τi(z1, . . . , zm)6βi,	(11.6)
k K1	k K2

x(1) = G(z1, . . . , zm),

xi Xi, zi Zi.

Функция τi(z1, . . . , zm) отражает расходы потребителя связанные с политической деятельностью. Например, это могут быть расходы на лоббирование, подкуп должностных лиц, взносы в фонды политических партий22.

Определение 80:

Равновесие с долевым финансированием и процедурой принятия коллективного решения G(z1, . . . , zm)

есть набор (p¯, x¯, y¯, z¯), такой что

???list # (x¯, y¯) — допустимое состояние экономики с общественными благами;

# для каждого потребителя пара x¯i и z¯i является решением соответствующей задачи потребителя (11.6) при ценах p¯ и доходах

X

βi = p¯ωi + γijp¯y¯j + Si;

j J

# каждая технология y¯j является решением соответствующей задачи производителя (11.3) при ценах p¯ ;

22Для упрощения изложения мы не учитываем здесь другие формы влияния политических переменных на поведение и благосостояние потребителей. Можно было, например, ввести зависимость полезности потребителей от z.

11.7. Равновесие с политическим механизмом

423

# сумма расходов на политику равна сумме трансфертов:

XX

Si =	τi(z1, . . . , zm).
i I	i I

Пример подобной конструкции можно построить на основе равновесия с голосованием простым большинством, рассмотренного в предыдущем параграфе. В таком равновесии переменными zi могут служить функции u˜i(·). При этом следует предположить, что потребители не обязательно правдиво сообщают эти функции.

Простейший политический механизм может состоять в том, что участники высказывают свои заявки zi R+ на общественное благо, выраженные непосредственно в единицах этого блага, и действует какая-то схема «усреднения» этих заявок G(z1, . . . , zm), удовлетворяющая естественному требованию, состоящему в том, что если бы все подали одинаковые заявки, то был бы выбран соответствующий объем общественного блага:

	G(¯z, . . . , z¯) = z¯.
Например, возможны такие схемы:		Pi I
V1)	среднее арифметическое: G(z) =		z	/m,
V2)	минимум: G(z) = mini zi ,		i
V3)	максимум: G(z) = maxi zi ,

V4) медиана: G(z) = med(z1, . . . , zm), где функция med(·) принимает значение среднего из упорядоченных по возрастанию чисел z1, . . . , zm , если же m четно, то среднего арифметического из двух средних. Это правило, как мы уже видели выше, практически тождественно в данном случае голосованию простым большинством.

Заметим, что для первых трех из этих схем при τi(z) = 0 z естественно ожидать равновесия, в котором один из потребителей обеспечивает себе желаемый уровень общественного блага. Так, при схеме V1 в типичном равновесии все потребители называют zi = 0, а один (тот, кто в сравнительно большей степени «любит» общественное благо) — zi = mxi , где xi — желательный для него объем общественного блага.

11.7.1 Задачи

√		√
/ 514. Функции полезности двух потребителей равны u1 =	G + x1 и u2 = 2 G + x2 , где G и

xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Имеющаяся технология позволяет производить единицу общественного блага из 2 единиц частного. Первый потребитель несет долю δ расходов на общественное благо, а второй — 1 − δ.

(A)Вычислите долю δ, при которой достигается консенсус (по возможности, проиллюстрируйте на графике). Найдите соответствующее равновесие.

(B)Предположим, что количество общественного блага выбирается по правилу G = min(g1, g2), где gi > 0 — заявка i-го потребителя. Найдите соответствующее равновесие в зависимости от параметра δ.

(C)Будут ли указанные равновесия Парето-оптимальными? Поясните.

/ 515. Функции полезности двух потребителей равны u1 = ln G + x1 и u2 = 2 ln G + x2 , где G и xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Имеющаяся технология позволяет производить единицу общественного блага из единицы частного. Первый потребитель несет долю δ расходов на общественное благо, а второй — 1 − δ.

(A)Вычислите долю δ, при которой достигается консенсус (по возможности, проиллюстрируйте на графике). Найдите соответствующее равновесие.

(B)Предположим, что количество общественного блага выбирается по правилу M = max(g1, g2), где gi > 0 — заявка i-го потребителя. Найдите соответствующее равновесие в зависимости от параметра δ.

(C)Будут ли указанные равновесия Парето-оптимальными? Поясните.

11.8. Механизм Гровса—Кларка	424

11.8Механизм Гровса—Кларка

??

В этом параграфе мы продолжим анализировать долевое финансирование общественного блага и механизмы коллективного выбора уровня общественного блага.

Оказывается, что в частном случае, когда целевые функции квазилинейны, можно построить процедуру, корректно выявляющую предпочтения и функцию спроса на общественное благо. Это механизм Гровса — Кларка.

Вначале мы предложим традиционный анализ механизма Гровса — Кларка, отступив от равновесного подхода, которого мы последовательно придерживались до сих пор. А именно, будем предполагать, что рассматриваемое сообщество непосредственно контролирует производство общественного блага. Потребители, соответственно, принимая решение о потреблении общественного блага в объеме x, должны, в соответствие с используемой технологией, затратить c(x) единиц частного блага, а не величину px — его стоимость, соответствующую рыночной цене p.

Позже мы вернемся к предположению о конкурентном производстве общественных благ и покажем, как можно вписать процедуру Гровса — Кларка в рамки равновесной модели, рассмотренной в предыдущем параграфе.

Механизм Гровса — Кларка

(0) Априорно устанавливаются доли финансирования общественного блага δi(x) для каждого возможного объема потребления общественного блага x (Pi I δi(x) = 1 x X ).

(1) Потребители сообщают функции ϕi(·) Φi — их оценки общественного блага. Здесь Φi — множество возможных функций вида ϕi(·) : X 7→R.

По замыслу процедуры функции ϕi(·) должны отражать чистые полезности при данной схеме финансирования от каждого уровня общественного блага, т. е.

ϕi(x) = vi(x) − δi(x)c(x),

но, вообще говоря, могут не совпадать с ними. Потребители в принципе могут манипулировать этими оценками с целью увеличения своего благосостояния; задача предлагаемого механизма как раз и состоит в том, чтобы побуждать потребителей сообщать истинные оценки.

Предполагается, конечно, что Φi включает vi(x) − δi(x)c(x).

(2) Выбирается уровень блага, максимизирующий суммарную чистую объявленную полезность:

X

x¯ argmax ϕi(x),

xi I

атакже вычисляется максимальное значение суммарной чистой объявленной полезности, которая получается без учета мнения i-го потребителя:

X

V(i) = max ϕj(x).

x

j6=i

(3) Определяется налог Кларка на каждого потребителя за изменение коллективного выбора, равный убыткам остальных потребителей, рассчитанный на основе функций ϕi(·):

X

τi = V(i) − ϕj(¯x).

j6=i

Очевидно, что этот налог неотрицателен. Этот налог должен быть изъят из данной экономики.

11.8. Механизм Гровса—Кларка

425

В результате данной процедуры полезность i-го потребителя с точностью до константы определяется величиной

vi(¯x) − δi(¯x)c(¯x) − τi.

В данной модели предполагается, что каждый потребитель максимизирует эту величину, выбирая сообщаемую функцию ϕi(·). При этом потребитель учитывает влияние этого выбора на выбранный объем общественного блага x¯ и на величину налога Кларка τi , которую он должен в результате выплатить. Однако предполагается, что потребитель не учитывает влияние выбора ϕi(·) на величину трансфертов, распределяющих налог Кларка. Мы будем предполагать, что это происходит по той причине, что таких трансфертов обратно рассматриваемым потребителям попросту не существует: налог Кларка выплачивается в частном благе и не перераспределяется, а должен быть изъят из данной экономики.

Можно заметить, что приведенное описание механизма Гровса — Кларка не является полным. Это, прежде всего, относится, к выбору уровня общественного блага. Во-первых, поскольку не задано никаких ограничений на функции ϕi(·), то величины argmaxx Pi I ϕi(x), V(i) , значение которых фигурирует в спецификации механизма Гровса — Кларка, не обязательно существуют. Во-вторых, величина x¯ не задана однозначно (максимум не обязательно достигается в единственной точке), поэтому истинные чистые полезности потребителей не заданы однозначно.

Поэтому специфицируем механизм Гровса — Кларка более детально, указав формальное представление данного механизма в виде класса игр. Чтобы задать механизм Гровса — Кларка как игру, нам следует указать соответствующие множество игроков, множество их стратегий

ифункции выигрышей.

1.Множество игроков игры, соответствующей данному механизму, совпадает с множеством потребителей

2.Стратегии каждого игрока — это сообщаемые им оценки ϕi(·). В случае, когда множество возможных вариантов производства общественного блага не является конечным, множества возможных стратегий Φi должны удовлетворять ограничениям, гарантирующим существование максимума суммы оценок, фигурирующих в описании механизма Гровса — Кларка. Например, в ситуации, когда x R+ , достаточно потребовать, чтобы эти оценки были непрерывными функциями, которые могут принимать положительное значение лишь на компактном множестве [0, M], причем ϕi(0) = 0 i.

3.Поскольку условие x¯ argmaxx Pi I ϕi(x) неоднозначно определяет объем общественного блага, а, следовательно, и возможные выигрыши участников, то для полноты спецификации игры мы должны указать правило выбора объема общественного блага x¯ = G({ϕi(·)}i), такое что

X

G({ϕi(·)}i) argmax ϕi(x).

x i I

Выигрыш i-го потребителя тогда рассчитывается по указанным выше формулам при x¯ =

G({ϕi(·)}i).

Теорема 122:

Истинная функция чистой полезности

ϕi(x) = vi(x) − δi(x)c(x) —

доминирующая стратегия для каждого потребителя в любой из игр, соответствующих механизму Гровса — Кларка.

Доказательство: Пусть x¯ — уровень общественного блага, который будет выбран, если потребитель сообщит истинную чистую полезность, т. е. назовет ϕi(x) = vi(x) − δi(x)c(x), а x˜ —

11.8. Механизм Гровса—Кларка

426

уровень общественного блага, который будет выбран, если потребитель сообщит некоторую другую возможную функцию ϕ˜i(·) Φi .

В первом случае его выигрыш будет равен

	vi(¯x) − δi(¯x)c(¯x) − V(i) +	Xj6
		ϕj(¯x),
		=i
	во втором случае —	Xj6
	vi(˜x) − δi(˜x)c(˜x) − V(i) +
		ϕj(˜x).
		=i

Заметим, что значение V(i) не зависит от выбора потребителя i и в обоих случаях одинаково. Первая величина не может быть меньше второй, поскольку по определению величины x¯

она выбирается так, что для любого x выполнено

X	X
ϕi(¯x) +	ϕj(¯x) > ϕi(x) + ϕj(x),
j6=i	j6=i
где ϕi(x) = vi(x) − δi(x)c(x), в том числе, это выполнено для x = x˜.

Заметим, что равновесие в доминирующих стратегиях является также равновесием в смысле Нэша.

Таким образом, механизм Гровса — Кларка оказывается неманипулируемым в том смысле, что потребители не заинтересованы искажать объявляемые оценки с целью повлиять на выбор объема общественного блага в благоприятном для себя направлении. Заметим, что тот же механизм без налогов Кларка является манипулируемым. Это происходит потому, что (как и в любой ситуации с экстерналиями) каждый потребитель не учитывает влияния своих решений на благосостояние других потребителей.

Теорема 123:

Если все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т. е.

ϕi(x) = vi(x) − δi(x)c(x).

то уровень потребления общественного блага, определенный посредством механизма Гровса — Кларка, Парето-оптимален, то есть максимизирует общественное благосостояние W (y) =

Pi I vi(y) − c(y).

Доказательство этого факта очевидно. Достаточно заметить, что если все потребители со-

P

общили истинные функции чистой полезности, то W (y) = i I ϕi(y).

Итак, естественно ожидать, что при использовании этой процедуры будет выбран оптимальный уровень общественного блага. Однако состояние такой экономики окажется неоптимальным в случае, когда хотя бы один потребитель выплачивает налог Кларка, поскольку такие налоги — чистые потери для данной экономики частного блага в размере, равной сумме налогов Кларка. При этом мы следуем интерпретации, что налоги изымаются, но не перераспределяются. (Если предположить, что налоги идут потребителям, которые не участвуют в процедуре и включить этих потребителей в вычисление благосостояния, то оптимум в смысле Парето все же будет иметь место.)

В некоторых случаях, однако, можно гарантировать, что налоги Кларка равны нулю. Для случая бесконечно делимого общественного блага эти ситуации характеризует следующая теорема.

Теорема 124:

Пусть 3 функции полезности и функция издержек дифференцируемы;

	11.8. Механизм Гровса—Кларка				427
	3	функции полезности вогнуты, а функция издержек выпукла;
		доли финансирования общественного блага не зависят от объема его потребления и
	3
	равны
		δi =	vi0(ˆx)		,
			j I	v0 (ˆx)
				j
	где xˆ — Парето-оптимальный объем общественногоP				блага;
	3	все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т. е.

ϕi(x) = vi(x) − δic(x).

Тогда налоги Кларка равны нулю.

Доказательство: Покажем сначала, что максимум функций

ϕi(x) = vi(x) − P vi0(ˆx0) c(x),

j I vj(ˆx)

достигается при x = xˆ. Действительно производная функции ϕi(x) в точке x = xˆ равна нулю:

				v0	(ˆx)
ϕ0	(ˆx) = v0	(ˆx)		i			c0	(ˆx) = 0.
			− Pj I vj0
i	i					(ˆx)

Поскольку ϕi(·) — вогнутая функция, c(·) — выпуклая функция, а доли финансирования общественного блага не зависят от объема его потребления, то, значит, необходимые условия оптимальности здесь являются достаточными. Следовательно, при x = xˆ функция достигает максимального значения, то есть

xˆ argmax ϕi(x).

x

Отсюда следует, что

X

xˆ argmax ϕi(x).

xi I

Более того, несложно понять, что для любого x¯ argmaxx Pi I ϕi(x) имеет место равенство23 ϕi(ˆx) = ϕi(¯x), и поэтому

X	X
V(i) = ϕj(ˆx) =	ϕj(¯x).
j6=i	j6=i
Простое вычисление показывает, что τi = 0 i.

Имеет место и обратное утверждение о том, что если налоги Кларка оказались равными нулю, то это говорит о том, что доли финансирования были пропорциональны предельным полезностям.

Теорема 125:

Пусть

I функции полезности и функция издержек дифференцируемы;

I доли финансирования общественного блага не зависят от объема;

I все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т. е.

ϕi(x) = vi(x) − δic(x);

I был выбран уровень общественного блага x¯, такой что

x¯ int X(1);

23Читателю предлагается доказать этот факт самостоятельно.

δi = P

11.8. Механизм Гровса—Кларка

428

I налоги Кларка равны нулю. Тогда выполнено соотношение

vi0(¯x0) .

j I vj(¯x)

Доказательство: Равенство всех налогов Кларка нулю означает, что

XX

max	ϕj(x) = ϕj(¯x) i.
x
j6=i	j6=i

Это означает, что

X ϕ0j(¯x) = 0 i.

j6=i

С другой стороны, из того, что x¯ определяется из условия

X

x¯ argmax ϕi(x)

xi I

следует, что

Xj I ϕj0 (¯x) = 0.
Таким образом,	ϕ0(¯x) = 0
						i.
т. е.	i
v0	(¯x) = δ			c0(¯x)					i
i			i
или			vi0(¯x)
	δi =					i.
			c0(¯x)
А это означает, что			vi0(¯x)
δi =							i.
		Pj I vj0 (¯x)

В «достаточно большой» экономике влияние отдельного потребителя на результат работы механизма Гровса — Кларка незначителен, соответственно, можно ожидать, что в такой экономике размер налогов Кларка мал.

Проиллюстрируем это утверждение на примере, показав, что размер налогов Кларка убывает в «достаточно больших» экономиках, являющихся t-репликами исходной.

Чтобы исследовать влияние изменений только размера экономики на величину налога Кларка и элиминировать влияние изменений оценок общественного блага при росте числа потребителей, определим реплику следующим образом.

Будем называть экономику t-репликой исходной экономики, если в ней

list??? — существует технология, позволяющая производить x единиц общественного блага, затратив tc(x) единиц частного;

— имеется t − 1 «двойник» для каждого потребителя исходной экономики и таким образом t потребителей каждого типа. Соответственно, доля каждого из них в финансировании общественного блага равна δi/t. Поэтому чистая полезность x единиц общественного блага у каждого такого потребителя есть величина

ϕi(x) = vi(x) − δi(x)c(x)

11.8. Механизм Гровса—Кларка

429

Пример 57:

Пусть опять

vi(x) = 2αi ln x, c(y) = y2,

и потребители финансируют общественное благо поровну, т. е. δi = 1/m. В данном случае истинная оценка i-го потребителя равна

vi(x) − c(x)/m = 2αi ln x − x2/m.

Если все потребители сообщат свои истинные оценки, то выбранный уровень общественного блага окажется равным

x¯ = argmax Xi I

ϕi(x) = argmax Xi I (2αi ln x − x2/m),

откуда

x¯ = argmax 2 i

I

αi ln x − x2

= s

= √mα¯ = yˆ.

i

I

αi

X

X

Далее,

ϕj(x) = max 2

V(i) = max

αj ln x

−

m − 1

x2

,

=i

j=i

m

Xj

X

откуда

6

6

V(i) = αj ln

m

αj

− j=i

αj =

m

−

1 j=i

=i

Xj

X

X

6

6

6

= (mα¯ − αi) ln m

mα¯

−

α

m

i

− (mα¯ − αi),

−

1

Поскольку

Xj

X

m − 1

X

X

ϕ

(¯x) =

α

ln

α

−

α

=

j

6

j

i

m

i

6

I

I

=i

j=i

i

i

= (mα¯ − αi) ln(mα¯) − (m − 1)α,¯

то налог Кларка для i-го потребителя равен

X

τi = V(i) − ϕj(¯x) =

j6=i

= (mα¯ − αi)(ln(m − αi/α¯) − ln(m − 1)) + αi − α¯.

Покажем, что если реплицировать эту экономику, то налоги Кларка в ней стремятся к нулю. В t-й реплике будет mt потребителей, которых удобно нумеровать двумя индексами — i и t, где индекс i означает, что этот потребитель совпадает с i-м потребителем исходной экономики, т. е. αit = αi . Функция издержек в t-й реплике будет иметь вид

c[t](y) = tc(y) = ty2.

Пусть опять потребители сообщают истинные оценки, равные

ϕit(x) = vit(x) − c[t](x)/(mt) = 2αi ln x − x2/m.

11.8. Механизм Гровса—Кларка						430
Сумма этих оценок равна			2 Xi I		αi ln x − x2
Xt	Xi I ϕit(x) = Xt	Xi I (2αi ln x − x2/m) = t				=
	= 2tmα¯ ln x − tx2.
Отсюда	x¯[t]	= argmax X X ϕit(x) = √
				mα,¯

t i I

то есть выбираемый уровень общественного блага остается таким же, как в исходной экономике. С другой стороны, для потребителя is

V(is) = x

XI

jt

−

X

is

max

X j

ϕ

(x)

=

???

I

t

i

= max

2 (tmα¯

−

α

) ln x

−

tm − 1

x2

=

x

i

m

= (tmα¯ − αi) ln m

tmα¯

−

α

− (tmα¯ − αi),

tm

i

−

1

и

Xt

Xi I ϕjt(¯x) − Xi I ϕis(¯x) =

= (tmα¯ − αi) ln(mα¯) − (tm − 1)α,¯

откуда получаем налог Кларка

τis = V(is) − Xt

Xi I ϕjt(¯x) + Xi I ϕis(¯x) =

= (tmα¯ − αi)(ln(1 − αi/(αtm¯ )) − ln(1 − 1/tm)) + αi − α¯.

Переходя к пределу при t → ∞ получим τi → 0. Для этого надо воспользоваться тем, что

n ln(1 + 1/n) → 1 при n → ∞.

4

Рассмотрим частный случай, когда x принимает два значения, 0 и 1 и доли δi постоянны. Считаем, что vi(0) = 0 i I и c(0) = 0. Величина vi = vi(1)−vi(0) = vi(1) представляет собой резервную цену — максимальную цену, которую потребитель i готов заплатить за данное благо, c = c(1) — издержки на производство общественного блага. Чистая полезность для i-го потребителя при x = 1 равна

vi(1) − δic(1) = vi − δic,

а при x = 0 равна нулю (vi(0) − δic(0) = 0).

Обозначим через ϕi объявленные чистые полезности ϕi(1) (считая, что действует ограни-

чение ϕi(0) = 0).

, если

i I

i

. Заметим, что в

P

Pi I

i

i I

i

, и

Согласно механизму Гровса — Кларка

y¯ = 1, если

i I ϕi(1) >

i I ϕi(0), т. е. если

P

ϕ > 0

y¯ = 0

P

ϕ < 0

случае, когда

P

ϕ = 0, потреби-

телям безразлично, производить ли общественное благо. Для определенности будем считать, что в этом случае y¯ = 1.

Если y¯ = 1, а без i-го потребителя был бы выбран объем y = 0, то V(i) = 0 и налог Кларка равен

X6	Xj6	X6	X6
τi =	ϕj(0) −	ϕj(1) = V(i) −	ϕj = − ϕj.
j=i	=i	j=i	j=i

11.8. Механизм Гровса—Кларка

431

Если же y¯ = 0, а без i-го потребителя был бы выбран объем y = 1, то

	X	X
V(i) =	ϕj(1) =	ϕj > 0.
	j6=i	j6=i
и налог Кларка равен	X6	Xj6
X6
τi = ϕj(1)	− ϕj(0) = V(i) − 0 = ϕj.
j=i	j=i	=i

Выигрыш i-го потребителя равен

vi − δic − τi,

если будет принято решение о покупке телевизора и 0 в противном случае.

В Таблице 11.1 представлены возможные варианты равновесия с точки зрения s-го потребителя.

Таблица 11.1.

	Случай		Выбор	Налог	Выигрыш s-го
				Кларка (τs)	потребителя
	Pi I ϕj > 0 и Pi6=s ϕi > 0 x¯ = 1, x(s) = 1			0	vs − δsc
	Pi I ϕj > 0 и Pi6=s ϕi < 0 x¯ = 1, x(s) = 0			− Pi6=s ϕi	vs −δsc+Pi6=s ϕi
	Pi I ϕj < 0 и Pi6=s ϕi > 0		x¯ = 0, x(s) = 1	Pi6=s ϕi	− Pi6=s ϕi
	P	P	x¯ = 0, x(s) = 0	0	0
	i I ϕj < 0 и	i6=s ϕi < 0

Пример 58 ((расчет налога Кларка)):

Покупка телевизора ценой 6000 руб. тремя соседями по комнате при равных долях финан-

сирования, δi = 1/3. ?? См. Табл.??					4
			Таблица 11.2. ???
		Взнос	Оценка	Полезность
			полезности	телевизора за	Налог
	i	потребителя,
			телевизора	вычетом взноса,	Кларка, τi
		δic
			потребителем, vi	ϕi = vi − δic
1		2000	1000	−1000	0
2		2000	2000	0	0
3		2000	5000	3000	1000

Для рассматриваемой экономики с дискретным общественным благом можно формально доказать, что при реплицировании экономики налоги Кларка становятся равными нулю.

Теорема 126:

Рассмотрим механизм Гровса — Кларка в случае дискретного общественного блага (x принимает два значения, 0 и 1). Предположим, что потребители называют свои истинные

чистые полезности, и что			i I vi 6= c. Тогда каковы бы ни были доли δi , найдется номер
	ˆ		всех репликах t		ˆ
	t				t, налоги Кларка равны нулю.
реплики		такой, что для	P	>

i6=s

11.8. Механизм Гровса—Кларка

432

Доказательство: Пусть потребитель s платит налог Кларка. Тогда выполняется одно из условий:

XX

(1)	ϕi > 0 и ϕi < 0
i I	i6=s

или

XX

(2)	ϕi < 0 и ϕi > 0,
i I	i6=s

где ϕi = vi −δic. Рассмотрим первый случай (анализ второго оставляем читателю). Поскольку

P	P				i I		−	P
по предположению	i I ϕi =	i I vi−c 6= 0, это означает, что						i I ϕi > 0 и величина ϕs отри-
цательная. Поэтому найдется ts		такое, что ts			> t		ϕi ϕs > 0. Это означает, что налог Кларка
							равен нулю. Справедливость утверждения
для любого потребителя типа i в реплике t P						s
следует тогда из того факта, что число потребителей в исходной экономике конечно.
Заметим, что если предположение				i I vi 6= c не выполняется, это утверждение оказы-
вается неверным. Действительно, в			этом случае потребитель s, для которого выполняется
				P

PP

соотношение i I ϕi = 0 и ϕi < 0 (и любой его двойник) в любой реплике платит налог, равный величине −ϕs .

Рассмотрим теперь механизм Гровса — Кларка в контексте модели общего равновесия. Если общественное благо приобретается на рынке в условиях совершенной конкуренции,

то в процедуре Гровса — Кларка надо c(x) заменить на px. Будем предполагать, в отличие от рассмотренного выше подхода, что налоги Кларка собираются в денежном выражении, и что

вравновесии налог Кларка перераспределяется между потребителями посредством трансфертов. При этом трансферты фиксированы априорно и решения потребителей не влияют на их величину (точнее, потребители не учитывают это влияние).

Если G({ϕi(·)}i) — функция коллективного выбора, соответствующая механизму Гровса — Кларка, то спрос на общественное благо определяется на основе задач потребителя, которые

вданном случае имеют следующий вид:

vi(x) − δi(x)px − τi(ϕ1(·), . . . , ϕm(·)) →	max	}
	xi,ϕi( )
{	·
x = G(ϕ1(·), . . . , ϕm(·)),		(11.7)
ϕi(·) Φi.

Данная задача, фактически, является частным случаем задачи потребителя (11.6). Отличие заключается только в том, что мы, пользуясь квазилинейностью функции полезности, подставили бюджетное ограничение в целевую функцию.

Предложение общественного блага определяется на основе задачи производителя:
py − c(y) →	max	(11.8)
	y

Равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса — Кларка — это равновесие с долевым финансированием и коллективным выбором на основе механизма G({ϕi(·)}i). Конкретизируем это определение для рассматриваемого случая.

Определение 81:

Равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса — Кларка есть набор (¯p, x,¯ y¯,

{ϕi(·)}i), такой что

#x¯ = y¯;

#объем потребления общественного блага x¯ и оценка ϕi(·) являются решениями задачи потребителя (11.7);

#объем производства общественного блага y¯ является решением задачи производителя (11.8) при цене p¯.