14.1. Модель Курно

504

а спрос на продукцию задается убывающей обратной функцией спроса p(Y ). Областью определения для выпусков yj везде будем считать [0, +∞). Кроме того в дальнейшем мы не будем учитывать требование неотрицательности прибыли отдельного олигополиста. Под равновесием совершенной конкуренции будем понимать такое равновесие, которое установилось бы, если бы производители игнорировали влияние своего объема выпуска на цену, т. е. являлись бы ценополучателями2.

14.1Модель Курно

В модели Курно производители принимают решение относительно объемов производства и принимают эти решения одновременно, исходя из своих предположений о решениях, принятых

другими (их конкурентами).

Пусть ye — ожидаемый (производителем j ) объем производства производителя i, ye

—

ji

e

, . . . , y

e

, y

e

, . . . , y

e

−j

составленный из этих ожиданий вектор (y

j1

j,j−e 1

j,j+1

jn

). Тогда при выпуске yj

e

e

его (ожидаемая) прибыль составит величину Πj

(yj, y−j) = p(yj + i6=j yji)·yj −cj(yj). Выпуск,

максимизирующий прибыль при ограничении

y

j >

0

, зависит,

таким образом, от ожидаемого

P

объема производства других производителей. Если ожидаемые объемы производства совпадают с фактическими, то такое состояние можно назвать равновесием олигополии. Описанное понятие равновесия было введено в прошлом веке французом Антуаном Огюстеном Курно3. Это равновесие часто называют равновесием Курно. Следует отметить, однако, что было бы точнее говорить о равновесии Нэша в модели Курно4.

Определение 82:

Равновесие Курно — это совокупность выпусков (y1, . . . , yn) и ожиданий (ye−1, . . . , ye−n), таких что выпуск любого производителя, yj , максимизирует его прибыль на [0, +∞) при ожиданиях ye−j , и ожидания всех производителей оправдываются, т. е. ye−j = y−j , j = 1, . . . , n.

Другими словами, yj является решением задачи

	Π (y ) = p(y +				y )	y c (y )				max .
	j j		j	Xi6		· j − j		j		→ yj>0
					i
				=j
Зависимость оптимального объема производства yj								от		i6=j	ye называют функцией откли-
											i
ка, если решение задачи единственно (отображением							отклика в общем случае). Будем обозна-
									P
чать ее через Rj(Y−j), где Y−j =		i=j yi			— (ожидаемый) суммарный объем производства
			6
блага всеми другими	производителями. Если оптимальный отклик однозначен, то равновесие
		P

Курно (y1, . . . , yn) является решением следующей системы уравнений5:

yj = Rj(X yi ), j = 1, . . . , n.

i6=j

Пусть (y1, . . . , yn) — равновесие Курно. Тогда выполняются следующие соотношения (усло-

вия первого порядка):

Π0j(yj ) = p(Y ) + p0(Y ) · yj − c0j(yj ) 6 0,

n
где Y = Pi=1 yi , причем	Πj0 (yj ) = 0, если yj > 0.
2Англ. price-taker.

3A. Cournot: Recherches sur les principes math´ematiques de la th´eorie des richesses, Paris: Hachette, 1838.

4	Часто равновесие в рассмотренной модели называют также равновесием по Нэшу — Курно.
5	Если отклики неоднозначны, то нужно решить аналогичную систему включений.

14.1. Модель Курно

505

Данные соотношения — необходимые условия первого порядка, представляют дифференциальную характеристику равновесия Курно.

Проиллюстрируем с помощью графика равновесие Курно для случая двух фирм (дуополии) (Рис. 14.1). На рисунке изображены кривые постоянной прибыли (Π1(y1, y2) = const и Π2(y1, y2) = const) и кривые отклика (y1 = R1(y2) и y2 = R2(y1)), которые можно определить как множество точек, где касательные к кривым равной прибыли параллельны соответствую-

щим осям координат. Точка пересечения кривых отклика является равновесием Нэша — Курно (y ).

y2 y1=R1(y2)

Π1(y1,y2)=const

Π2(y1,y2)=const

y y2=R2(y1)

y1

Рис. 14.1.

14.1.1Свойства равновесия Курно в случае постоянных и одинаковых предельных издержек

Проведем анализ модели Курно в упрощенном варианте, предположив, что предельные издержки постоянны и совпадают у всех производителей, т. е. c0j(yj) = c. Кроме того будем

предполагать выполнение условий:
(C1 ) p(0) > c,	˜	˜
(C2 ) существует Y		, такой что p(Y ) < c,
·	)	дифференцируема и p0
(C3 ) функция p(			(y) < 0 y > 0.

Симметричность равновесия и положительность выпусков

Докажем, что объемы производства у всех олигополистов совпадают. Пусть это не так, и существуют два производителя, j и k, такие что yj > yk . Запишем условия первого порядка, учитывая, что выпуск yj положителен, а yk может быть равен нулю:

p(Y ) + p0(Y ) · yj − c = 0

и

p(Y ) + p0(Y ) · yk − c 6 0.

Вычитая из второго неравенства первое, получим

p0(Y )(yk − yj ) 6 0.

14.1. Модель Курно

506

Поскольку p0(Y ) < 0, то yk > yj . Получили противоречие. Таким образом, объем производства у каждой фирмы в равновесии Курно одинаков: yj = Y /n j = 1, . . . , n, а условия первого порядка совпадают и приобретают вид

p(Y ) + p0(Y )Y − c 6 0, n

причем неравенство заменяется на равенство, если суммарный выпуск Y положителен. Если p(0) > c, то в равновесии Курно суммарный выпуск не может быть нулевым, посколь-

ку, подставляя Y = 0 в условия первого порядка, получаем p(0) − c 6 0.

Существование и единственность равновесия

Таким образом, при p(0) > c, выпуск общий положителен и условия первого порядка имеют

вид

p(Y ) + p0(Y )Y − c = 0, n

Заметим, что существование корня этого уравнения можно гарантировать, если выполнены

условия C1 -C3 и, кроме того, функция		p(	) непрерывно дифференцируема, поскольку в этих
		·		Y	−
˜	p(Y ) + p0(Y )			n		c принимает значения разных знаков на
условиях непрерывная функция

концах интервала [0, Y ].

Если дополнительно потребовать, чтобы функция p(y+y0)·y была вогнута по y при любом y0 > 0, то можно утверждать, что (Yn , . . . , Yn ) — равновесие Курно (выполнено условие второго порядка).

Заметим при этом, что поскольку при сделанном предположении функция p(y)y вогнута, то равновесие Курно единственно, поскольку условие первого порядка выполнено в одной точке.

Действительно, функцию p(Y ) + p0(Y )Yn − c можно представить в виде

n1 [p(Y ) + p0(Y )Y ] + p(Y )n −n 1 − c.

Первое слагаемое здесь не возрастает, а второе убывает при n > 1, поэтому функция p(Y ) + p0(Y )Yn − c убывает и может быть равной нулю не более чем в одной точке.

В точке Y = 0 (в которой условие первого порядка может не выполняться как равенство) равновесия быть не может, поскольку, как мы предположили, p(0) > c.

Сравнение равновесия Курно с равновесиями при монополии и совершенной конкуренции

Следует отметить три характеристики равновесия Курно:

1. Объем выпуска Y в равновесии Курно выше, чем объем выпуска yM при монополии (или картеле, когда производители выбирают выпуск, максимизирующий суммарную прибыль).

2. Объем выпуска в равновесии по Курно ниже, чем объем выпуска ¯ в условиях

Y Y

совершенной конкуренции (ситуации, когда производители рассматривают цены как данные). 3. При росте числа участников объем выпуска в равновесии Курно приближается к равно-

весию при совершенной конкуренции.

Теорема 133:

Пусть (y1, . . . , yn) — равновесие Курно, и (¯y1, . . . , y¯n) — равновесие при совершенной конкуренции, yM — равновесие при монополии6. Предположим, что выполнены условия

6Как нетрудно показать, тот же самый объем производства будет выбран, если олигополисты образуют картель (см. ниже).

14.1. Модель Курно	507
C1 -C3 . Тогда		n
n
Y¯ = y¯i > Y = yi > yM.
=1		i=1
Xi		X
Доказательство: Как было показано выше, равновесие Курно удовлетворяет условию
p(Y ) + p0(Y )	Y
		− c = 0.
	n

Как было доказано в главе о монополии, выполнение C1 -C3 гарантирует, что yM > 0, поэтому yM удовлетворяет условию первого порядка

p(yM) + p0(yM)yM − c = 0.

С другой стороны, при совершенной конкуренции, как известно, цена равна предельным издержкам:

¯ −

p(Y ) c = 0.

Вычитая из третьего соотношения первое, получим

¯ − 0 Y

p(Y ) p(Y ) = p (Y ) n .

Поскольку правая часть соотношения отрицательна, а функция p(·) убывает, то

¯

Y > Y.

Предположим, что yM > Y . Тогда увеличение выпуска одного из производителей (например, первого) на величину Y − yM приводит к росту суммарной прибыли (до монопольно высокой). Поскольку при этом прибыль остальных производителей может только уменьшиться,

прибыль первого возрастает, что противоречит предположению о том, что Y	— совокупный
выпуск в равновесии Курно.

Рост выпуска с ростом числа участников

Теорема 134:

Предположим, что выполнены условия C1 -C3 и, кроме того, функция p(·) непрерывно дифференцируема. Пусть Yn — суммарный выпуск в равновесие Курно с n участниками. Тогда

¯

lim Yn = Y.

n→∞

Доказательство: Для любого Yn выполняются соотношения (условия первого порядка)

p(Yn ) + p0(Yn )	Y
	n	− c = 0.
	n
Предыдущая теорема гарантирует ограниченность последовательности Yn (Yn (0, Y¯ )).

Так как функция p(·) непрерывно дифференцируема, то из этого следует ограниченность

p0(Yn )Yn . Отсюда	"p0	(Yn ) n #			= 0.
nlim
			Yn
→∞
Следовательно,
lim p(Y ) = c.
n	→∞	n