∂x ∂R

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

99

dp| ∂R∂x xdp, соответствующей эффекту дохода. В частности, если благо нормальное в том смысле, что > 0, то эффект дохода будет положительным, и, как следствие, будет выполнен (локально) закон спроса.

Для приведенного разложения на эффект дохода и эффект замены можно предложить аналог в случае, когда изменения цен не являются бесконечно малыми. Пусть, как и выше, x0 — оптимальное решение задачи потребителя при ценах p0 и доходе R = p0x0 , и цены становятся равными p1 . Тогда разложение на эффект дохода и эффект замены при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому будет иметь следующий вид:

x = x1 − x0 = [x1 − x(p1, p1x0)] + [x(p1, p1x0) − x0].

Первое слагаемое соответствует эффекту дохода (изменению дохода с R = p0x0 до p1x0 ), а второе слагаемое — эффекту замены. Аналогично, с использованием компенсирующего изменения дохода по Хиксу получим следующее разложение:

x = [x1 − x(p1, e(p1, x0))] + [x(p1, e(p1, x0)) − x0].

Заметим, что еще два подобных разложения можно получить, поменяв в приведенных формулах местами p0 и p1 (и, соответственно, x0 и x1 ). Таким образом, имеем четыре различных естественных разложения на эффект дохода и эффект замены. Очевидно, что в пределе, при малых приращениях, эти четыре разложения становятся идентичными.

3.3.2Оценка изменения благосостояния.

В этом разделе мы приведем оценки изменения благосостояния потребителя при изменении ситуации, в которой он осуществляет выбор, т.е. изменении цен p и доходов R.

Перед экономистами часто стоит задача оценить изменения в благосостоянии потребителей при проведении мероприятий экономической политики. Рассмотрим две ситуации (до проведения мероприятий экономической политики и после). В первой их них потребитель сталкивается с ценами p0 и доходом R0 , во второй — с ценами p1 и доходом R1 . Поскольку рассматривается только выбор на классических бюджетных множествах, то здесь можно использовать введенное ранее понятие непрямой функции полезности v(p, R). В то время как обычная функция полезности u(x) соответствует оценке потребителем потребительских наборов x, непрямая функция полезности соответствует оценке потребителем самих ситуаций выбора. Если v(p0, R0) < v(p1, R1), то вторая ситуация более благоприятна для потребителя, а если v(p0, R0) > v(p1, R1), то менее благоприятна.

Вообще говоря, мы можем говорить лишь о направлении изменения благосостояния, а не оценивать его величину. И, тем не менее, при расчетах издержек и выгод мероприятий экономической политики пытаются получить количественные оценки таких изменений. При этом используются так называемая непрямая денежная функция полезности.

Определение 34:

Непрямая денежная функция полезности µ(q; p, R) — это доход, который требуется, чтобы при ценах q потребитель мог бы иметь тот же уровень полезности, что и при ценах p, располагая доходом R, т. е. µ(q; p, R) = e(q, x(p, R)).

Другими словами, денежная непрямая полезность µ(q; p, R) определяется как непрямая функция полезности для функции расходов e(q, x), рассматриваемой как функция полезности. Опишем, как ее можно использовать и какие проблемы при этом возникают.

Непрямая денежная функция полезности определяется на основе некоторого (произвольного) «эталонного» вектора цен q > 0. Оценка изменения благосостояния при этом будет равна

µ(q) = µ(q, p1, R1) − µ(q, p0, R0) = e(q, x(p1, R1)) − e(q, x(p0, R0)) = e(q, x1) − e(q, x0),

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

100

где x0 — спрос потребителя в исходном состоянии, а x1 — спрос потребителя в новом состоянии. Значение µ(q), вообще говоря, может быть различным для разных векторов q и поэтому, соответствующие оценки изменения благосостояния содержат элемент субъективизма. Исключением являются квазилинейные предпочтения (предпочтения, которые можно описать квазилинейной функцией полезности).

В случае квазилинейности предпочтений все меры благосостояния эквивалентны с точностью до постоянного множителя, а в случае, когда цена последнего блага равна единице (единица «квазилинейного» блага является единицей измерения, numeraire), они совпадают. Покажем это, вычислив µ(q) для квазилинейной функции полезности u(x1, . . . , xl) = s(x1, . . . , xl−1) + xl в предположении, что pl = 1. Вспомним, что в этом случае непрямая функция полезности имеет вид

l−1

X

v(p−l, 1, R) = s(x1(p−l), . . . , xl−1(p−l)) + R − pixi(p−l).

i=1

Пользуясь соотношениями двойственности, получаем, что функция расходов в случае квазилинейных предпочтений??, как мы видели выше, имеет вид e(p, x) = u(x) − s(x−l(p−l)) + p−lx−l(p−l). По определению непрямой денежной функции полезности µ(q, p, R) = e(q, x(p, R)), поэтому

µ(q, p, R) = v(p, R) − s(x−l(q−l)) + q−lx−l(q−l).

Как видим, при любом фиксированном векторе цен q непрямая денежная функция полезности совпадает с точностью до константы (зависящей от q) с той непрямой функцией полезности, которая определяется естественной для квазилинейных предпочтений нормировкой. Отсюда по определению µ(q) имеем

µ(q) = µ(q, p1, R1) − µ(q, p0, R0) = v(p1, R1) − v(p0, R0).

В общем случае, когда значение µ(q) зависит от выбора q, естественными кандидатами на роль вектора цен q представляются p0 и p1 (соответственно, цены в исходной ситуации, до изменений, и цены после изменений). В первом случае получим меру изменения благосостояния, называемую эквивалентным изменением дохода (EV ), а во втором — меру изменения благосостояния, называемую компенсирующим изменением дохода (CV ).

Определение 35:

Эквивалентное изменение дохода (эквивалентная вариация) — это такое приращение исходного дохода, которое обеспечивает в исходного ценах тот же уровень благосостояния, что и после изменений:

x(p0, R0 + EV (p0, R0, p1, R1)) x(p1, R1).

Несложно убедиться, что

EV (p0, R0, p1, R1) = e(p0, x1) − R0 = µ(p0).

Действительно, доход, достаточный для того, чтобы при ценах p0 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации после изменений (т. е. при ценах p1 и доходе R1 ), по определению непрямой денежной функции полезности равен µ(p0, p1, R1) = e(p0, x1). Поэтому требуемое изменение дохода по сравнению с исходным доходом R0 равно

e(p0, x1) − R0 = e(p0, x1) − e(p0, x0) = µ(p0, p1, R1) − µ(p0, p0, R0) = µ(p0),

где мы воспользовались тем, что если x0 — спрос потребителя при ценах p0 , то e(p0, x0) = R0 .

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

101

Пример 22:

Пусть функция спроса и функция расходов потребителя равны

x(p, R) = p1p2 + a2(p1)2 ;

(p2)2 + a2p1p2 !

и e(p, x) =

p2

+ a2p1

Rp2

a2Rp1

p1p2

(√

x1

+ a√

x2

)2

соответственно. Найдем эквивалентную вариацию, отвечающую изменению цен от p0 = (2, 1) до p1 = (1, 2) при условии, что доход оставался неизменным и был равен R. Непрямая денежная функция полезности для данного потребителя будет иметь вид

µ(q, p, R) = q1q2(p2 + a2p1)R. p2p1(q2 + a2q1)

Таким образом,

p0p0(p1 + a2p1)

EV (p0, R, p1, R) = µ(p0, p1, R) − R = 1 2 2 1 R − R.

p12p11(p02 + a2p01)

Подставляя	p0	= (2, 1)	и	p1	= (1, 2)	, получаем	EV =	1−a22 R		.	4
								1+2a

Определение 36:

Компенсирующее изменение дохода (компенсирующая вариация) — это такое уменьшение дохода в новой ситуации, которое позволяет в новых ценах достигнуть уровень полезности

исходной ситуации:

x(p0, R0) x(p1, R1 − CV (p0, R0, p1, R1)).

По определению денежной непрямой функции полезности доход, достаточный для того, чтобы при ценах p1 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации до изменений (т. е. при ценах p0 и доходе R0 ), равен µ(p1, p0, R0) = e(p1, x0). Кроме того, µ(p1, p1, R1) = e(p1, x1) = R1 . Поэтому компенсирующая вариация равна изменению денежной непрямой функции полезности при q = p1 :

CV (p0, R0, p1, R1) = e(p1, x0) − R1 = µ(p1),

Отметим, что введенное понятие компенсирующей вариации — это то же самое изменение дохода, с которым мы сталкивались при рассмотрении закона спроса (см. ???).

Пример 23 (продолжение Примера 22):

В рассматриваемом случае при постоянном доходе компенсирующая вариация равна

0

1

0

1

p1p1

(p0

+ a2p0)

1

2

2

1

CV (p

, R, p

, R) = R − µ(p

, p

, R) = R −

R.

p20p10(p21 + a2p11)

При p

1

= (1, 2)

и p

0

= (2, 1) компенсирующая вариация равна

CV =

(1−a2)

(2+a2)

R.

4

Рассмотрим соотношение между этими мерами изменения благосостояния в простом случае, когда изменяется только цена одного блага (случай, который интересует нас при анализе последствий налогообложения): R0 = R1 = R, p01 > p11 , p0−1 = p1−1 = p−1 . Очевидно, что потребитель при таком изменении не может ухудшить своего положения, поскольку множество доступных ему потребительских наборов расширяется: v(p0, R) 6 v(p1, R). Введем следующие упрощенные обозначения:

EV = EV (p0, R0, p1, R1), CV = CV (p0, R0, p1, R1), x0 = x(p0, R), x1 = x(p1, R).

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя									102
µ(p0	,p1	x2		x2
		,R)
		EV		R
		R
				CV
		x0	x1	µ(p1,p0,R)	x1
				x0
				x1			x1
			R/p0	R/p1	R/p0	R/p1
			1	1	1		1
Рис. 3.8. Эквивалентная и компенсирующая вариация при R0 = R1 = R, p0						> p1	, p0	= p1	= 1
					1	1	2	2

Кроме того, поскольку в данном случае меняется только цена первого блага, с целью упрощения записи не будем в дальнейшем указывать остальные цены p−1 и доход R в качестве аргументов функций.

Рис. 3.8 предлагает графическую иллюстрацию для эквивалентной и компенсирующей вариаций в случае двух благ, когда цена второго блага равна единице (p02 = p12 = 1).

Проинтегрировав тождество ∂e(p,x) = h1(p, x) (лемма Шепарда для теории потребления)

∂p1

по цене первого блага от p11 до p01 , получим

Z p0

p11

1 h1(t, x)dt = e(p01, x) − e(p11, x).

Эквивалентную и компенсирующую вариации можно представить в аналогичном виде (как уменьшение значения функции расходов для одной и той же кривой безразличия при падении цены первого блага с p01 до p11 , см. Рис. 3.8):

EV = e(p01, x1) − R = e(p01, x1) − e(p11, x1),

CV = R − e(p11, x0) = e(p01, x0) − e(p11, x0).

Таким образом,

p0		p0
Zp11		Zp11
1	h1(t, x1)dt, CV =	1
EV =		h1(t, x0)dt.

Как известно?? из курсов микроэкономики начального и промежуточного уровня, изменение потребительского излишка вычисляется по формуле

	p0
	Zp11
CS = CS(p0, p1) =	1
	x1(t)dt.

Из того, что p01 > p11 следует, что в данном случае все три величины неотрицательны (они положительны, если спрос строго положителен):

EV > 0, CV > 0, CS > 0.

Если эффект дохода неотрицателен (рассматриваемое благо — нормальное), то

h1(t, x0) 6 x1(t) 6 h1(t, x1) при p11 6 t 6 p01.

Докажем эти неравенства формально. Спрос потребителя на первое благо, если его цена равна t (где p11 6 t 6 p01 ) и доходе R равен x1(t) = x1(t, R). Пусть теперь доход потребителя стал равен e(t, x0). Несложно заметить, что доход потребителя уменьшился на

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

103

неотрицательную величину CV (p01, t) = R − e(t, x0). В силу нормальности блага имеем, что x1(t, e(t, x0)) 6 x1(t, R). Из соотношений взаимности имеем, что x1(t, e(t, x0)) = h1(t, x0). Таким образом, мы доказали левое из требуемых неравенств.

Аналогичным образом доказывается правое неравенство. Предположим, что доход потребителя изменился с R до e(t, x1), т. е. увеличился на неотрицательную величину EV (t, p11) = e(t, x1) − R. При этом x1(t, R) 6 x1(t, e(t, x1)) = h1(t, x1).

x2		x2
	h(t,x1)	h(p0	,x0)=x0
x(t)		1
	h(p11,x1)=x1		x(t)
			h(t,x0)
	x1		x1
x1(t)	h1(t,x1)	h1(t,x0) x1(t)

Рис. 3.9. Соотношения между хисксианским и маршаллианским спросом, используемые при доказательстве взаимосвязи эквивалентного, компенсирующего изменений дохода и потребительского излишка

Эти неравенства (в случае двух благ) иллюстрирует Рис. 3.9.

Интегрируя доказанные неравенства по t от p11 до p01 , получаем, что имеет место соотношение

CV 6 CS 6 EV.

Рис. 3.10 иллюстрирует это соотношение. Здесь CV = S(ABEF ), CS = S(ABDF ) (заштрихованная область), EV = S(ACDF ).

p1			h1(p1,x1)
p0	A	B	C
1
p11			D	x1(p1)
	F		E
		h1(p1,x0)		x1

Рис. 3.10. Связь между потребительским излишком, эквивалентной и компенсирующей вариациями

Пример 24 (продолжение Примеров 22 и 23):

Положим p12 = 1 до p02 = 1 в формулах для эквивалентной и компенсирующей вариации:

p1(1 + a2p0)

CV = R − 1 1 R =

p01(1 + a2p11)

p0(1 + a2p1)

EV = 1 1 R − R =

p11(1 + a2p01)

p0 − p1

1 1 R, p01(1 + a2p11)

p0 − p1

1 1 R. p11(1 + a2p01)

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

104

Найдем также изменение потребительского излишка. Для этого требуется проинтегрировать

спрос на первое благо, равный x1(p1) =

R

. Как несложно проверить,

p1(1+a2p1)

ln

t

!

0

1

=

.

1 + a2t

t(1 + a2t)

С учетом этого

1 + a2p0 !

− R ln

1 + a2p1 !

CS = R

p1

x1(t, 1, R)dt = R ln

Z

p0

0

1

1

1

p1

p1

1

1

или

CS = R ln p11

(1 + a2p10)! .

p10

(1 + a2p11)

Можно заметить, что изменение потребительского излишка можно представить через эквивалентную и компенсирующую вариации следующим образом:

	!		!
CS = R ln 1 +	EV	= −R ln 1 −	CV
	R		R	.

При малых t верно приближение ln(1 + t) ≈ t, поэтому при малых изменениях цены все три измерителя изменения благосостояния примерно равны. Кроме того, ln(1 + t) < t при t 6= 0,

поэтому, в подтверждение теории, выполнены неравенства CV < CS < EV .

4

В случае квазилинейных предпочтений (при достаточно большом доходе) отсутствует эффект дохода для товара, который входит нелинейно. В этом случае записанные выше неравенства, связывающие маршаллианский и хиксианский спрос, выполняются как равенства и,

следовательно,

EV (p0, p1) = CS(p0, p1) = CV (p0, p1).

Геометрически эта ситуация означает что все три кривые спроса, изображенные на диаграмме, совпадают; следовательно, совпадают и три рассмотренные меры благосостояния.

Вообще говоря, полезности разных потребителей не сравнимы друг с другом, и их бессмысленно складывать. Однако на основе денежных мер изменения благосостояния можно получать некоторые оценки мероприятий экономической политики.

Предположим, что существуют n потребителей с функциями полезности ui(xi) и доходами Ri . Пусть цены изменились с p0 до p1 . Пусть, кроме того, в результате этого изменения цен суммарная величина компенсирующей вариации положительна, т. е.

					Xi	CVi(p0, Ri, p1, Ri) > 0.
Покажем, что существует такое перераспределение доходов {Ri0}:									i Ri0 6 i Ri ), что vi(p1, Ri0) >
v (p0	, R	)	i	, то есть, возможно компенсировать изменение цен				каждому потребителю.
i	i							P	P
По определению компенсирующей вариации имеем, что
				CVΣ = Xi	CVi(p0, Ri, p1, Ri) = Xi		(Ri − ei(p1, xi(p0, Ri))) > 0

Мы можем выбрать Ri0 так, что Ri0 > ei(p1, xi(p0, Ri)) (достаточно взять Ri0 = ei(p1, xi(p0, Ri)) + CVΣ/n). Покажем, что в этом случае vi(p1, Ri0) > vi(p0, Ri) i.

Воспользовавшись возрастанием непрямой функции полезности по доходу и свойством двойственности между vi(·, ·) и ei(·, ·), получим

vi(p1, Ri0) > vi(p1, ei(p1, xi(p0, Ri))) = vi(p0, Ri).