2.5. Свойства предпочтений и функции полезности

42

спроса, что спрос на первые l − 1 благо не зависит от дохода и, тем самым, для этих благ полностью отсутствует эффект дохода. Данное свойство оказывается полезно при обсуждении агрегирования предпочтений и выяснении влияния изменения параметров модели (например, цен и доходов) на благосостояние потребителя.

Наконец в макроэкономике обычно рассматриваются аддитивно-сепарабельные функции

полезности, т. е. функции полезности вида u(x) = Pl ui(xi). Если предпочтения потребите-

i=1

ля описываются функцией такого вида, то они обладают следующим очевидным свойством: рассмотрим произвольную группу благ N (N {1, . . . , l}), а все остальные блага обозначим через −N ; при этом ранжировка потребительских наборов x = (xN , x−N ) и x0 = (x0N , x−N ) не зависит от значения x−N . Данное соображение мотивирует следующее определение:

Определение 15:

Предпочтения называются сепарабельными (строго сепарабельными), если

• множество допустимых потребительских наборов имеет вид X = X1 × · · · × Xl ;

•для допустимых наборов (xN , x−N ) и (x0N , x−N ) выполнено (xN , x−N ) < (x0N , x−N ), то (xN , x0−N ) < (x0N , x0−N ) для всех x0−N ×i −N Xi ? где N — произвольное подмножество множества благ.

Известно, что непрерывные предпочтения сепарабельны тогда и только тогда, когда они могут быть представлены непрерывной аддитивно-сепарабельной функцией полезности32. Из свойств сепарабельных предпочтений отметим, во-первых, что для них предельная норма замены зависит только от количества двух рассматриваемых благ, во-вторых, что если все элементарные функции ui(·) являются вогнутыми, что и в целом функция полезности является вогнутой. Кроме того, данный тип предпочтений позволяет нам гарантировать отсутствие товаров Гиффена и другие полезные свойства функции спроса.

2.5.1Задачи

/ 44. A) «. . . выберем x1 x2 . Точка x1 представляет набор, содержащий ‘экстремально большую’ долю блага x1 по сравнению с набором x2 . Набор x2 , наоборот, содержит экстремально большую долю другого блага, x2 , по сравнению с набором x1 . Хотя каждый из наборов содержит относительно высокую долю одного из благ по сравнению с другим набором, для потребителя эти наборы равнозначны. При этом любая выпуклая комбинация x1 and x2 , такая как xt , будет являться набором, содержащим более ‘сбалансированное’ сочетание x1 и x2 , чем каждый из ‘экстремальных’ наборов x1 или x2 »33.

Б) «Условие выпуклости. . . чрезвычайно важно и более ограничительно. Оно означает, что если каждый из двух векторов x0 , x00 предпочитается третьему вектору x, то любая их ‘смесь’ αx0 +(1−α)x00, 0 6 α 6 1 также считается лучше x. Вполне вероятно, что вы любите виноградный и томатный соки больше яблочного, но это вовсе не означает, что вы предпочтете выпить вместо стакана яблочного стакан смеси из виноградного и томатного соков. Однако в теоретических рассуждениях обычно рассматривают потребление за более длительный промежуток времени, например за год. Тогда выпуклость предпочтений в приведенном выше примере означает, что если вы предпочитаете виноградный и томатный соки яблочному, то вы готовы также пить часть года первый из них, а оставшуюся часть — второй вместо яблочного круглый год. Такое допущение вполне правдоподобно, хотя возможны и возражения. Одно из них состоит в том, что предпочтение зависит от способа чередования напитков в течении года. Другое,

32Подробнее о сепарабельности предпочтений см. A. P. Barten and V. Bohm: Consumer Theory, in Handbook of Mathematical Economics, vol. II, K. J. Arrow and M. D. Intrilligator (ed.), North Holland, 1982 (pp. 392–394), и содержащиеся там ссылки.

33G. A. Jehle and P. J. Reny: Advanced Microeconomic Theory, Addison-Wesley, 1998, p. 118

2.5. Свойства предпочтений и функции полезности

43

быть может, более существенное, относится к самому методу описания поведения: мои предпочтения могут меняться в зависимости от многих причин, например от самочувствия, так что говорить о предпочтении одного потребительского набора другому не имеет смысла»34.

Прокомментируйте эти цитаты. Согласны ли вы с ними? Если нет, то почему?

/45. Покажите, что строго монотонные предпочтения локально ненасыщаемы. Приведите пример монотонных предпочтений, не обладающих свойством локальной ненасыщаемости.

/46. Приведите пример выпуклых локально ненасыщаемых предпочтений, которые не обладают свойством монотонности.

/47. Покажите, что строго выпуклые монотонные предпочтения локально ненасыщаемы.

/48. Покажите, что если непрерывные предпочтения заданы на компактном множестве X , то они не могут обладать свойством локальной ненасыщаемости.

/49. ??Будем говорить, что предпочтения являются сильно монотонными, если они монотонны и существует по крайней мере одно благо, большее количество которого всегда предпочитается меньшему. Запишите формально это определение. Как это свойство соотносится со строгой монотонностью? Покажите, что из свойства сильной монотонности следует свойство локальной ненасыщаемости.

/50. Покажите, что предпочтения потребителя выпуклы тогда и только тогда, когда выпукло

любое верхнее лебеговское множество L+(x) = { y X y < x }.

/51. Приведите пример непрерывной квазивогнутой функции полезности, не являющейся монотонной.

/52. Покажите, что если функция полезности строго вогнута, то представляемые ею предпочтения строго выпуклы.

/53. Покажите, что функция полезности строго квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею предпочтения строго выпуклы.

/54. Покажите, что если дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности строго вогнута, то для этой функции выполняется закон Госсена об убывании предельной полезности. Верно ли утверждение о том, что из закона Госсена не следует выпуклость предпочтений?

/55. Докажите Теорему 11.

/56. Покажите, что предпочтения, задаваемые положительно однородной (первой степени) функцией полезности, являются гомотетичными.

/57. Покажите, что предпочтения, задаваемые квазилинейной функцией полезности, являются квазилинейными.

/58. Покажите, что предпочтения, задаваемые аддитивно-сепарабельной функцией полезности, являются сепарабельными.

/59. Покажите, что непрерывные гомотетичные предпочтения представимы однородной функцией полезности.

/ 60. Известно, что непрерывные и гомотетичные предпочтения на Rn+ представимы адди-

вида	u(x) =	P i	i
тивно-сепарабельной функцией полезности (т. е.		u	(x )). Покажите, что функция

u(x) = X aixρi —

единственная (с точностью до монотонно возрастающего преобразования) функция, удовлетворяющая этим требованиям. Каковы ограничения на параметры ai и ρ в случае, если, кроме того, предпочтения обладают свойством строгой монотонности? Докажите, что следующая функция полезности (CES-функция)

u (x) = X αixρi 1/ρ ,

34В. М. Полтерович: Экономическое равновесие и хозяйственный механизм, М.: Наука, 1990, с. 10.

2.5. Свойства предпочтений и функции полезности					44
P					P
где αi = 1, αi > 0, соответствует тем же предпочтениям, что и u(x) = aixiρ 35.
/ 61. Покажите, что функция полезности
u(x) =	lim	X	α xρ		1/ρ
	ρ→0		i i

(предельный случай CES-функции) представляет те же предпочтения, что и функция Кобба — Дугласа.

/ 62. Покажите, что функция полезности

u(x) = lim X αixρi 1/ρ

ρ→−∞

(предельный случай CES-функции) представляет те же предпочтения, что и функция min{x1, x2, . . . , xn}.

/ 63. Используя полученные в предыдущих задачах результаты, найдите в явной форме функции, представляющие те же предпочтения, что и функции

u(x) = lim X(αixi)ρ 1/ρ ,

ρ→0

u(x) = lim X(αixi)ρ 1/ρ .

ρ→−∞

/64. Пусть предпочтения представимы дифференцируемой функцией u(x). Покажите, что предельная норма замены инвариантна относительно возрастающего преобразования функции полезности. Как связаны MRSij(x) и MRSji(x)?

/65. В случае двух товаров покажите, что дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности аддитивно-сепарабельна (имеет вид u(x) = u1(x1) + u2(x2)) тогда и только тогда,

когда

MRS12(x) ·	∂2MRS12(x)	=	∂MRS12(x)		·	∂MRS12(x)
							.
	∂x1∂x2		∂x1			∂x2

P

/ 66. Функция полезности аддитивно-сепарабельна: u(x) = ui(xi), причем каждая из элементарных функций ui(·) вогнута. Покажите, что соответствующие предпочтения являются выпуклыми.

/ 67. ??непонятно как решать.. Пусть некоторые выпуклые неоклассические предпочтения, заданные на R2+ , представляются непрерывной аддитивно-сепарабельной функцией вида u(x) = v(x1) + v(x2). Покажите, что функция v(x) вогнута. (Подсказка: покажите, что для любых m

стью.)		2	− 2	> 2		− 2
и n справедливо v		mn x + (1	mn )y	mn v(x) +	1	mn	v(y) и воспользуйтесь непрерывно-

/ 68. Какими свойствами (монотонность, строгая монотонность, локальная ненасыщаемость, выпуклость, строгая выпуклость, гомотетичность, квазилинейность, сепарабельность) обладают предпочтения на R2+ , представимые следующими функциями полезности?

(a)	u(x) = x1 + x2 ;
(b)	u(x) =	√				+ √				;
				x1				x2
(c)	u(x) =	√			+ x2 ;
			x1
(d)	u(x) = x1x2 ;
(e)	u(x) = ln(x1) +						x22			;
		2

35Функция полезности, которой посвящено данное упражнение, имеет специальное название — функция с постоянной эластичностью замены, или, CES-функция (constant elasticity of substitution). Впервые в контексте микроэкономической теории она была рассмотрена в работе K. J. Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas, and R. M. Solow: Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency, Review of Economics and Statistics 43 (1961): 225–250.

2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения

45

(f) u(x) = x1x2 ;

x1+x2

(g)u(x) = x21 + x22 ;

(h)u(x) = min{x1, x2};

(i)u(x) = max{x1, x2};

(j)u(x) = min{2x1 − x2, 2x2 − x1};

(k)u(x) = 28x1 + 28x2 − 2x21 − 3x1x2 − 2x22 ;

(l)u(x) = ln(x1 − 1) − 2 ln(2 − x2).

Какие из этих функций являются вогнутыми? Какие квазивогнутыми? Для каждой из этих функций постройте эскизы кривых безразличия.

Приложение 2.A Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения

Вернемся теперь от рассмотрения потребителя и его функции полезности к общей теории выбора.

Как уже отмечалось, обычно в микроэкономике описание предпочтений с помощью бинарных отношений используется в качестве отправной точки анализа выбора потребителя. В то же время другой подход, отправной точкой которого непосредственно является выбор индивидуума, может показаться более удачным, поскольку мы можем наблюдать выбор индивидуума, но не то, как он упорядочивает альтернативы. Однако есть веские причины для сложившейся

вмикроэкономике традиции:

•Полная функция выбора так же ненаблюдаема, как и бинарные отношения h , <, i, т. е. является точно такой же умозрительной конструкцией. Наблюдаться могут только отдельные случаи выбора, что не дает возможность предсказывать поведение индивидуума в произвольной ситуации выбора. Кроме того, по конечному числу наблюдений за выбором можно построить объясняющие их неоклассические предпочтения (если только выполнено одно естественное предположение). Этому вопросу посвящен первый пункт данного параграфа.

•В некотором достаточно широком классе случаев подход, основанный на функции выбора, полностью эквивалентен подходу, основанному на бинарных отношениях, в том смысле, что возможно по известной функции выбора построить неоклассические предпочтения, которые порождают этот выбор. Для этого надо наложить на функцию выбора и множество ситуаций выбора определенные ограничения. (Об этом речь идет во втором пункте данного параграфа.) Если же не накладывать таких ограничений, то подход, основанный на функции выбора, становится бессодержательным и не позволяет построить такую же богатую теорию, как традиционный подход, основанный на бинарных отношениях.

Заметим, с другой стороны, что хотя, как правило, выбор не используют в качестве отправной точки, но во многих моделях можно «забыть», что в основании выбора лежат неоклассические предпочтения и соответствующая функция полезности. Так, потребительский спрос представляет собой, фактически, функцию выбора, а его часто рассматривают сам по себе, не ссылаясь на породившие его предпочтения.

2.A.1 Рационализация наблюдаемого выбора

Пусть даны наблюдения в виде набора ситуаций выбора и альтернатив, которые были

выбраны:

{(A1, x1), (A2, x2), . . . , (AN , xN )},

2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения

46

где предполагается, что xi C(Ai) (i = 1, . . . , N ) для некоторой функции выбора C(·). Рассмотрим вопрос о том, возможно ли по этим данным подобрать неоклассические предпочтения, которые бы им не противоречили, другими словами, рационализовать наблюдаемый выбор.

Упрощенное определение рационализации состоит в следующем:

Неоклассические предпочтения h, <, i рационализуют выбор {(A1, x1), . . . , (AN , xN )}, если для всех наблюдаемых выборов (Ai, xi) из того, что x Ai следует, что xi < x.

Однако при анализе рационализации обычно на основе имеющихся наблюдений делают дополнительные выводы, исходя из того, что ситуации выбора Ai и предпочтения обладают определенными свойствами. А именно, в определенных случаях делается вывод, что альтернатива x не могла быть выбрана в ситуации выбора Ai , несмотря на то, что она допустима. Если рассматривается выбор потребителя, и Ai — бюджетное множество потребителя, то основанием для подобных выводов могут служить следующие рассуждения:

•Если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы и x лежит внутри области, задаваемой бюджетным ограничением Ai , то альтернатива x хуже для потребителя, чем xi , и, следовательно, не может быть выбрана в данной ситуации (x / C(Ai)).

•Предпочтения потребителя и бюджетное ограничение Ai таковы, что xi — единственный возможный выбор. Другими словами x / C(Ai) для всех альтернатив x Ai отличных от xi .

Смысл этих рассуждений будет ясен из материала гл. 3. Пока же для нас важно только то, что для некоторых альтернатив x Ai мы можем сделать вывод, что x / C(Ai)36. В дальнейшем мы будем всюду предполагать, особо не оговаривая, что такого рода сведения содержатся в рассматриваемых данных о выборе. Наличие такой дополнительной информации заставляет переформулировать определение рационализации.

Определение 16:

Неоклассические предпочтения h, <, i рационализуют выбор {(A1, x1), . . ., (AN , xN )}, если

?для всех наблюдаемых выборов (Ai, xi) из того, что x Ai следует, что xi < x.

?для всех наблюдаемых выборов (Ai, xi) из того, что x Ai и x / C(Ai) следует, что xi x.

Посмотрим, какие выводы можно сделать об отношениях между альтернативами x1, x2,

.. . , xN по имеющимся данным.

Всоответствии с вышесказанным, для любой пары альтернатив xi и xj , таких что xj Ai должно быть выполнено xi < xj . (Поскольку в ситуации Ai выбрана альтернатива xi , а xj была при этом доступна, то xj не лучше xi .) В подобном случае принято говорит, что xj

непосредственно выявленно не лучше xi .

Далее, если по цепочке для альтернатив xi, xj, xk, . . . , xq, xr выполнена цепочка соотношений xj Ai , xk Aj , . . . xr Aq , то xi < xj , xj < xk , . . . xq < xr , т. е. каждая альтернатива не лучше предыдущей, откуда по транзитивности xi < xr . В этом случае говорят, что xi косвенным образом выявленно не хуже, чем xr . Мы будем обозначать этот факт следующим образом: xi xr .

Аналогичным образом, для любой пары альтернатив xi и xj из наблюдаемых данных, таких что xj Ai и xj / C(Ai), должно быть выполнено xi xj . (Поскольку в ситуации Ai выбрана альтернатива xi , а xj была при этом доступна, но заведомо не могла быть выбрана,

36Если бы таких сведений не было, то задача рационализации стала бы неинтересной, поскольку достаточно было бы положить, что все альтернативы из X эквивалентны.

2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения

47

то xj хуже xi .) В подобном случае принято говорит, что xi непосредственно выявленно лучше, чем xj .

Если же по цепочке для альтернатив xi, xj, xk, . . . , xq, xr выполнены соотношения xj Ai , xk Aj , . . . xr Aq , причем одна из альтернатив не могла быть выбрана в предшествующей ситуации выбора (например, xj / C(Ai)), то xi < xj , xj < xk , . . . xq < xr , и одно из соотношений строгое (например, xi xj ), откуда xi xr . В этом случае говорят, что xi косвенным образом выявленно лучше, чем xr . По аналогии с нестрогим отношением выявленного предпочтения мы будем обозначать этот факт следующим образом: xi xr .

Предположим теперь, что мы имеем цепочку альтернатив i, j, k, . . . , q, r и опять i, такую что xj Ai , xk Aj , . . . xr Aq , xi Ar . Другими словами, в этой цепочке по кругу каждая альтернатива выявленно не хуже последующей. Из этого следует, что каждая из альтернатив может быть выбрана в предыдущей по циклу ситуации выбора, т. е. xj C(A)i , xk C(A)j ,

. . . xr C(A)q , xi C(A)r . Действительно, пусть, например, xi / C(Ar). Но это влекло бы xi xi , т. е. xi xi (альтернатива лучше самой себя), что невозможно. Можно сказать это и по другому: одновременное выполнение для двух альтернатив xi и xr соотношений xi xr и xr xi невозможно.

Предположение о том, что альтернатива по цепочке не может быть выявленно лучше самой себя, называется обобщенной аксиомой выявленных предпочтений (Generalized Axiom of Revealed Preference, GARP).

Определение 17:

Говорят, что набор данных о сделанном выборе {(A1, x1), (A2, x2), . . . , (AN , xN )} удовлетворяет обобщенной аксиоме выявленных предпочтений, если ни для одной из выбранных альтернатив не выполнено соотношение xi xi .

Как мы видим, если потребитель рационален, то наличие «нестрогого» цикла xj Ai , xk Aj , . . . xr Aq , xi Ar означает, что все альтернативы здесь эквивалентны для потребителя: xi xj xk · · · xr . Мы будем говорить, что эти альтернативы выявленно эквивалентны.

Рассмотрим сначала вопрос о том, можно ли набор данных (Ai, xi), i = 1, . . . , n рационализовать в случае, когда множество допустимых альтернатив совпадает с наблюдаемыми выборами: X = X(n) = {xi}i=1,...,n . Требуется найти неоклассические предпочтения h, <, i на X(n), которые могли бы породить такой набор данных.

Отметим, что данное выше определение рационализуемости эквивалентно следующим двум требованиям:

i	i	< x,	( )
xi	x xi
x	x x	x.	( )

(Доказательство эквивалентности двух определений рационализуемости довольно простое и оставлено в качестве упражнения. См. задачу 71.)

Итак, если мы найдем неоклассические предпочтения на X(n), которые удовлетворяют условиям ( ), и ( ), то они рационализуют наблюдаемый нами выбор потребителя. Оказывается, что найти такие предпочтения можно тогда и только тогда, когда наблюдаемый набор данных удовлетворяет требованиям обобщенной аксиомы выявленных предпочтений. (То, что это необходимое условие, мы уже видели. Нетривиальным утверждением здесь является достаточность.)

Теорема 12:

Набор данных {(A1, x1), (A2, x2), . . . , (AN , xN )} удовлетворяет обобщенной аксиоме выявленных предпочтений тогда и только тогда, когда на X(n) = {xi}i=1,...,n существуют предпочтения, рационализующие эти данные.

2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения

48

Доказательство: Поскольку необходимость очевидна, докажем только достаточность. Докажем менее общее утверждение, предположив для упрощения, что в наших данных нет

выявленно эквивалентных альтернатив, т. е. циклы выявленного предпочтения отсутствуют (даже «нестрогие»; наличие строгих циклов прямо противоречит GARP). В случае наличия в наборе данных выявленно эквивалентных альтернатив, приходится вводить множества безразличия и строить отношения между ними. Это только делает рассуждения несколько более громоздкими, не меняя их сути (см. задачу 72).

Пользуясь этим упрощением, будем конструировать такие предпочтения на X(n), что любые две различные альтернативы из X(n) находятся в отношении xi xj или же xj xi . Требуется упорядочить имеющиеся наблюдения, присвоив им порядковые номера от 1 до n, таким образом, чтобы x[1] x[2] · · · x[n] , где x[s] — s-е по порядку наблюдение, и чтобы новый порядок соответствовал выявленным предпочтениям, т. е. чтобы для любой пары альтернатив, такой что xi xj (xi 6= xj ), выполнялось xi xj .

Будем рассуждать по индукции. На m-м шаге имеем две группы альтернатив: m нумерованных альтернатив, составляющих последовательность x[1] x[2] · · · x[m] , и n − m ненумерованных. Процедура сортировки построена так, что среди нумерованных альтернатив нет таких, которые бы были выявленно хуже одной из ненумерованных. Найдем среди ненумерованных альтернатив такую альтернативу, чтобы не нашлось другой, еще ненумерованной, альтернативы, которая была бы выявленно не хуже ее. Такая альтернатива всегда найдется, поскольку по предположению выполнена GARP, и выявленно эквивалентных альтернатив тоже нет. (Это доказывается от противного. Начнем с произвольной ненумерованной альтернативы и найдем ненумерованную альтернативу, которая выявленно не хуже ее. Для найденной альтернативы найдем ненумерованную альтернативу, которая выявленно не хуже ее. Поскольку у нас конечное число альтернатив, то этот поиск в конце концов закончится,

иначе получим цикл вида xi			xj		· · ·		xr		xi , которого, как мы предположили,
быть не может.) Присвоим	найденной альтернативе номер m + 1, т. е. переведем ее в разряд

ненумерованных. Продолжаем эту процедуру, пока не пронумеруем все альтернативы.

По сути, присвоив указанным образом каждой альтернативе xi порядковый номер [i], мы построили на X(n) функцию полезности u(xi) = −[i]. По построению для любой пары альтернатив, такой что xi xj , выполняется соотношение u(xi) > u(xj). Т. е. эта функция полезности и соответствующие предпочтения рационализуют данные37.

Мы сконструировали предпочтения на конечном множестве точек X(n) = {xi}i=1,...,n . Если множество допустимых альтернатив X более широкое, то нужно каким-то образом непротиворечиво распространить найденные предпочтения на остальные альтернативы из X . Важный пример такого построения в частном случае модели поведения потребителя представляет собой теорема Африата (см. пункт 3.B.2). Есть и более простой, но содержательно менее интересный способ достроить предпочтения — разделить оставшиеся альтернативы X\X(n) на несколько «больших» множеств безразличия, и упорядочить их и альтернативы из X(n) соответствующим образом (см. задачу 73).

37 Фактически, мы доказали для конечного множества альтернатив следующее утверждение (теорему о продолжении, см. напр. П. Фишбёрн: Теория полезности для принятия решений, М.: Наука, 1978, с. 31):

Если отношение R0 транзитивно и иррефлексивно (т. е. представляет собой так называемое стро-
гое частичное упорядочение), то существует его продолжение R, являющееся также транзитив-
ным и иррефлексивным, причем такое, что если x 6= y, то либо x R y, либо y R x (другими
словами, продолжение R является строгим упорядочением).
Продолжением R0 называется такое отношение R, что x R0 y x R y.

2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения

49

2.A.2 Построение неоклассических предпочтений по функции выбора

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о том, при каких условиях можно рационализовать не отдельные наблюдения за выбором индивидуума, а в целом функцию выбора C(A), заданную на некотором достаточно богатом множестве ситуаций выбора A, другими словами, при каких условиях можно сказать, что эта функция выбора могла быть порождена неоклассическими предпочтениями38.

Определение 18:

Неоклассические предпочтения h, <, i рационализуют правило выбора C(·) на множестве ситуаций выбора A, если множество выбора C (·), порожденное этими предпочтениями, совпадает с исходным:

C(A) = C (A) для всех A A

Если потребитель имеет неоклассические предпочтения и делает выбор на их основе, то соответствующая функция выбора обладает следующими очевидными свойствами:

• Все альтернативы из C(A) эквивалентны:

x, y C(A) x y;

•Если альтернативы x и y принадлежат ситуации выбора A, причем x может быть выбрана, а y нет, то x лучше, чем y. Т. е.

x C(A), y A, y / C(A) x y;

По аналогии с предыдущим разделом (пункт 2.A.1) можем ввести понятие выявленных предпочтений. Идея этого понятия состоит в том, что если была выбрана альтернатива x в ситуации выбора, когда была доступна также альтернатива y, значит, x не может быть хуже y. Если же, дополнительно известно, что альтернатива y не могла быть выбрана, значит, x лучше y.

Определение 19:

Альтернатива x непосредственно нестрого выявленно предпочитается альтернативе y, если существует ситуация выбора A, такая что x, y A и x C(A).

Альтернатива x непосредственно строго выявленно предпочитается альтернативе y, если существует ситуация выбора A, такая что x, y A и x C(A), но y / C(A).

Нам понадобятся здесь только непосредственные выявленные предпочтения (в отличие от многошаговых косвенных, которые использовались ранее). Для обозначения непосредственных выявленных предпочтений будем использовать символы и .

Если C(A) — неоклассическое правило выбора, то, оно должно удовлетворять ряду свойств. В частности, как обсуждалось выше, отношения и обладают очевидными свойствами:

x y влечет x < y,

(a)

x y влечет x y.

Интуитивно ясно, что если бы для произвольной функции выбора C(A) мы нашли неоклассические предпочтения, удовлетворяющие этим свойствам, то тем самым мы бы «почти» рационализовали C(A). Следующая теорема подтверждает эту интуицию.

38См. K. J. Arrow: Rational Choice Functions and Orderings, Economica 26 (1959): 121–127.

2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения

50

Теорема 13:

Пусть неоклассические предпочтения h, <, i связаны с правилом выбора C(A) условиями (a). Тогда правило выбора C (A), порожденное этими предпочтениями, совпадает с правилом выбора C(A) на всех ситуациях выбора из A, для которых выбор согласно C(A) не пуст, т. е.

C (A) = C(A) для всех A A, таких что C(A) 6= .

Доказательство:

(C(A) C (A))

Пусть x C(A). Тогда по определению нестрогого выявленного предпочтения x y для

всех y A. Следовательно, x < y для всех y A. Отсюда видно, что x C (A). (C (A) C(A))

Пусть x C (A), где C(A) непусто, и пусть y — некоторая альтернатива из C(A). По-

скольку y A, то из условия x C (A) следует, что x					y и поэтому x < y. Выполнение
				x (так как y		C(A)), т. е. что y		x < y, а
соотношения x / C(A), означало бы, что y
этого быть не может. Значит, x		C(A).

Одним из непосредственных следствий неоклассической рациональности выбора является так называемая «слабая аксиома выявленных предпочтений» (Weak Axiom of Revealed Preference, WARP), являющаяся ослабленным вариантом обобщенной аксиомы выявленных предпочтений из предыдущего раздела39.

Определение 20:

Слабая аксиома выявленных предпочтений: Пусть A и A0 — две ситуации выбора, и альтернативы x, y принадлежат как A, так и A0 . Если x C(A), а y C(A0), то x C(A0).

То, что неоклассическое правило выбора действительно должно удовлетворять слабой аксиоме выявленных предпочтений, следует из (a). Для того, чтобы это показать, переформулируем слабую аксиому выявленных предпочтений в терминах выявленных предпочтений:

Если x (непосредственно) выявленно не хуже y, то y не может быть (непосредственно) выявленно лучше x, т. е. соотношения x y и y x не могут быть верными одновременно.

Для того, чтобы данное условие было верным, на самом деле достаточно менее строгой рациональности (см. параграф 2.B на с. 54). А именно, достаточно, чтобы нестрогое отношение предпочтения < было транзитивным, как демонстрирует следующая теорема.

Теорема 14:

Пусть правило выбора задано на основе нестрогого отношения предпочтения < следующим образом (так, же как выше для неоклассических предпочтений; см. Определение 6):

C(A) = { x A | y A x < y } ,

и отношение < транзитивно. Тогда это правило выбора удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений.

39«. . . Если индивидуум выбирает комплект один, отвергая комплект два, то он не может одновременно выбирать второй комплект, отвергая первый» (P. A. Samuelson: A Note on the Pure Theory of Consumer’s Behaviour, Economica 5 (1938): 61–71). Фактически, требование Самуэльсона несколько слабее слабой аксиомы выявленных предпочтений, как она здесь сформулирована вслед за Эрроу, поскольку он предполагает, что выбор потребителя однозначен. Самуэльсон говорит о том, что соотношения x y и y x не могут быть верными одновременно.

2.A. Связь выбора и предпочтений. Выявленные предпочтения

51

Доказательство: Пусть в некоторой ситуации выбора A как x, так и y можно было выбрать (x, y A) и среди выбранных альтернатив была альтернатива x (x C(A)), другими словами, пусть x y. По определению правила выбора C(A) это влечет x < y. Пусть в некоторой другой ситуации выбора A0 как x, так и y можно было выбрать (x, y A0 ) и среди выбранных альтернатив была альтернатива y (y C(A0)). По определению правила выбора это означает, что y < z z A0 . Из транзитивности следует, что то же самое должно быть верным для x, т. е. x < z z A0 . Таким образом, x C(A0), то есть слабая аксиома выявленных предпочтений выполнена.

Другое следствие того, что выбор делается на основе неоклассических предпочтений, состоит в том, что из конечного набора альтернатив индивидуум всегда может сделать выбор. Другими словами, выполнено следующее утверждение.

Теорема 15:

Если ситуация выбора A A состоит из конечного числа альтернатив, то для правила выбора C(·), соответствующего неоклассическим предпочтениям, выполнено C(A) 6= .

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения (см. задачу 34 на с. 34).

Таким образом, выполнение «слабой аксиомы выявленных предпочтений» и непустота выбора из конечного числа альтернатив являются необходимыми условиями рационализуемости функции выбора.

Следующая теорема указывает возможный набор достаточных условий для рационализуемости в смысле условий (a). В ней указанные необходимые условия рационализуемости функции выбора дополняются предположением о том, что множество ситуаций выбора является достаточно «богатым»40.

Теорема 16:

Пусть правило выбора C(·) определено на множестве ситуаций выбора A и при этом

3если ситуация выбора A A состоит из конечного числа альтернатив, то множество C(A) непусто;

3C(A) удовлетворяет слабой аксиоме выявленных предпочтений;

3множество ситуаций выбора A содержит все двух- и трехэлементные подмножества X ;

ипусть на основе этого правила выбора задано нестрогое отношение предпочтения < так, что оно совпадает с нестрогим отношением выявленного предпочтения , а на основе нестрогого отношения предпочтения определенны обычным образом предпочтения h, <,

i.

Тогда предпочтения h, <, i являются неоклассическими и связаны с C(A) соотношениями (a).

40В частности, предполагается, что оно содержит все двухэлементные подмножества X . Это предположение в определенном смысле естественно. Действительно, если известно, что неоклассические предпочтения рационализуют правило выбора C(·), и все двухэлементные подмножества X входят в A то можно восстановить предпочтения по C(·) по следующему принципу:

C({x, y}) = x x y,

C({x, y}) = {x, y} x. y