3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя

112

3.B.1 Оценки для верхнего лебеговского множества

Как следует из предыдущего обсуждения выявленных предпочтений, для произвольного допустимого потребительского набора x X , имея совокупность данных (pi, xi), i = 1, . . . , n, мы в некоторых случаях можем сказать, что он выявленно не лучше или выявленно хуже

набора xi из наших данных (xi					x и xi			x соответственно). Это позволяет получать
оценку сверху для множества		L+(xi) (множеств наборов, которые не хуже, чем xi ). Построим
¯+ i								i	.
множество L (x	) из всех таких наборов, которые не являются выявленно худшими, чем x
		+	i		¯+ i	). Т. е. настоящее верхнее лебеговское множество
Тогда, очевидно, выполнено L (x				) L (x

будет лежать внутри нашей оценки.

На Рис. 3.12 показано, как можно по данным (p0, x0), (p00, x00), (p000, x000) получить указанную

оценку ¯+ 0 . Здесь 0 выявленно лучше, чем 00 и 000 , поэтому требуется отсечь все точки,

L (x ) x x x

которые лежат хотя бы в одном из трех бюджетных треугольников p0x < p0x0 , p00x 6 p00x00

или p000x 6 p000x000 .

x2 p000

x000

p00

p0

x00

x0 x1

Рис. 3.12. Оценка сверху для верхнего лебеговского множества

Если не привлекать дополнительную информацию о виде предпочтений, то оценка снизу для верхнего лебеговского множества будет состоять из тех наблюдаемых наборов, которые выявленно не хуже данного набора. Так на Рис. 3.12 мы знаем только, что x0 L+(x0). О множестве L+(x000) мы можем сказать только, что ему принадлежат x0 , x00 и x000 .

Если предположить, что предпочтения выпуклы, то оценка снизу будет включать не только сами выявленно лучшие точки, но и их выпуклую оболочку. Например, на Рис. 3.12 L+(x000) будет включать треугольник с вершинами в x0 , x00 и x000 .

Если предположить, что предпочтения монотонны, то вместе с каждой точкой xj , которая выявленно не хуже (xj xi ), оценка снизу для L+(xi) должна включать и точки, которые лучше, чем xj , по монотонности, т. е. наборы из множества xj + Rl+ .

В предположении выпуклости и монотонности предпочтений оценка снизу для L+(xi) должна включать вместе с каждой точкой xj , которая выявленно не хуже xi , также и множество xj + Rl+ , и, кроме того, она должна включать все выпуклые комбинации таких множеств (см. Рис. 3.13).

3.B.2 Рационализация. Теорема Африата25.

Мы рассмотрели получение по совокупности данных (p1, x1), . . . , (pn, xn) оценки для множества L+(xi) для одного из наборов, xi . Можно поставить более сложную задачу рацио-

25См. S. N. Afriat: The Construction of a Utility Function from Expenditure Data, International Economic Review 8 (1967): 67–77; A. Fostel, H. E. Scarf, and M. J. Todd: Two New Proofs of Afriat’s Theorem, Economic Theory 24 (2004): 211–219

3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя	113
x2
x000
x00
x0
x1
Рис. 3.13. Оценка снизу для верхнего лебеговского множества L+(x000)

нализации данного набора наблюдений: найти предпочтения, которые могли бы порождать такие наблюдения. Ясно, что такая задача не имеет однозначного решения, но хотелось бы получить хотя бы одно подходящее решение. Если мы не уверены, что данные получены на основе рационального выбора, то решения у данной задачи может не быть. Поэтому желательно иметь алгоритм, с помощью которого можно было бы определить, можно ли рационализовать имеющиеся данные.

Неоклассические предпочтения h, <, i на X рационализуют наблюдения за выбором (p1, x1), . . . , (pn, xn) (xi X i), если xi < x для всех i = 1, . . . , n и всех x X , таких что pix 6 pixi .

Это уточнение Определения 16 для случая потребительского выбора. При этом потребитель выбирает из бюджетного множества. Неявно предполагается, что предпочтения локально ненасыщаемы, так что если при ценах pi был выбран набор xi , то доход потребителя был равен pixi .

Предположим, что мы имеем цепочку наборов i, j, k, . . . , r и опять i, такую что pixj 6 pixi, pjxk 6 pjxj, . . . , prxi 6 prxr . Другими словами, в этой цепочке по кругу каждый набор непосредственно выявленно не хуже последующего. В этой цепочке ни одно неравенство не может быть строгим. Действительно, например, prxi < prxr влекло бы xi xi , т. е. xi xi (набор лучше самого себя), что невозможно. Невозможность существования подобных циклов, т. е. невозможность того, чтобы набор по цепочке был выявленно лучше самого себя, по аналогии с общим определением, данным в гл. 2 (Определение 17 на с. 47) следует назвать

обобщенной аксиомой выявленных предпочтений (GARP).Таким образом, имеем следующую переформулировку GARP для модели поведения потребителя26:

Совокупность данных (p1, x1), . . . , (pn, xn) удовлетворяет обобщенной аксиоме выявленных предпочтений, если не существует циклов вида pixj 6 pixi , pjxk 6 pjxj ,

. . ., prxi 6 prxr , где одно из неравенств строгое.

Найти предпочтения, рационализующие набор данных, можно только тогда, когда он удовлетворяет требованиям обобщенной аксиомы выявленных предпочтений. Теорема 12 гл. 2 (см.

26Данное требование впервые было сформулировано в несколько более слабом виде Хаутеккером (см. H. S. Houthakker: Revealed Preference and the Utility Function, Economica, 17 (1950): 159–174) в предположении, что выбор потребителя однозначен, и получило название «усиленной аксиомы выявленных предпочтений» (SARP). Ср. со сноской 39 на с. 50, где сравниваются две формулировки «слабой аксиомы выявленных предпочтений» (Самуэльсона и Эрроу). GARP в приведенном здесь виде сформулирована Африатом под названием «цикличекая непротиворечивость».

3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя

114

с. 47) демонстрирует, как при выполнении GARP сконструировать предпочтения на конечном множестве точек {xi}i=1,...,n . Если множество допустимых наборов X более широкое, то нужно каким-то образом непротиворечиво распространить найденные предпочтения на остальные наборы из X .

Теорема Африата предлагает такое продолжение предпочтений на все множество X . Более того, согласно этой теореме, тот факт, что наблюдаемый выбор удовлетворяет GARP, эквивалентен существованию «хорошей» функции полезности, рационализующей данный выбор.

Теорема 38 (теорема Африата):

Набор данных удовлетворяет GARP, тогда и только тогда, когда существует кусочнолинейная, непрерывная и вогнутая функция полезности, которая их порождает.

Доказательство: То, что это необходимое условие, мы уже видели. Нетривиальным утверждением здесь является достаточность.

Предположим, что мы сконструировали предпочтения на множестве точек {xi}i=1,...,n так, что выполнены необходимые условия рациональности

i	j	i	j
xi	xj	xi	< xj	,
x	x	x	x ,

и отсортировали свой набор данных согласно этим предпочтениям так, что x1 < x2 < · · · < xn .

	Введем обозначения aij = pi(xj − xi). Выполнение неравенства							aij ≤ 0 означает, что
xi		xj , если же неравенство строгое, то xi			xj .		6	6
			предположим, что a
	Для упрощения доказательства мы					ij

данных нет совпадений, и на каждой бюджетной гиперплоскости pix лежит только один из наблюдаемых наборов — xi . Теорема верна и без этого предположения, но оно несколько упрощает рассуждения.

Чтобы доказать теорему, следует доказать, что существует набор чисел u1, . . . , un и λ1, . . . , λn > 0, которые бы удовлетворяли следующей системе линейных неравенств (назовем их неравенствами Африата):

uj 6 ui + λiaij для всех i, j.

или, тaк как ajj = 0,

uj + λjajj 6 ui + λiaij для всех i, j.

Если такие числа найдутся, то функцию полезности можно построить по формуле

u(x) = min{ui + λipi(x − xi)}.

i

Несложно проверить, что ui — значение этой функции в точке xi :

u(xj) = min{ui + λipi(xj − xi)} = min{ui + λiaij} = uj + λjajj = uj.

i i

Далее, для любого набора xj из нашей совокупности, если для произвольного вектора x выполнено соотношение pjx 6 pjxj , то u(x) 6 u(xj). Действительно,

u(x) 6 uj + λjpj(x − xj) 6 uj = u(xj).

Первое неравенство здесь следует из определения u(x), а второе — из положительности λj . Тем самым, как мы видим, существование решения неравенств Африата гарантирует существование «хорошей» функции полезности, которая могла бы породить эти данные (любой набор, доступный в i-й ситуации выбора не лучше xi по этой функции полезности).

3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя

115

Доказательство существования решения неравенств Африата проведем по индукции. При n = 1 величины u1 и λ1 можно выбрать произвольным образом; требуется только, чтобы

λ1 > 0.

Пусть существуют u1, . . . , un−1 и λ1, . . . , λn−1 > 0, являющиеся решением неравенств Африата для наборов i = 1, . . . , n − 1. Найдем решение в случае n наборов.

Выберем un так, чтобы

	n	min		i i i n	i	min		i i
u				1{u + λ p (x				1{u + λ ain}.
		6 i=1,...,n	−		− x )} = i=1,...,n		−

Затем выберем λn так, чтобы

uj 6 un + λnanj для j = 1, . . . , n − 1.

Требуется показать, что такое λn существует.

Наборы упорядочены так, что среди x1, . . . , xn−1 нет ни одного, который был бы выявленно хуже, чем xn . Поэтому pnxj > pnxn при j = 1, . . . , n − 1, т. е. anj = pn(xj − xn) > 0 при j = 1, . . . , n − 1. (Как сказано выше, мы делаем упрощающее предположение aij 6= 0 при i 6= j .) Поскольку anj > 0 при j = 1, . . . , n − 1, то найдется достаточно большое λn , которое бы удовлетворяло всем этим неравенствам27. Это такое λn , что

λn > max	uj − un	.
j=1,...,n−1	anj

Таким образом, мы доказали по индукции, что неравенства Африата имеют решение, и тем самым доказали, что u(x) рационализует наблюдаемый выбор.

В формуле

u(x) = min{ui + λipi(x − xi)}.

i

каждая из функций ui + λipi(x − xi) является линейной, а потому непрерывной и вогнутой. Следовательно, их поточечный минимум u(x) — кусочно-линейная, непрерывная и вогнутая функция.

Поясним смысл неравенств Африата. Пусть x¯ — решение задачи потребителя при ценах p¯ и доходе p¯x¯ . Соответствующая функция Лагранжа задачи потребителя имеет вид

L(x, λ) = u(x) + λp¯(x¯ − x).

Если выполнены условия регулярности ( ¯ 6 ), то существует множитель Лагранжа ¯ , p = 0 λ > 0

такой что (x¯	¯
	, λ) — седловая точка функции Лагранжа. (Если предпочтения локально ненасы-
	¯	¯	−x). Поль-
щаемы, то здесь λ > 0.) Отсюда следует, что x¯		максимизирует функцию u(x)+λp¯(x¯

зуясь этим условием, получаем, что если существует функция полезности u(·), которая рационализует имеющиеся наблюдения, то xi должен максимизировать функцию u(x)+λipi(xi −x) при некотором множителе Лагранжа λi > 0. В частности, при x = xj должно быть выполнено

u(xi) = u(xi) + λipi(xi − xi) > u(xj) + λipi(xi − xj).

Замечание: Если дополнительно предположить, что pi > 0 при всех i, и X = Rl+ , то функция u(x), определяемая данной теоремой, является также строго монотонной, поскольку строго монотонна каждая из функций ui + λipi(x − xi). Соответственно, u(x) будет также локально ненасыщаемой.

27Если бы здесь anj = 0 при каком-то j , то не всегда можно было бы добиться выполнение данных неравенств увеличением λn .