14.1. Модель Курно	517
Выпуск в случае совершенной конкуренции был бы равен

¯ a − c Y = b .

То есть, как и следует из теории, ¯ . При увеличении количества фирм в олигополии

Y 6 Y

суммарный объем производства все больше сближается с объемом при совершенной конкурен-

ции:
lim	n(a − c)		=		a − c	,
n→∞ (n + 1)b					b
а цена стремится к предельным издержкам:
lim		a + nc		= c.
						4
n→∞ n + 1

14.1.3Равновесие Курно и благосостояние

Рассмотрим олигопольную отрасль, характеристики которой удовлетворяют условиям Теоремы 137, в том числе, все фирмы имеют одинаковые функции издержек, c(·). Как было доказано в Теореме 137, в такой отрасли существует симметричное равновесие Курно, причем объем производства положителен:

y = Y > 0 j.

j n

Проанализируем это равновесие с точки зрения благосостояния общества.

Предположим, что спрос на продукцию олигополистов в модели Курно получается как результат выбора репрезентативного потребителя с квазилинейной функцией полезности:

u(x, z) = v(x) + z.

Напомним, что в этом случае для положительных x выполнено соотношение (при отсутствии ограничений на знак z или достаточно больших доходах потребителя)

		p(x) = v0(x).
Индикатор благосостояния имеет вид
W (Y ) = v(Y ) − nc n !									,
						Y
а ее производная равна			n ! = p(Y ) − c0							n ! .
W 0(Y ) = v0(Y ) − c0
			Y							Y
В равновесии Курно								! = 0,
p0(Y )	Y	+ p(Y ) − c0			Y
	n				n

откуда видна его неоптимальность с точки зрения благосостояния:

W 0(Y ) = −p0(Y )Y > 0. n

Отсюда следует, что если немного увеличить суммарный выпуск по сравнению с Y , то благосостояние общества возрастет.

14.1. Модель Курно

518

Рассмотрим функцию

W˘ (Y, n) =

1

p(Y )Y

−

nc

Y

+

n − 1

v(Y )

−

nc

Y

.

n

n

n

n

!

!

Ее можно интерпретировать, как взвешенное среднее совокупной прибыли и индикатора благосостояния.13 Покажем, что равновесный объем продаж олигополистического рынка в модели Курно максимизирует данную функцию. Производная этой функции равна

W˘ 0(Y, n) =

1

p0(Y )Y + p(Y )

−

c0

Y

+

n − 1

v0(Y )

−

c0

Y

=

n

n

n

!

n

!

=

1

p0(Y )Y + p(Y )

−

c0

Y

+

n − 1

p(Y )

−

c0

Y

!

=

n

n

n

!

n

= p0(Y ) n

+ p(Y ) − c0

n ! .

Y

Y

Как мы видели, в равновесии Курно (Y = Y ) данная величина равна нулю. Если предположить, как и ранее, вогнутость функции p(Y )Y , убывание функции спроса и выпуклость

˘	˘
издержек, то производная функции W (Y, n)	убывает по Y , поэтому W (Y, n) строго вогнута

по Y , откуда следует, что в точке Y достигается ее (единственный) максимум.

При n → ∞	˘
	доля первого слагаемого в функции W стремиться к нулю, а доля второго

слагаемого — к единице, так что функция ˘ все больше сближается с индикатором благосо-

W

стояния. Этим определяется тот факт, что при большом количестве фирм равновесие Курно становится похожим на конкурентное равновесие, в котором, как мы знаем, при некоторых условиях индикатор благосостояния достигает максимума.

14.1.4Модель Курно и количество фирм в отрасли

Выше, рассматривая поведение выпуска как олигополистического рынка в целом, так и отдельных олигополистов, мы не касались вопроса положительности прибыли, и по этой причине наш анализ поведения этих характеристик нельзя считать вполне удовлетворительным. Возможно, он приемлем для краткосрочной перспективы, но в долгосрочной перспективе анализ должен быть пересмотрен. Любой олигополист сталкивающийся с отрицательной прибылью на некотором рынке при оптимальном поведении вероятнее всего будет рассматривать вопрос об уходе с этого рынка. Аналогично, любой потенциальный производитель решающий вопрос о входе в олигополистическую отрасль, оценивает возможность получения им положительной (неотрицательной) прибыли в случае его входа в отрасль. Как нетрудно догадаться, эти вопросы имеют одну и ту же природу и в простейшей модели, рассматриваемой нами далее, тесно связаны с величиной постоянных (фиксированных) издержек и количеством фирм уже вошедших и действующих в отрасли.

Рассмотрим олигопольную отрасль, в которой у всех олигополистов одинаковые функции издержек. Мы будем предполагать, что выполнены все условия Теоремы 138. Удобно представить издержки каждой фирмы как сумму постоянных издержек, f > 0, и переменных издержек, c˜(y), где c˜(0) = 0:

c(y) = f + c˜(y).

13Эта интерпретация предложена в статье T. C. Bergstrom and H. R. Varian: Two Remarks on Cournot Equilibria, Economic Letters 19 (1985): 5–8. К сожалению, данная интерпретация не распространяется на случай неодинаковых функций издержек.

14.1. Модель Курно

519

Пусть yM максимизирует прибыль монополиста. Мы должны предположить, что постоянные издержки таковы, что монополист действуя на этом рынке, получит неотрицательную прибыль

Π(yM) > 0.

Другими словами, постоянные издержки должны быть не слишком высоки: они не должны превышать прибыль монополиста без учета постоянных издержек:

˜	M	),
f 6 Π(y

где ˜ − . (Если это условие не выполнено, то рынок не может существовать, то

Π(y) = Π(y) f

есть не найдется производителей, желающих производить продукцию на этом рынке.)

Через Πn будем, как и ранее, обозначать прибыль, получаемую отдельной фирмой в отрас-

ли, состоящей из фирм, а через ˜ n — прибыль без учета постоянных издержек. При этом n Π

˜ 1 — прибыль монополии без учета постоянных издержек.

Π

	˜
Как мы доказали ранее, Πn (а, следовательно, и Πn ) представляет собой убывающую
		˜
последовательность. При сделанных нами ранее предположениях прибыль Πn положительна
˜		˜
(в том числе, Π1 > 0) и при увеличении n стремится к 0		(Πn → 0). Читателю предлагается
установить этот факт самостоятельно.		˜
Из убывания и стремления к нулю очевидно, что при 0 < f 6 Π1 существует единственное
целое количество фирм в отрасли n(f) такое, что
˜	˜
Πn(f) > f > Πn(f) + 1

или

Πn(f) > 0 > Πn(f)+1.

Отметим, что это число единственно в силу строгого убывания прибыли при росте числа оли-

гополистов. Таким образом, для каждого из промежутка ˜ 1 определена функция . f (0, Π ] n(f)

Эта функция сопоставляет каждому значению постоянных издержек максимально возможное число фирм, при котором каждая из них получает неотрицательную прибыль.

Докажем, что эта функция не возрастает по f и не ограничена сверху. Пусть f0 > f00 .

Тогда по определению функции мы имеем, что ˜ n(f0) 0 00 ˜ n(f00)+1 , т. е. ˜ n(f0) n(f) Π > f > f > Π Π >

˜ 00 из убывания прибыли по мы имеем, что 00 0 или 00 0 .

Πn(f )+1 n n(f ) + 1 > n(f ) n(f ) > n(f )

Неограниченность сверху следует из того факта, что ˜ N . Сопоставляя эти два свой- n(Π ) = N

ства функции n(·), получим, что

lim n(f) = ∞.

f→0

Таким образом, чем меньше постоянные издержки, тем больше фирм может войти в отрасль, и в пределе функционирование отрасли все более приближается к ситуации совершенной конкуренции (в силу Теоремы 138).

Мы представили количество олигополистов на рынке как функцию от постоянных издержек. Естественно также рассмотреть вопрос об оптимальном с точки зрения общества числе олигополистов.14 Это число должно максимизировать совокупный излишек

W (n) =	0	Y	n ! .
		p(x)dx − nc
Z		n	Yn

Пусть nˆ — оптимальное с точки зрения благосостояния количество фирм в олигополистической отрасли.

14Следующий далее анализ основывается на статье N. G. Mankiw and M. D. Whinston: Free Entry and Social Inefficiency, Rand Journal of Economics 17 (1986): 48–58.

14.1. Модель Курно

520

Следующие рассуждения показывают, что n(f) > nˆ − 1. По определению nˆ мы имеем, что

W (ˆn) > W (ˆn − 1), или

Y

p(x)dx − ncˆ

nˆ !

Y

p(x)dx − (ˆn − 1)c

Z0

nˆ

> Z0

−

1

Ynˆ

nˆ

или

nˆ c

!

−

c

Ynˆ−1

>

−

Ynˆ

p(x)dx

−

Ynˆ−1

−

c

nˆ 1!

Y

1

nˆ 1

−

Z nˆ

−

−

Y

Прибавив к обеим частям p(Ynˆ−1)

nˆnˆ−−11

, получим

Ynˆ−1 !

nˆ − 1

!

Ynˆ . nˆ

Πnˆ

−

1

> p(Ynˆ

1)

Ynˆ−1

−

Ynˆ

p(x)dx

−

nˆ c

Ynˆ−1

! −

c

Ynˆ

.

Y

nˆ

−

nˆ 1

1

nˆ 1

!

−

Z

nˆ

−

−

Так как обратная функция спроса убывает, то

ZYnˆ	1	p(x)dx < ZYnˆnˆ 1 p(Ynˆ−1)dx = p(Ynˆ−1)(Ynˆ − Ynˆ−1)
Y		Y
−		−

Таким образом, имеем

Πnˆ

1

> p(Ynˆ

1)

Ynˆ−1

−

Ynˆ + Ynˆ

1

nˆ

c

Ynˆ−1

! −

c

Ynˆ

=

nˆ

−

−

nˆ − 1

−

! −

nˆ − 1

!

= npˆ (Ynˆ	1)		Ynˆ−1	−	Ynˆ	! −	nˆ	c	Ynˆ−1
					nˆ
−		nˆ − 1							nˆ − 1

В силу выпуклости функции издержек c(·) имеем, что

!

− c

!

Ynˆ . nˆ

Ynˆ 1

Ynˆ

Ynˆ

1

Ynˆ 1

Ynˆ

c

nˆ −1

!

− c

! 6 c0

nˆ

−1

!

nˆ

−1

−

! .

nˆ

nˆ

−

−

−

Воспользовавшись этим неравенством, получим

Ynˆ

1

Ynˆ

Ynˆ

1

Ynˆ

1

Ynˆ

Πnˆ−1 > npˆ (Ynˆ−1)

nˆ

−1

−

! − ncˆ 0

nˆ

−1

!

nˆ

−1

−

!

nˆ

nˆ

−

−

−

= nˆ p(Ynˆ 1)

−

c0

Ynˆ−1

Ynˆ−1

−

Ynˆ

.

−

nˆ − 1!

nˆ − 1

nˆ

!

Из условий первого порядка

Ynˆ

1

Ynˆ

1

Ynˆ

Πnˆ−1 > −npˆ 0(Ynˆ−1)

nˆ −

1

nˆ

−

1

−

! > 0.

nˆ

−

−

Таким образом мы получили, что

Πnˆ−1 > 0.

Пусть, как и выше, n(f) — количество фирм в отрасли при постоянных издержках f . По определению 0 > Πn(f)+1 .