7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)

256

(C) Пусть вероятность аварии равна 0,01 и известно, что цена страхования на $1 равна $0,02. Возможно ли, что он застраховался на сумму $10000? Если нет, то больше или меньше, чем $10000? Объясните.

/383. Предположим, что в ситуации задачи 381 на с. 253 золотоискатель не купил прогноз, а застраховался на сумму в $300 на случай отсутствия золота и купил участок. По какой цене продавались страховые контракты?

/384. Приведите пример, когда оптимальным является страхование на полную сумму ущерба при том, что цена страховки не является актуарно справедливой.

/385. Пусть в экономике с риском с одним физическим благом предпочтения потребителярискофоба представимы функцией Неймана — Моргенштерна. Покажите, что предельная норма замещения блага в состоянии мира s на благо в состоянии мира t убывает при росте его потребления в состоянии мира s и равна отношению вероятностей этих состояний, когда потребление одинаково.

/386. Пусть в экономике с риском цены благ пропорциональны вероятностям состояний мира.

(А)Докажите, что рискофоб, предпочтения которого представимы функцией Неймана — Моргенштерна, выберет такой набор, что потребление каждого блага не зависит от состояние мира.

(Б) Продемонстрируйте, что обратное утверждение неверно, приведя соответствующий контрпример.

(В) Продемонстрируйте, что предположение о том, что потребитель — рискофоб, существенно, приведя соответствующий контрпример.

/387. Пусть в экономике с риском при ценах p потребитель с локально ненасыщаемыми предпочтениями выбрал набор x. Рассмотрим потребительский набор, равный ожидаемому потреблению, т. е. x¯ = Ps S µsxs и «агрегированный» вектор цен p¯ = Ps S ps .

(А)Покажите, что p¯x¯ > Ps S psxs .

(Б) Покажите, что если потребитель является рискофобом и в равновесии потребление хотя бы одного из благ различно хотя бы в двух состояниях мира, то неравенство строгое.

7.5Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)

Квыбору наиболее предпочтительной денежной лотереи сводятся многочисленные модели инвестиционного повеления.

Мы проиллюстрируем этот анализ на основе следующей простой двухпериодной модели. Рассмотрим задачу распределения одного блага — капитала7 — между несколькими активами k K = {1, . . . , l}. Модель двухпериодная. В первый период инвестор вкладывает капитал в активы, а во второй получает доход с этих активов. Величину капитала будем обо-

значать ω (ω > 0).

Каждый актив характеризуется своей доходностью (отношением чистого дохода от единицы актива к цене). Пусть r˜k — валовая доходность k-го актива, т. е. валовой доход на рубль вложений. Волна означает, что это случайная величина. Если считать пространство состоя-

ний мира дискретным, как и выше, то доходность r˜k — дискретная случайная величина и принимает значения rks (s S ) с соответствующими вероятностями µs .

Инвестор должен выбрать размеры вложений zk в каждый из доступных активов k K при следующих ограничениях:

7Возможно, первоначально капитал размером имеется в виде безрискового актива k = 0 (см. далее). Может быть, начальный запас имеет более общий вид:

(ω0, . . . , ωl) :???˜rωk = ω .

7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)

257

^ Можно покупать актив, но не эмитировать его, т. е.

zk > 0.

^ Общая сумма вложений не должна превышать величину капитала, т. е.

X

zk 6 ω.

k K

Последнее неравенство представляет собой аналог бюджетного ограничения.

Вектор {zk}k K будем называть портфелем. Общий (валовой) доход от портфеля равен:

X

x˜ = zkr˜k.

k K

Если пространство состояний мира дискретное, то доход от портфеля x˜ — дискретная случайная величина и принимает значения

X

xs = zkrks k K

с вероятностями µs .

Как обычно, предполагаем, что предпочтения инвестора описывается функцией типа Неймана — Моргенштерна

X

U = E u(˜x) = µsu(xs).

s S

В дальнейшем мы везде будем считать, что u(·) — дифференцируемая функция, причем производная u0(·) положительна и убывает (инвестор — рискофоб).

Поскольку капитал ω — постоянная величина (выбор между накоплением и потреблением остается за рамками модели), то полезность определяется структурой портфеля, и можно вместо величины вложений в k-й актив, zk , рассматривать долю этого актива в портфеле

αk = zk/ω.

Тогда

x˜ = ω

αkr˜k.

K

Получим следующую задачу:

kX

X

X

U = E u(˜x) = E u(ω

max .

k 6

1, α

k >

0,

αkr˜k) →

α

k

K.

αk

k K

k K

Принято вводить еще безрисковый актив k = 0 с гарантированной доходностью r˜k = r0 (его можно интерпретировать как государственные ценные бумаги или вклад до востребования). Этот актив имеет одну и ту же доходность r0 независимо от состояния мира. При этом

K = {0, . . . , l}.

Еще одно предположение, которое принято делать — нет ограничения на неотрицательность вложений в безрисковый актив, т. е. может быть αk < 0. Интерпретация — можно взять кредит на любую сумму по той же ставке r0 .

Так как производная u0(x) положительна, то целевая функция ненасыщаема и поэтому «бюджетное ограничение» в задаче инвестора выходит на равенство, т. е. α0 = 1 − Pk6=0 αk . Исключив α0 , преобразуем задачу инвестора к виду

X

E u(ω(r0 + αk(˜rk − r0))) → max .

k6=0

αk

7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)

258

При соответствующих условиях регулярности производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной8. Будем предполагать, что эти условия выполнены. Тогда условие первого порядка решения задачи инвестора имеет вид

E[u0(˜x)ω(˜rk − r0)] 6 0, k 6= 0.

Кроме того, если αk > 0, то это условие выполняется как равенство

E[u0(˜x)ω(˜rk − r0)] = 0.

или

E[u0(˜x)˜rk] = r0 E u0(˜x).

Нетрудно проверить, что в силу свойств функции u(·) (инвестор — рискофоб) и линейности оператора E, ожидаемая полезность портфеля, как функция долей вложений в соответствующие активы, является вогнутой. Поэтому эти условия являются достаточными условиями оптимальности портфеля.

Рассмотрим частный случай этой задачи. Пусть есть два актива — безрисковый и один рискованный. Задача инвестора имеет вид:

E u(ω(α0r0 + α1r˜1)) → max .

α0,α1

α0 + α1 6 1, α1 > 0.

Исключив α0 , получим следующую задачу одномерной максимизации:

U = E u(ω(r0 + α1(˜r1 − r0))) → max .

α1>0

Обозначим максимизируемую функцию через U(α1) и вычислим ее производную:

∂U(α1) = E[u0(ω(r0 + α1(˜r1 − r0)))ω(˜r1 − r0)] =

∂α1

= ω(E[u0(˜x)˜r1] − r0 E u0(˜x)).

Решение задачи инвестора (если оно существует) может быть внутренним (α1 > 0) либо граничным (α1 = 0).

1) Если в оптимальном портфеле α1 > 0, то ∂U(α1)/∂α1 = 0, откуда

E[u0(˜x)˜r1] = r0 E u0(˜x).

Заметим, что в рассматриваемом случае u0(˜x) является убывающей функцией r˜1 , поэтому

E[u0(˜x)˜r1] < E u0(˜x) E r˜1.

(Ковариация u0(˜x) и r˜1 отрицательна). Таким образом, поскольку E u0(˜x) > 0 (ожидание положительной случайной величины положительно), необходимое условие внутреннего решения состоит в том, что r0 < E r˜1

2) Если в оптимальном портфеле α1 = 0, то x˜ = ωr0 (т. е. доход портфеля — не случайная величина). Значит,

∂U(α1) = ωu0(ωr0)(E r˜1 − r0). ∂α1

8Достаточно, чтобы пространство состояний мира было дискретно. Для непрерывных распределений условие регулярности заключается в том, что носитель распределения не зависит от параметра, по которому берется производная.

7.5. Модель инвестора (выбор оптимального портфеля)

259

Поскольку для граничного решения ∂U(α1)/∂α1 6 0 и производная элементарной функции полезности положительна, то получим следующее необходимое условие оптимальности граничного решения:

E r˜1 6 r0.

Внутреннее

решение

U(α1)

α1

	Граничное
	решение			U(α1)
	U(α1)			Решение
				отсутствует
	α1			α1

Рис. 7.6. Возможные ситуации в случае выбора из двух активов

Отсюда следует, что необходимым и достаточным условием того, что 1-й актив войдет в портфель (α1 > 0) является то, что его ожидаемая доходность больше гарантированной (E r˜1 > r0 ).

Тот факт, что для случая двух активов условие E r˜1 > r0 является достаточным, является частным случаем более общего результата, который называется теоремой о диверсификации.

Теорема 92 ((теорема Самуэльсона о диверсификации9)):

Пусть инвестор характеризуется целевой функцией типа Неймана — Моргенштерна с элементарной функцией полезности u(·), и пусть, кроме того,

3функция u0(x) положительна и убывает;

3доходности активов (статистически) независимы10;

3ограничение α0 > 0 несущественно;

3выполнены условия регулярности, обеспечивающие, что производная математического ожидания равна математическому ожиданию производной.

Тогда любой актив k K , ожидаемая доходность которого выше доходности безриско-

вого актива (E r˜k > r0 ) войдет в портфель, т. е. αk > 0.

Доказательство: Как мы видели ранее, условие первого порядка для задачи инвестора имеет вид (постоянный множитель ω > 0 можно сократить)

E[u0(˜x)(˜rk − r0)] 6 0, k 6= 0,

Предположим, что αk = 0, k 6= 0 (k-й актив не входит в портфель). При этом величины r˜k и x˜ должны быть между собой независимы (x˜ зависит только от доходностей остальных активов). Следовательно, r˜k и u0(˜x) также независимы (функции от независимых случайных величин тоже независимы). Воспользовавшись тем, что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий,

получим, что

E r˜k E u0(˜x) 6 r0 E u0(˜x).

Так как E u0(˜x) > 0, то E r˜k 6 r0 . Следовательно, если E r˜k > r0 , то не может быть αk = 0, т. е. такой актив войдет в портфель.

10В модели Марковица достаточно некоррелированности (см. ниже).