10.10. Торговля квотами на однородные экстерналии

383

Другая важная причина невозможности достижения эффективных соглашений (которой Коуз не уделил достаточного внимания) — асимметричная информация. Если участники торга неодинаково информированы (например, не знают точно прибыль противоположной стороны в статус-кво), то соглашение может не быть достигнуто, либо может быть выбран неоптимальный объем экстерналий. Подробнее этот вопрос обсуждается в главе, посвященной рынкам с асимметричной информацией.

10.9.1Задачи

/ 483. Рассмотрим экономику обмена с двумя потребителями. Потребитель X имеет функцию

полезности

ux = x1x2 + 2z − z2.

Потребитель Y имеет функцию полезности

uy = y1y2 − z2.

Здесь xk , yk — объемы потребления двух обычных благ, z — уровень (отрицательного) внешнего влияния X на Y (X имеет право выбирать его произвольно). Потребитель X владеет единицей первого блага, а потребитель Y — единицей второго блага. Потребители рассматривают пропорции обмена как данные (условия совершенной конкуренции).

(1) Найти равновесие. Будет ли возникшее равновесие оптимальным?

(2) Желая изменить z , потребитель Y предлагает потребителю X t единиц второго блага в обмен на то, что тот установит z на уровне z . Потребитель X может либо согласиться на эту сделку, либо отказаться. На этом торг между ними заканчивается.

Торговля на обоих рынках происходит одновременно, т. е. сделка на рынке экстерналий изменяет начальные запасы благ и влияет на равновесную цену p. Учтите, что при этом оба потребителя считают, что не могут повлиять на цену p!

Найти равновесие. Будет ли возникшее равновесие оптимальным?

(3)* Решите ту же задачу в случае, когда ux = x1x2 + 2θz − z2 , где случайная величина θ принимает значения 0 и 1 с равной вероятностью, и значение θ известно только потребителю

X .

10.10Торговля квотами на однородные экстерналии

Рассмотренные выше некоординируемое рыночное равновесие, равновесие с налогами и равновесие с торговлей экстерналиями неявно предполагали существование некоторой системы прав собственности на экстерналии. Так, рыночное равновесие предполагает право производителя экстерналий на их производство в любом объеме. Равновесие с налогами и равновесие с торговлей экстерналиями предполагает возмещение ущерба от экстерналий теми, кто их производит.

В этой параграфе мы изучим влияние других систем прав собственности на состояние экономики, а также результатов рыночной торговли правами собственности.

Заметим, прежде всего, что множество Парето-оптимальных состояний не зависит от распределения прав собственности. А поскольку величина цен экстерналий в равновесии с торговлей экстерналиями и ставки налогов Пигу определяются характеристиками соответствующего Парето-оптимального состояния, распределение прав собственности при реализации этого состояния как равновесия с налогами или равновесия с торговлей экстерналиями влияет лишь на величины трансфертов.

Рассмотрим квазилинейный вариант экономики с однородными экстерналиями, которые «производят» только предприятия и «потребляют» только потребители, проанализированной

10.10. Торговля квотами на однородные экстерналии

384

в Примере 48. Предпочтения описываются функциями полезности вида

jX	+ zi,
ui = vi xi, aj
J

а технологии — функциями издержек cj(yj, aj).

Предположим, что для каждого производителя установлена квота на производство экстерналий в размере a˜j . При этом задача производителя имеет следующий вид:

pyj − cj(yj, a˜j) → max

yj>0

Покажем, что если распределение квот произвольно, то равновесие с квотами не Паретооптимально.

Предположим, что (p, (x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯), a˜) — равновесие с квотами, a¯j int Aj , причем существуют по крайней мере два производителя, таких что

∂cj1 6= ∂cj2 . ∂aj1 ∂aj2

Тогда состояние ((x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯)) не является Парето-оптимальным. Мы покажем это, построив строгое Парето-улучшение в дифференциалах. Пусть daj — дифференциально малые изменения объемов экстерналий. Тогда при условии, что объемы выпуска первых l благ остаются неизменными, суммарные затраты (l + 1)-го блага изменяются на величину

X ∂cj

j J ∂aj daj.

Несовпадение предельных издержек производства экстерналий означает, что можно уменьшить суммарные затраты (l + 1)-го блага, не изменяя общий объем экстерналий, т. е. выбрав

P

daj так, что j J daj = 0. Строгое Парето-улучшение можно получить, распределив эту величину, например, поровну между всеми потребителями.

Таким образом, можно увеличить общественное благосостояние, перераспределяя квоты. Покажем, что такое (увеличивающее благосостояние) перераспределение можно получить на основе рыночной торговли квотами.

Будем предполагать, что производители могут продавать и покупать квоты по рыночной цене pa . Задача производителя приобретает следующий вид:

pyj − cj(yj, aj) + pa(˜aj − aj) → max .

yj>0,aj Aj

: Более формально определим равновесие с торговлей квотами (p, pa, (x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯), a˜) в данной экономике следующим образом:

3Набор (x¯i, z¯i) является решением задачи потребителя при ценах p и экстерналиях a¯ .

3Технология (y¯j, r¯j, a¯j) является решением задачи производителя при ценах p, pa .

3Выполнены балансы по обычным благам.

3Суммарное «производство» экстерналий равно общей квоте:

XX

aj =	a˜j.
j J	j J

Докажем сначала, что состояние равновесие с торговлей квотами приводит к состоянию экономики (x¯, y¯, a˜), для которого не существует Парето-улучшения при условии, что общий объем производства экстерналий остается постоянным, т. е. при условии, что

XX

aj =	a˜j.
j J	j J

10.10. Торговля квотами на однородные экстерналии

385

Такое состояние называют оптимумом второго ранга. Заметим, что (x¯, y¯, a˜) при этом является решением следующей задачи на условный максимум:

X		x	X			jX
W (x, y, a) =	vi		,	a	j	−	max
		i					cj(yj, aj) → x,y,a
i I		jX	j	J	X		J
X							X	(WC)
xi	= yj,					aj	= a˜j,
i I		J			j	J	j J

xi > 0, yj > 0, aj Aj.

Другими словами, верна следующая теорема:

Теорема 116:

Пусть (p, pa, (x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯), a˜) — равновесие с торговлей квотами в рассматриваемой квазилинейной экономике с однородными экстерналиями. Тогда (x¯, y¯, a˜) является решением задачи (WC).

Доказательство: Пусть (x0, y0, a0) — допустимое решение задачи (WC).

Поскольку x¯i — решение задачи потребителя, то набор x0i не может дать потребителю более высокую полезность при тех же ценах, т. е.

vi(x¯i, X a˜j) − px¯i > vi(x0i, X a˜j) − px0i.( )??

j J

j J

С другой стороны (y¯j, a¯j) — решение задачи производителя, поэтому (y0j, a0j) не может дать производителю более высокую прибыль при тех же ценах, т. е.

py¯j − cj(y¯j, a¯j) + pa(˜aj − a¯j) > py0j − cj(y0j, a0j) + pa(˜aj − a0j).( )

Суммируя неравенства (*) и (**) получим, с учетом балансов по обычным благам и ограниче-

PP

ния j J aj =

j J a˜j , что

v (x¯ , a˜ )

c (y¯ , a¯ )

v (x0, a˜ )

c (y0 , aˆ ).

X

X

j

X

j

>

Xi I

i

jX

j

−

X

j

i i

−

j j

i

j j

i

I

j

J

j

J

J

j J

Это означает, что W (x¯

, y¯

, a¯)

>

W (x0, y0, a0), т. е. (x¯, y¯, a¯) является решением задачи (

W

C).

Укажем на два следствия этой теоремы.

Теорема 117:

Пусть (p¯, (x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯), a˜) — равновесие с квотами в рассматриваемой квазилинейной экономике с однородными экстерналиями, а (pˇ, pˇa, (xˇ, zˇ), (yˇ, ˇr, aˇ), a˜) — равновесие с торговлей квотами в той же экономике. Тогда W (x¯, y¯, a¯) 6 W (xˇ, yˇ, aˇ).

Если, кроме того, a¯j int Aj , и хотя бы для двух производителей выполнено

∂cj1 (y¯j1 , a¯j1 )	6=	∂cj2 (y¯j2 , a¯j2 )	,	(♣)
∂aj1		∂aj2

то W (x¯, y¯, a¯) < W (xˇ, yˇ, aˇ).

Доказательство: Нестрогое неравенство W (xˇ, yˇ, aˇ) > W (x¯, y¯, a¯) является прямым следствием предыдущей теоремы.

Если выполнены дополнительные условия (♣), то, как было показано ранее, для равновесия с квотами существует Парето-улучшение, при котором суммарный объем экстерналий не меняется. Как известно, в квазилинейной экономике Парето-улучшение приводит к росту индекса благосостояния W (x, y, a). Таким образом, равенство W (xˇ, yˇ, aˇ) = W (x¯, y¯, a¯) невозможно, поскольку (xˇ, yˇ, aˇ) — решение задачи (WC), а указанное Парето-улучшение приводит к допустимому решению задачи (WC). Значит, неравенство строгое.

10.10. Торговля квотами на однородные экстерналии

386

Мы показали, что, даже если торговля квотами не приводит к Парето-оптимальному состоянию, то по крайней мере, она приводит к росту общественного благосостояния. Следующая теорема16 говорит о том, что при правильном выборе общего размера квот на экстерналии торговля квотами обеспечивает достижение Парето-оптимального состояния.

Теорема 118 ((«Теорема Мида»)):

Пусть (p, pa, (x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯), a˜) — равновесие с торговлей квотами в рассматриваемой квазилинейной экономике с однородными экстерналиями, а ((xˆ, zˆ), (yˆ, ˆr, aˆ)) — некоторый Парето-оптимум этой экономики.

Если

XX

a˜j =	aˆj,
j J	j J

то ((x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯)) — Парето-оптимальное состояние экономики.

Доказательство: Состояние (x¯, y¯, a¯) является решением задачи (WC), а (xˆ, yˆ, aˆ) — допустимое решение этой же задачи. Поэтому

W (xˆ, yˆ, aˆ) 6 W (x¯, y¯, a¯).

С другой стороны, поскольку ((xˆ, zˆ), (yˆ, ˆr, aˆ)) — Парето-оптимум, то

W (xˆ, yˆ, aˆ) > W (x¯, y¯, a¯).

Значит, (x¯, y¯, a¯), как и (xˆ, yˆ, aˆ), является решением задачи (W ), и, следовательно, ((x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯)) — Парето-оптимальное состояние экономики.

Замечание: Если (p, pa, (x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯), a˜) — Парето-оптимальное равновесие с торговлей квотами в рассматриваемой квазилинейной экономике с однородными экстерналиями. Тогда если

налоги на экстерналии tj для всех производителей выбрать равными pa , то (p, (x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯), {tj}) — равновесие с налогами. Верно и обратное утверждение:

Предположим, что (p, (x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯), {tj}) — равновесие с налогами Пигу, причем, tj = t0 ., т. е. ставки налога одинаковы для всех производителей17. Тогда (p, t0, (x¯, z¯), (y¯, ¯r, a¯), a˜) — равновесие с торговлей квотами при любых квотах a˜ , таких что.

XX

a˜j =	a¯j.
j J	j J

Аналогичная связь существует и между равновесием с торговлей квотами и равновесием с торговлей экстерналиями. Читателю предлагается самостоятельно сформулировать соответствующие утверждения.

10.10.1Задачи

/ 484. Рассмотрим квазилинейную экономику с двумя благами и однородными экстерналиями. Первое благо производится из второго по технологиям, описываемым функциями издержек вида

cj(yj, aj) = yj2 + aj −	j + n		2
			(j = 1, . . . , n),
	2n

16J. E. Meade: External Economies and Diseconomies in a Competitive Situation, Economic Journal 62 (1952): 54–67.

17В ситуации, когда равновесие с налогами Пигу внутреннее по объемам экстерналий и функции издержек дифференцируемы, налоги Пигу у всех производителей должны совпадать.