2.4. Представление предпочтений функцией полезности

32

u(x1)1l < u(x2)1l. Но по строгой монотонности предпочтений u(x1)1l < u(x2)1l тогда и только тогда, когда u(x1) > u(x2).

Функция полезности u(x) является строго монотонной. Пусть x1 > x2 и x1 6= x2 . Тогда из строгой монотонности предпочтений x1 x2 . Отсюда следует, что u(x1)1l u(x2)1l. Поэтому u(x1) > u(x2).

Докажем теперь непрерывность функции полезности u(·). Для этого рассмотрим последовательность допустимых наборов {xn}∞n=1 такую, что limn→∞ xn = x. Нам надо показать, что limn→∞ u(xn) = u(x).

Зафиксируем некоторое число ε > 0. Выберем u и u¯ такие, что для любого вектора y, такого что ky − xk 6 ε, выполнено

u1l 6 y 6 u¯1l.

(Например, можно взять u = mink xk −ε и u¯ = maxk xk +ε.) При этом для любого допустимого набора y, удовлетворяющего условию ky − xk 6 ε, имеем u 6 u(y) 6 u¯, поскольку по строгой монотонности предпочтений max{u, 0}1l 4 y 4 u¯1l, и u(a1l) = a для всех a > 0. Найдется достаточно большое число N , такое что для последовательности {xn} при n > N выполнено kxn − xk 6 ε. При этом u(xn) начиная с номера N попадает в интервал [u, u¯].

Так как бесконечная последовательность {u(xn)} начиная с номера N находится в пределах компакта [u, u¯], то она должна иметь точки сгущения. Мы хотим показать, что существует всего одна точка сгущения, и это u(x).

Покажем, что любая сходящаяся подпоследовательность {u(xnk )}∞k=1 из последовательности {u(xn)} сходится к одному и тому же числу u(x). Предположим, что это не так, и данная подпоследовательность сходится к u 6= u(x). Пусть, без потери общности, u > u(x). Возьмем некоторое число uˆ, такое что u > uˆ > u(x). По свойству строгой монотонности имеем, что uˆ1l u(x)1l. Поскольку {u(xnk )}∞k=1 сходится к u , то существует M такое, что при k > M выполнено u(xnk ) > uˆ. По определению функции полезности xnk u(xnk )1l и, кроме того, по строгой монотонности u(xnk )1l uˆ1l (для всех k > M ), т. е. xnk u(xnk )1l uˆ1l. Так как предпочтения непрерывны, то x < uˆ1l, но x u(x)1l, поэтому u(x)1l < uˆ1l. Однако выше было показано, что uˆ1l u(x)1l. Получили противоречие и, тем самым, доказали непрерывность построенной функции полезности.

Как видно из приведенных выше вариантов теоремы существования функции полезности, требование непрерывности предпочтений достаточно сильно, так как помимо существования функции полезности мы получаем еще и дополнительное свойство — ее непрерывность. Но, с другой стороны, непрерывность функции полезности — это свойство, значение которого трудно переоценить. Его наличие автоматически25 дает нам существование функции спроса потребителя в большинстве задач, которые будут нас интересовать.

Замечание: Теоремы 9 и 10 доказывают, что если предпочтения непрерывны, то существует представляющая их непрерывная функция полезности. Несложно доказать и обратное: если функция полезности, представляющая предпочтения, непрерывна, то предпочтения являются непрерывными (см. задачу 40)

2.4.1Задачи

В следующих нескольких задачах не предполагается, что предпочтения являются неоклассическими (см. пояснения в тексте параграфа).

/ 25. Алина Александровна Алексашенко предложила следующее определение функции полезности: «Будем называть u(·): X → R функцией полезности, соответствующей предпочтениям

25Здесь, конечно, подразумевается использование теоремы Вейерштрасса.

2.4. Представление предпочтений функцией полезности

33

h, <, i, если для всякой пары альтернатив x, y X соотношение x y выполнено тогда и только тогда, когда u(x) > u(y)». Будет ли оно эквивалентно определению, приведенному в тексте? Ответ аргументируйте.

/ 26. Пусть допустимое множество альтернатив состоит из 4 альтернатив X = {a, b, c, d}. На этом множестве задано следующее нестрогое отношение предпочтения: < = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, d), (b, d), (d, c), (b, a), (a, c), (b, c)}. Возможно ли построить функцию полезности, представляющую данные предпочтения? Если нет, то почему? Если да, то постройте ее.

				Таблица 2.1.
		a	b	c		a	b	c	d
					a
	a
					b
	b
					c
	c				d

/27. Для каждой из частей Таблицы 2.1 рассмотрите изображенные предпочтения, предполагая, что < = . Ответьте на вопрос предыдущей задачи.

/28. Пусть X состоит из n-мерных векторов с неотрицательными компонентами, а нестрогое отношение предпочтения задано следующим образом: x < y, если все компоненты вектора x не меньше соответствующих компонент вектора y. Существует ли функция полезности, представляющая эти предпочтения?

/29. Рассмотрите предпочтения, заданные на R2++ :

(a)	(x1, x2) < (y1		, y2) (x1 − x2)(y1 − y2) > 0;
(b) (x1		, x2) < (y1	x1	x2
			, y2) y1	> y2 ;
(c)	(x1, x2) < (y1		, y2) x1x2 > y1y2 ;
(d) (x1		, x2) < (y1	, y2) min{x1 + x2, y1 + y2} > 0;

(e)(x1, x2) < (y1, y2) min{x1, x2} − min{y1, y2} > 0;

(f)(x1, x2) < (y1, y2) x1x2 > min{y1, y2}.

Какие из них представимы функцией полезности? Попытайтесь записать такую функцию полезности в явном виде.

/30. Покажите, что суперпозиция возрастающей функции и функции полезности, представляющей некоторые предпочтения, также является функцией полезности, представляющей эти предпочтения. Приведите пример, показывающий, что требование возрастания не может быть ослаблено до неубывания.

/31. Какие из нижеприведенных функций могут подходят в качестве преобразования, о котором речь идет в предыдущей задаче, если область значений исходной функции полезности —

R+ ?	√x; (d) f(x) = ex .
(a) f(x) = x2 ; (b) f(x) = x3 + x; (c) f(x) =

/32. Докажите, что если u(·) и u˜(·) — две функции полезности, представляющие одни и те же предпочтения, то существует возрастающая функция f(·), такая что u˜(·) является суперпозицией u(·) и f(·).

/33. Для каких из нижеприведенных множеств X можно утверждать, что произвольные неоклассические предпочтения (не обязательно непрерывные), заданные на множестве X могут быть представлены некоторой функцией полезности?

(a)X = { x Rn | xi — целые числа };

(b)X = { x Rn | 0 6 xi 6 1 };

(c)X = Rn ;

(d) X = Rn+ ;