6.2. Характеристика поведения потребителей

224

по Парето. Заметим, что некоторые zi при этом могут оказаться отрицательными, поэтому вторая часть утверждения неприменима к экономике EQ+ .

В Парето-оптимуме квазилинейной экономики индикатор благосостояния достигает мак-

ˆ	ˆ
симума. Пусть W	— это максимальное значение. Разность между W и уровнем индикатора

W (S) в некотором состоянии S называется чистыми потерями благосостояния:

ˆ −

DL = W W (S).

Сравнение уровней благосостояния в анализируемом состоянии и в идеальной ситуации позволяет количественно оценить, насколько далеко данное неэффективное состояние от границы Парето, и сколько экономика в целом теряет вследствие неэффективности.

6.2Характеристика поведения потребителей в квазилинейных экономиках

Вдальнейшем сравниваются потребительские наборы, которые оказываются рыночными равновесиями при различных организациях рынков (совершенная конкуренция, монополия, олигополия и т. д.). При этом всюду предполагается, что потребители рассматривают рыночные цены как данные. Другими словами, определяя предпочитаемый потребительский набор (xi, zi) при рыночных ценах благ (p, 1), потребитель в экономике EQ решает следующую задачу:

max
vi(xi1, . . . , xil) + zi → xi,zi	(CQ)
pxi + zi 6 βi,
xik > 0.

Соответствующая задача в экономике EQ+ включает дополнительное ограничение zi > 0. (Будем обозначать эту задачу через (CQ+ ).) Здесь через βi обозначен доход потребителя.

Имеют место следующие результаты, характеризующие оптимальный выбор потребителя.

Теорема 81:

Предположим, что (x¯i, z¯i) — решение задачи потребителя (CQ) при ценах p. Тогда x¯i является решением следующей задачи:

vi(xi1, . . . , xil) − pxi → max	(,)
xik > 0.

И обратно, пусть x¯i — решение задачи (,), тогда (x¯i, βi −px¯i) — решение задачи (CQ) при ценах p.

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Это означает, что спрос потребителя на первые l благ не зависит от его дохода. Аналог этого результата верен и в случае задачи (CQ+ ), когда допустимые потребительские наборы удовлетворяют дополнительному условию zi > 0, что показывает следующая теорема.

Теорема 82:

Предположим, что vi(·) — вогнутая функция, а (x¯i, z¯i), — решение задачи потребителя (CQ+ ) при ценах p (соответствующей экономике EQ+ ), такое что z¯i > 0. Тогда x¯i является решением следующей задачи

vi(xi1, . . . , xil) − pxi → max
xik > 0 k	(~)

∂xik

6.2.

Характеристика поведения потребителей

225

И

обратно, пусть x¯

i

— решение задачи (

~

), и β

i 6

px¯

i

, тогда (x¯

i

, β

i −

px¯

i

) — решение

+

задачи (CQ ) при ценах p и доходе βi .

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Предположим дополнительно, что vi(·) — непрерывно дифференцируемая функция. Тогда для решения задачи оптимального выбора потребителя (CQ) (или (CQ+ ) при zi > 0) должно выполняться следующее условие

rvi(x¯i) 6 p,

причем если x¯ik > 0, то

∂vi(x¯i)

∂xik

= pk.

Таким образом, если решение задачи потребителя внутреннее (x¯i > 0) и, кроме того, zi > 0 в случае задачи (CQ+ )), то

rvi(x¯i) = p.

Другими словами, градиент функции vi(·), вычисленный для набора благ, совпадающего с рыночным спросом потребителя, равен вектору рыночных цен этих благ. Таким образом, градиент функции vi(·) представляет собой обратную функцию спроса pi(xi) потребителя i — вектор цен первых l благ, при котором потребитель предъявляет спрос именно на этот набор благ.

В классе квазилинейных экономик важную роль играет случай когда предпочтения всех потребителей, помимо свойства квазилинейности обладают свойством сепарабельности, т. е. функции полезности таких потребителей представимы в виде

ui(xi1, . . . , xil, zi) = vi(xi1, . . . , xil) + zi =	kX
	vik(xik) + zi.
	K

Если функция полезности i-го потребителя имеет такой вид, то задачу потребителя (CQ) можно разложить на l задач — по одной на каждое благо кроме (l + 1)-го:

max	(CQk)
vik(xik) − pkxik → xik>0
Теорема 83:
Если x¯i — решение задачи потребителя (CQ) при ценах p, то x¯ik	— решение задачи

(CQk) при цене pk . Обратно, если x¯ik — решение задачи (CQk) при цене pk при k = 1, . . . , l, то x¯i = (¯xi1, . . . , x¯il) — решение задачи (CQ) при p = (p1, . . . , pl).

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Из данной теоремы следует, что функция спроса на k -е благо зависит только от цены на это благо, т. е. имеет вид xik(pk).

В этом случае (при условии дифференцируемости) необходимое условие оптимальности потребительского набора (x¯i, z¯i ) (как в случае экономики EQ , так и в случае EQ+ при zi>0)

имеет вид:

∂vik(¯xik) 6 pk, ∂xik

причем если x¯ik > 0, то

∂vik(¯xik) = pk.

Это условие является также и достаточным, если vik(·) — вогнутые функции.

∂xik

6.2. Характеристика поведения потребителей

226

Из Теоремы 83 следует, что, вместо исходной задачи мы можем использовать для анализа спроса на k -е благо задачу (CQk). Мы будем предполагать, что функция vik(xik) дважды дифференцируема, имеет положительную производную и строго вогнута. Строгая вогнутость гарантирует, в числе прочего, что если решение задачи (CQk) существует, то оно единственно. Очевидно, что это решение есть значение функции спроса рассматриваемого потребителя на k -е благо при данном pk , xik(pk).

Рассмотрим условия существования решения задачи (CQk). (Заметим, что из Теоремы 83 следует, что решение исходной задачи (CQ) в случае сепарабельной функции полезности существует тогда и только тогда, когда существуют решения задач (CQk) при любом k = 1, . . . , l.)

Введем обозначения5

		p¯ =		sup	∂vik(xik)
					∂xik
	и			xik>0
					∂vik(xik)
	p =			inf		.
				xik>0	∂xik

Легко видеть, что при любом pk , таком что p < pk < p¯, решение задачи (CQk) существует. Действительно в силу непрерывности функции ∂vik(xik)/∂xik , существует xik , такое что

∂vik(xik) = pk. ∂xk

Это xik должно быть решением задачи потребителя при ценах pk .

Кроме того, при ценах pk 6 p задача (CQk) не имеет решения. Покажем это. Пусть при pk 6 p существует решение xik(pk) > 0. Тогда должно выполняться необходимое условие оптимума (условие первого порядка)

∂vik(xik(pk)) 6 pk.

Откуда в силу того, что pk 6 p имеем

∂vik(xik(pk))

6 inf

∂vik(xik)

∂xik

xik>0

∂xik

Рассмотрим теперь значение функции ∂vik(xik)/∂xik

в точке xik(pk) + ε. В силу убывания

этой функции имеем

∂vik(xik(pk) + ε)

<

∂vik(xik(pk))

∂xik

∂xik

при любом ε > 0. Откуда получаем

∂vik(xik(pk) + ε)

<

∂vik(xik(pk))

6 inf

∂vik(xik)

= p.

∂xik

∂xik

xik>0

∂xik

Так как xik(pk) + ε > 0, мы получили противоречие с определением инфимума. Тем самым, предположив существование решения задачи (CQk) при pk 6 p мы пришли к противоречию, а

значит полностью обосновали то, что при pk 6 p задача (CQk) не имеет решения.

Покажем теперь, что xik(pk) → 0 при pk → ∞. Рассмотрим для этого два случая: p¯ = ∞ и p¯ < ∞.

Пусть p¯ = ∞. При pk > p, по доказанному ранее решение xik(pk) задачи (CQk) существует,

причем оно будет внутренним (xik(pk) > 0), так как любое значение pk > p по непрерывно-

сти функции ∂vik(xik)/∂xik может быть реализовано при соответствующем подборе xik . Это означает, что условие первого порядка в этой задаче выполнено как равенство при pk > p:

∂vik(xik(pk)) = pk, ∂xk

5Здесь p¯ — это так называемая цена «удушения» спроса.

Pl k=1

ских

∂xik

∂vik(xniks )

6.2. Характеристика поведения потребителей

227

и оно определяет функцию спроса xik(pk) при pk > p.

Рассмотрим теперь последовательность {pnk }, такую что

lim pn = ∞.

n→∞ k

Выделим из последовательности {pnk } возрастающую подпоследовательность {pnks }. На основании подпоследовательности цен {pnks } построим соответствующую ей последовательность объемов спроса {xniks } по правилу

= pnks .

Так как lims→∞ pnks = ∞, то в силу строгой вогнутости функции полезности имеем, что последовательность объемов спроса {xniks } убывает, причем xniks+1 < xniks . Как мы отметили выше при pk > p решение задачи (CQk) является внутренним и, таким образом, xniks > 0 ns , но каждая

убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел. Пусть x˜ik — предел этой последовательности объемов спроса и x˜ik > 0. Тогда, как нетрудно заметить, подпоследовательность {pnks } имеет (в силу непрерывности ∂vik(xik)/∂xik ) конечный предел ∂vik(˜xik)/∂xik , что противоречит ее построению. Получив противоречие, мы доказали, тем самым, что x˜ik = 0 и тем самым, что xik(pk) → 0 при pk → ∞.

Пусть теперь p¯ < ∞. Тогда в силу убывания функции ∂vik(xik)/∂xik имеет место равенство

p¯ = lim	∂vik(xik)	= max	∂vik(xik)	.
	∂xik
xik→0		xik>0	∂xik

Тогда при любой цене pk > p¯ выполнено

∂vik(0) 6 pk. ∂xik

Отсюда следует, что при pk > p¯ спрос на данное благо равен нулю, т. е. xik(pk) = 0, поскольку

всилу вогнутости целевой функции это необходимое условие оптимальности является также и достаточным. Отметим, что так как функция полезности в задаче (CQk) является строго вогнутой, то xik(pk) = 0 — единственное решение этой задачи. Тем самым мы доказали, что

вобщем случае xik(pk) → 0 при pk → ∞.

6.2.1Потребительский излишек: определение, связь с прямой и обратной функциями спроса

Пользуясь выведенными выше характеристиками потребительского выбора, проанализируем связь оценки vi(xi) с площадью под кривой спроса потребителя.

Пусть xi = xi(p), т. е. является спросом потребителя при ценах p. Величина

CSi = vi(xi1, . . . , xil) − pxi − vi(0)

называется потребительским излишком. В дальнейшем без потери общности будем предполагать, что vi(0) = 0.

Мы рассмотрим случай квазилинейных сепарабельных функций полезности, т. е. vi(xi1, . . . , xil) = vik(xik). Потребительский излишек при этом получается суммированием потребительизлишков, получаемых потребителем на рынках отдельных благ:

l	l
X	X
CSi = (vik(xik) − pkxik) =	CSik,
k=1	k=1

где CSik = vik(xik) − pkxik .

6.2. Характеристика поведения потребителей

228

pk

CS

pik(·)

xik

Рис. 6.4. Излишек потребителя

В этом случае геометрически излишек потребителя на рынке k-го блага равен площади фигуры, лежащей под графиком функции обратного спроса выше цены этого блага (см. Рис. 6.4).

Поясним это. Рассмотрим потребительский излишек как функцию цен:

l	l
X	X
CSi(p) = [vik(xik(pk)) − pkxik(pk)] =	CSik(pk).
k=1	k=1

Функции CSik(pk) = vik(xik(pk)) − pkxik(pk) определены при всех ценах pk > p и, кроме того, не могут быть отрицательными6.

Как было доказано, xik(pk) → 0 при pk → ∞, откуда vik(xik(pk)) → 0 при pk → ∞. Поскольку pkxik(pk) 6 vik(xik(pk)), то при росте цены блага расходы на его приобретение стремятся к нулю, т. е. pkxik(pk) → 0 при pk → ∞.

Функция CSi(p) является дифференцируемой, если функция полезности дважды дифференцируема. Дифференцируя ее, получаем (с учетом условий первого порядка для задачи потребителя), что при xik(pk) > 0

xik(pk) = −	∂CSi(p)
	∂pk

= −∂CSik(pk). ∂pk

(Читателю предоставляется проверить этот факт самостоятельно.)

Если xik(t) > 0 при всех t > pk , то проинтегрировав обе части этого дифференциального уравнения, получим

∞ ∂CSik(t)					∞
− Zpk			dt = Zpk			xik(t)dt.
	∂t
Откуда						∞ x
	lim CS			(t) =				(t)dt,
CSik(p) − t→∞			ik		Zp		ik

что позволяет выразить излишек потребителя i от потребления блага k в виде7

	ik		Zp	∞	ik
CS		(p) =		xik(t)dt + t→∞		(t).
				lim CS

6Так как xik = 0 является допустимым в задаче C1k(pk), то CSik(pk) = vik(xik(pk)) − pkxik(pk) > vik(0) −

pk ·70 = 0, и, тем самым, CSik(pk) > 0.
Заметим, что если существует цена p¯k , такая что xk(t) > 0 при всех t < p¯k и xk(t) = 0 при всех t > p¯k ,
то при pk 6 p¯k
p¯k ∂CSik(t)		p¯k
− Zpk	∂t	dt = Zpk	xik(t)dt.