5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики

185

границы Парето оценки сверху и снизу. Кроме того, если сильная и слабая границы Парето совпадают, то задача (Pα) полностью характеризует границу Парето. Следующая теорема предлагает возможные условия, при которых такое совпадение имеет место.

Теорема 66:

(1) Если у каждого потребителя Xi = Rl+ , предпочтения строго монотонны и непрерывны, то сильная граница Парето совпадает со слабой: P = WP .

(2) Если предпочтения каждого потребителя полустрого монотонны9 и непрерывны, то все точки сильной границы Парето, компоненты которых строго положительны, также принадлежат и слабой границе Парето.

Доказательство: (1) Поскольку P WP , то достаточно доказать только, что WP P . Пусть это не так, т. е. существует допустимое состояние (xˇ, yˇ), принадлежащее слабой границе Парето, но не сильной.

Поскольку (xˇ, yˇ) не принадлежит границе Парето, то существует другое допустимое состо-

яние (x˜, y˜), такое что x˜i <i xˇi i I и i0 I : x˜i0 i0 xˇi0 .

Из строгой монотонности следует, что xˇi0 <i0 0, поэтому x˜i0 не может быть нулевым вектором. Следовательно, потребитель i0 потребляет хотя бы одно благо k в положительном количестве: x˜i0k > 0. Пусть ek — k-й орт (вектор, где на k-м месте стоит 1, а на остальных местах — 0). Рассмотрим последовательность перераспределений (N = 1, 2, . . .)

	1
x˙ i0 (N) = x˜i0 −				ek,
		N
x˙ i(N) = x˜i +	1		ek i 6= i0.
	N(N − 1)

По свойству строгой монотонности, имеем x˙ i(N) i x˜i(N) i 6= i0 N . Кроме того, для по-

	¯		¯
требителя i0 найдется достаточно большой номер N , такой что набор			x˙ i0 (N) допустим и (по
¯	xˇi0 .	¯
свойству непрерывности предпочтений) x˙ i0 (N) i0

Таким образом, мы нашли допустимое распределение (x˙ i0 (N), y˜) которое строго доминирует допустимое распределение (xˇ, yˇ), чего быть не может, так (xˇ, yˇ) принадлежит слабой

границе Парето.
(2) Доказательство второй части теоремы оставляется в качестве упражнения.

5.4.2Дифференциальная характеристика границы Парето

Переформулируя определение, (xˆ, yˆ) является Парето-оптимумом, если полезность ни одного из потребителей нельзя увеличить, не уменьшая полезность остальных потребителей (при том ограничении, что рассматриваются только допустимые состояния). Такая формулировка подсказывает следующую характеристику Парето-оптимальных состояний: для того, чтобы состояние (xˆ, yˆ) было Парето-оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы оно являлось решением следующих оптимизационных задач для всех i0 {1, . . . , m}:

max
ui0 (xi0 ) → (x,y)
ui(xi)>uˆi = ui(xˆi), i I, i 6= i0,
xi Xi, i I,	(Pi0 )
gj(yj)>0, j J,

XX

(xik − ωik) =	yjk, k K.
i I	j J

9Предпочтения называются полустрого монотонными, если они монотонны и из x > y следует, что x y.

5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики

186

Рассмотрим одну из таких задач для произвольного потребителя i0 и в предположении, что состояние экономики (xˆ, yˆ) внутреннее в том смысле, что xˆi int Xi i I , применим к ней теорему Куна — Таккера (см. Приложение), предполагая, что функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Соответствующий лагранжиан имеет вид (с точностью до постоянных слагаемых)

X	X		kX	X	X
L =	λiui(xi) +	µjgj(yj) +		σk(	yjk − (xik − ωik)).
i I	j	J	K	j J	i I

По теореме Джона найдутся множители Лагранжа λi > 0 (i I), µj > 0 (j J) и σk (k K), такие что в точке (xˆ, yˆ) производные функции Лагранжа по всем xik и yjk равны нулю:

	∂L		= λi	∂ui(xˆi)		− σk = 0, i, k,
	∂xik			∂xik
	∂L		= µj	∂gj(yˆj)		+ σk = 0, j, k.
∂yjk				∂yjk

Предположим, что в рассматриваемом состоянии (xˆ, yˆ) градиенты всех функций полезности и производственных функций не равны нулю. Другими словами мы предполагаем, что для каждого потребителя i найдется благо k, такое что ∂ui(xˆi)/∂xik 6= 0, и что для каждого производителя j найдется благо k, такое что ∂gj(yˆj)/∂yjk 6= 0. Это предположение гарантирует выполнение условий регулярности теоремы Куна — Таккера.

Для проверки выполнения условий регулярности нужно убедиться, что градиенты всех активных ограничений (т. е. выполняющихся в рассматриваемом Парето-оптимальном состоянии как равенства) линейно независимы. Для этого достаточно доказать, что градиенты всех, а не только активных, ограничений линейно независимы. Это проводится проверкой ранга матрицы градиентов ограничений: записав структуру матрицы, следует убедиться что если линейная комбинация ее строк равна нулю, то все коэффициенты линейной комбинации нулевые. Мы здесь опускаем эту проверку.

Теорема Куна — Таккера утверждает, что можно выбрать множитель Лагранжа λi0 равным 1.

Из λi0 = 1, и из того, что существует благо k0 , такое что ∂ui0 (xˆi0 )/∂xi0k0 6= 0, следует что σk0 > 0. Следовательно, как несложно проверить, из условий первого порядка следует, что все

λi > 0 (i I) и µj > 0 (j J).

Отсюда, исключая коэффициенты λi и µj , получим дифференциальную характеристику внутренних (xˆi int Xi i I ) Парето-оптимальных состояний:

∂ui(xˆi)/∂xik = σk , ∂ui(xˆi)/∂xik0 σk0

∂gj(yˆj)/∂yjk = σk . ∂gj(yˆj)/∂yjk0 σk0

Она означает совпадение предельных норм замещения (трансформации) любых двух товаров k, k0 (σk0 > 0) для всех экономических субъектов. Так на Рис. 5.3 кривые безразличия двух потребителей касаются друг друга.

5.4.3Задачи

/ 284. Для экономики обмена двух потребителей со строго монотонными, строго вогнутыми функциями полезности, заданными на Rl+ , и строго положительными общесистемными запасами благ, доказать, что Парето-граница является связной кривой, соединяющей два угла