7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство

241

мы чаще всего будем пользоваться оператором E, а не соответствующей суммой, поскольку это упрощает обозначения и позволяет формулировать и доказывать утверждения в более общей форме. Что именно спрятано за оператором E имеет значение в основном тогда, когда требуется брать производные от U(·).

Взаключение этого параграфа укажем на на то, что предположение (A100 ) содержательно далеко не всегда оправдано. Во многих реальных ситуациях польза от блага зависит от того,

вкаком состоянии мира происходит потребление этого блага. Можно, например, рассмотреть два состояния — «солнечная погода» и «дождливая погода» и два блага — солнцезащитные очки и зонтик. Ясно, что наличие очков в дождливую погоду не приносит никакой пользы потребителю. То же верно и для зонтика в ясную погоду. Решение этой проблемы состоит в том, чтобы рассматривать лотереи не на самих по себе потребительских благах, а на тех «услугах», которые они оказывают потребителю. В рассматриваемом примере следует перейти от набора благ (количество солнцезащитных очков, количество зонтиков) к набору услуг, которые они оказывают: (услуга защиты глаз от солнца, услуга защиты от дождя).

Вобщем случае, пусть есть функция zs(x), ставящая в соответствие потребительскому набору x в состоянии мира s оказываемые этим набором потребителю услуги z. Предполагается, что польза от услуг уже не связана с состоянием мира. В этом случае можно применить рассматриваемую теорию к лотереям, заданным на z, а потом построить на этой основе функцию полезности, заданную на наборах благ x. Если u0(z) — элементарная функция полезности, заданная на «услугах» благ, то us(x) = u0(zs(x)) — соответствующая элементарная функция полезности, заданная на благах. Заметьте, что она зависит от состояния мира. При этом функция полезности Неймана — Моргенштерна принимает следующий более общий вид:

X

U = µsus(xs).

s S

7.2Доказательство представимости предпочтений на множестве простых лотерей линейной функцией полезности

Вэтом параграфе нам предстоит доказать Теорему 84. Для упрощения выкладок понадобятся некоторые свойства операции выпуклой комбинации лотерей. Доказательство их достаточно очевидно.

Теорема 85:

Операция выпуклой комбинации лотерей на множестве всех простых лотерей S обладает следующими свойствами:

úp 1 q = p,

úp 0 q = q,

úp α q = q (1 − α) p,

ú (p β q) α (p γ q) = p (αβ + (1 − α)γ) q.

Функция Неймана — Моргенштерна является линейной по вероятностям. Дадим общее определение линейности функции.

Определение 56:

Будем называть функцию полезности U(·), представляющую предпочтения на лотереях, линейной, если для произвольных лотерей p, q S и числа α [0, 1] верно соотношение

U(p α q) = αU(p) + (1 − α)U(q).

7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство

242

Докажем, что линейность функции полезности эквивалентна тому, что это функция Неймана — Моргенштерна.

Теорема 86:

Если U(·) является линейной функцией полезности, представляющей предпочтения на множестве лотерей S , тогда и только тогда, когда она имеет вид Неймана — Моргенштерна.

Доказательство: Обозначим через δ(x) лотерею, в которой x является единственным исходом, т. е.

Supp(δ(x)) = {x}.

Определим функцию u(·) на множестве элементарных исходов X по формуле

			u(x) = U(δ(x)).
Тогда U(p) = x Supp(p) p(x)u(x). Докажем это утверждение по индукции.
Пусть утверждение доказано для лотерей с k					исходами, и пусть p — лотерея с k + 1
P					Supp(p). Тогда
исходом. Пусть x0 — один из этих исходов, т. е. x0
		p = δ(x0) p(x0) q,
где q — лотерея с Supp(q) = Supp(p)\x0 и q(x) = p(x)/(1 − p(x0)) x Supp(q).
В силу линейности функции U(·)
U(δ(x0) p(x0) q) = p(x0)u(x0) + (1 − p(x0)U(q).
В силу предположения индукции
U(q) =	q(x)u(x) =				p(x)/(1	−		p(x0))u(x).
Supp(q)			x	Supp(q)
x X				X
В итоге получим требуемый результат			p(x0))						p(x0))u(x)
U(p) = (p(x0)u(x0) + (1		−			p(x)/(1		−				=
				X

x Supp(q)

=	X p(x)u(x).
	x Supp(p)
Доказательство обратного достаточно очевидно.

Следующая теорема является обратной к той, которую мы хотим доказать.

Теорема 87:

Если предпочтения на множестве лотерей представимы линейной функцией полезности U(·), то эти предпочтения удовлетворяют свойствам (A1)-(A3).

Доказательство: (A1) Свойство (A1) очевидно.

(A2) (независимость от посторонних альтернатив) Пусть p q. Тогда U(p) > U(q).

Пусть r — произвольная лотерея, α — число, 0 < α 6 1. Тогда

U(p α r) = αU(p) + (1 − α)U(r) > > αU(q) + (1 − α)U(r) = U(q α r).

7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство

243

Поэтому p α r q α r.

(A3) (аксиома исчерпания Архимеда) Пусть p q r, то есть

U(p) > U(q) > U(r).

Тогда если

α> U(q) − U(r) , U(p) − U(r)

то α(U(p) − U(r)) > U(q) − U(r), откуда по свойству линейности p α r q. Аналогично, если

β< U(q) − U(r) , U(p) − U(r)

то q p β r.

Если предпочтения участника на лотереях удовлетворяют аксиомам (A1)-(A3), то можно подобрать линейную функцию полезности, которая представляет предпочтения этого участника, притом такая линейная функция полезности единственна. Ниже мы докажем это3, используя следующее вспомогательное предположение (теорема верна и без этого предположения4):

(A4) Множество S содержит наихудший w и наилучший b элементы:

w < p < b p S.

Для доказательства этого докажем ряд утверждений. Всюду предполагается, что выполнены свойства (A1)-(A4).

В случае, когда b w, все лотереи из множества S эквивалентны и построение функции полезности с нужными свойствами не вызывает труда:

U(p) = C,

где C — произвольное число. (Понятно, что константа — линейная функция.) Поэтому в дальнейшем будем считать, что w b.

Теорема 88:

Для любой пары лотерей p, q таких что p q, и пары чисел α, β [0, 1] условие

p β q p α q

выполняется тогда и только тогда, когда

β > α.

Доказательство: Докажем сначала, что из β > α следует p β q p α q. В случае α 6= 0 рассмотрим лотерею r = p αβ q. Для нее выполнено

r β q = (p αβ q) β q = p αβ β q = p α q.

3Эти доказательства можно сделать более элегантными, если предположить конечность множества X .

4См. напр. P. C. Fishburn: Utility Theory for Decision Making, John Wiley & Sons, 1970 (рус. пер. П. Фишбёрн: Теория полезности для принятия решений, М.: Наука, 1978). Ниже предлагается доказать это утверждение самостоятельно в виде серии утверждений.

7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство

244

Так как p q, то по аксиоме (A2) при αβ (0, 1] выполнено

p = p αβ p p αβ q = r.

Условие p r при β (0, 1] позволяет еще раз применить (A2):

p β q r β q,

откуда получаем p β q p α q.

В предыдущем доказательстве нам требовалось, чтобы αβ 6= 0. В случае α = 0 соотношение p β q p α q выполнено, так как

p α q = p 0 q = q = q β q

и, кроме того, по (A2) имеем q β q p β q.

Докажем обратное. Пусть для некоторых α и β выполнено p α q p β q, но при этом α > β . Если α > β , то по только что доказанному p α q p β q, что противоречит асимметричности строгого отношения предпочтения. Если же α = β , то p α q = p β q, что противоречит нерефлексивности отношения . Таким образом, утверждение доказано.

Будем обозначать через f(α) выпуклую комбинацией лучшей и худшей лотерей с коэффициентом α [0, 1], т. е.

f(α) = b α w.

Обозначим множество таких лотерей через f([0, 1]). Напомним, что мы рассматриваем только случай b w. Из определения функции f(·) следует, что она задает взаимооднозначное соответствие между отрезком [0, 1] и множеством f([0, 1]), поскольку при α 6= β выполнено f(α) 6= f(β). Следующее утверждение показывает, что на основании функции f(·) можно построить функцию полезности.

Теорема 89:

Для любой лотереи p из S найдется единственное число U(p) [0, 1] такое, что справедливо f(U(p)) p. Функция U(·) является функцией полезности, представляющей данные предпочтения.

Доказательство: Для любой лотереи p S нам нужно установить, что существует эквивалентная ей лотерея из f([0, 1]).

Когда p b либо p w доказательство существования числа U(p) тривиально: оно равно 1 и 0 соответственно.

Рассмотрим случай w p b.

Обозначим множество чисел, соответствующих лотереям из f ([0, 1]), которые лучше p, через A+ :

A+ = α [0, 1] p f(α) .

Аналогично множество чисел, соответствующих лотереям из f ([0, 1]), которые хуже чем p,

обозначим A− :

A− = α [0, 1] f(α) p .

Эти два множества непусты, так как 1 A+ и 0 A− .

Так как множества A+ , A− , непусты и ограничены, то существуют числа

α+ = inf A+, α− = sup A−.

7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство

245

Для этих чисел справедливо соотношение α− 6 α+ ; в противном случае нашелся бы общий элемент α A− , α A+ , что противоречит нерефлексивности .

Покажем, что f(α+) 4 p 4 f(α−), т. е. α+ / A+ и α− / A− . Предположим противное. Пусть, например, w p f(α+). В таком случае в силу (A3) существует γ > 0, такое что для лотереи w γ f(α+) справедливо соотношение

w γ f(α+) p.

Поскольку

w γ f(α+) = w γ (b α+ w) = b α+(1 − γ) w = f(α+(1 − γ)),

то это означает, что f(α+(1−γ)) p. Значит, α+(1−γ) A+ , а это противоречит определению числа α+ . Итак, предположение f(α+) p неверно. Поэтому f(α+) 4 p. Рассуждения для

α− аналогичны. Таким образом,

f(α+) 4 p 4 f(α−).

Если сопоставить это с вытекающим из Теоремы 88 и α− 6 α+ соотношением

f(α−) 4 f(α+),

то

f(α−) p f(α+).

Таким образом, мы можем выбрать U(p) = α+ . Существование числа U(p) доказано. Единственность числа U(p) следует из Теоремы 88.

Теперь покажем, что U(p) есть функция полезности. Из Теоремы 88 следует, что из двух лотерей из f([0, 1]) хуже та, коэффициент которой меньше и обратно:

f(α) f(β) α < β.

Для двух произвольных лотерей p, q S соотношение p q эквивалентно тому, что f(U(p)) f(U(q)). Поэтому

p q U(p) < U(q).

Докажем теперь, что построенная таким образом функция является единственной линейной функцией, представляющей рассматриваемые предпочтения.

Теорема 90:

Функция полезности U(·), такая что f(U(p)) p, является линейной.

Эта функция — единственная (с точностью до линейного преобразования) линейная функция полезности, представляющая данные предпочтения.

Доказательство: (Линейность)

Мы хотим доказать, что если p, q S , α [0, 1], то выполнено

U(p α q) = αU(p) + (1 − α)U(q).

При α = 0 и α = 1 доказываемое очевидно. Рассмотрим случай 0 < α < 1.

Пусть утверждение теоремы неверно, например, для некоторых p, q S

U(p α q) < αU(p) + (1 − α)U(q).

7.2. Представление линейной функцией полезности: доказательство

246

Тогда можно подобрать числа 0 6 β < U(p) и 0 6 γ < U(q), такие что

U(p α q) = αβ + (1 − α)γ,

откуда

p α q f(αβ + (1 − α)γ).

По свойствам операции комбинирования лотерей

f(αβ + (1 − α)γ) = b (αβ + (1 − α)γ) w =

= (b β w) α (b γ w) = f(β) α f(γ).

Поскольку β < U(p), то f(β) f(U(p)) p, и по аксиоме (A2) получим

f(β) α f(γ) p α f(γ).

Аналогичным образом, поскольку γ < U(q), то верно соотношение f(γ) f(U(q)) q, и по аксиоме (A2)

p α f(γ) p α q.

Получаем, в противоречие с нерефлексивностью отношения предпочтения , цепочку соотношений

p α q f(β) α f(γ) p α f(γ) p α q.

Аналогичным образом можно прийти к противоречию, предположив, что U(p α q) > αU(p)+ (1 − α)U(q). Значит,

U(p α q) = αU(p) + (1 − α)U(q).

(Единственность)

Предположим, что V (·) — другая линейная функция полезности. Обозначим

V (p) = V (p) − V (w).

V (b) − V (w)

Данное преобразование является линейным. Покажем, что V (p) = U(p). Поскольку V (·) линейна, то V (p) также линейна. Кроме того, функции V (·) и U(·) совпадают для худшей и лучшей лотерей:

V (w) = U(w) = 0 и V (b) = U(b) = 1.

Это означает, что функции V (·) и U(·) в силу линейности совпадают на f([0, 1]). Поскольку

любая лотерея из S	эквивалентна лотерее из f([0, 1]), то V (·) и U(·) совпадают на любой
лотерее из S .

Сопоставляя доказанные в этом параграфе теоремы, видим, что мы, фактически, доказали Теорему 84. Правда, при этом мы использовали дополнительное предположение (A4). (Способ доказательства Теоремы 84 обрисован в задаче 371.)

Теорема 91:

Если предпочтения на множестве простых лотерей S удовлетворяют предположениям (A1)-(A4), то существует представляющая их функция полезности U(·), имеющая вид Неймана — Моргенштерна. Такое представление единственно с точностью до линейного преобразования.