12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

457

12.2.4Задачи

/532. Сформулируйте модель Акерлова с двумя градациями качества благ и условия, когда блага низшего качества вытесняют блага высшего качества.

/533. Автомобили трех градаций качества встречаются с одинаковой вероятностью. Оценки продавцов для этих трех типов автомобилей равны 1, 3 и f , а оценки покупателей 2, 5 и 8 соответственно. Качество автомобилей известно только продавцам. Найдите максимальную величину f , при которой будет существовать равновесие, в котором продаются все три типа автомобилей.

/534. Модель Акерлова для рынка «лимонов» с тремя градациями качества. Пусть резервные оценки продавцов для трех типов товара составляют $2000, $2300, $2600, а оценки покупателей — $2000+β , $2300+β , $2600+β соответственно. Пусть частота существования в природе первого типа товара — 1/3, второго — 1/3, третьего — 1/3. При каких параметрах β существует равновесие, в котором продаются (а) все типы, (б) только два худших типа, (в) только самые плохие?

/535. Рассмотрите в рамках модели Акерлова рынок товара, имеющего 5 градаций качества. Цену назначает продавец (рынок продавца). Покупатели нейтральны к риску. Предпочтения продавцов и покупателей заданы следующей таблицей??

Качество	1	2	3	4	5
Вероятность (доля)	π1	π2	π3	π4	π5
Оценка продавцов	1	2	3	4	5
Оценка покупателей	1	3	5	7	9

При каком условии на вероятности πj на этом рынке может существовать равновесие, в котором будут продаваться только товары двух худших градаций качества?

/ 536. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет равномерное распределение на отрезке

а) [0, 50], б) [40, 50].

(1)Пусть оценка продавцом своего товара (резервная цена для продавца) совпадает с параметром качества s, а оценка товара покупателем равна αs (α > 1). При каких значениях параметра α будет происходить разрушение рынка лучших автомобилей (неблагоприятный отбор)? Как ведет себя равновесная доля продаваемых автомобилей при возрастании α?

(2)Решите ту же задачу, предполагая, что оценка товара покупателем равна s+α (α > 0).

/537. Рассмотрите модель Акерлова, в которой товар с вероятностью 1 − s может иметь дефект, из-за которого он негоден (s — вероятность того, что товар годен). Все потребители ценят годный товар в 10 у. е., а негодный — в 0 у. е. Тип продавца определяется величиной s. Тип s имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Издержки продавцов: c(s) = (s + 1) у. е. Найдите и опишите равновесие.

/538. На рынке, описываемом моделью Акерлова, имеются товары трех разновидностей: L, M и H . Оценки продавцов и покупателей приведены в таблице.

	L	M	H
Оценка продавца	100	400	500
Оценка покупателя	200	300	600

а) Найдите равновесие в случае, когда качество товара наблюдают как продавцы, так и покупатели, и объясните, почему оно будет оптимальным по Парето.

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

458

б) Найдите равновесие в случае, когда качество товара не могут наблюдать как продавцы, так и покупатели, и объясните, почему оно будет оптимальным по Парето.

в) Найдите условия на доли товаров разного качества, при которых равновесие может быть оптимальным по Парето (либо, если Парето-оптимум недостижим, приведите рассуждения, доказывающие это).

/ 539. Рассмотрите модель Акерлова рынка с асимметричной информацией. Параметр качества товара q имеет равномерное распределение на отрезке [0, 30]. Пусть оценка продавцом своего товара (резервная цена для продавца) равна 6 + 0,2q при q 6 15 и 3 + 0,4q при q > 15, а оценка товара покупателем равна 5 + 0,6q. Каким может быть равновесие на этом рынке?

/540. Решите предыдущую задачу, предполагая, что q имеет равномерное распределение на отрезке [0, 20], оценка продавцом своего товара равна 150 + q2 , а оценка товара покупателем равна 100 + 30q.

/541. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет равномерное распределение на отрезке [s1, s2]. Пусть оценка продавцом своего товара (резервная цена для продавца) равна c(s), а оценка товара покупателем равна v(s). На рынке имеются посредники (оценщики), которые готовы сообщить покупателю истинное качество товара за цену α > 0.

(1)Пусть s1 = 10, s2 = 10, c(s) = 2s, v(s) = 3s. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра α.

(2)Пусть s2 = 200, c(s) = 3s, v(s) = 5s, α = 100. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра s1 .

(3)Пусть s1 = 3, s2 = 50, c(s) = 4s − γ , v(s) = 5s, α = 20. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра γ > 0.

(4)Пусть s1 = 1, s2 = 10, c(s) = 3s, v(s) = 4s + δ, α = 3. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра δ > 0.

/542. Рассмотрите модель Акерлова с дискретным качеством, заданную следующей таблицей.

Оценки покупателей	v1 = 10 у. е.	v2	= 30 у. е.	v3	= 50 у. е.
Оценки продавцов	c1 = 9 у. е.	c2	= 21 у. е.	c3	= 45 у. е.
Количество товаров	10 млн		10 млн		10 млн

(А) Каким будет равновесие? Будет ли оно единственным?

(Б) Предположим, что государство вводит обязательный контроль, возмещая издержки контроля налогом α с каждого продавца (с единицы). При этом информация о качестве не разглашается, а запрещается продажа товара самого низкого качества. Найдите равновесие в зависимости от этих издержек (α у. е., 0 < α < 9).

(В)Приведет ли введение контроля к росту благосостояния при некоторых параметрах?

/543. [Tirole] Рассмотрим рынок подержанных автомобилей с градациями качества, заданными непрерывной случайной величиной s, которая равномерно распределена на отрезке [s1, s2]. Продавец оценивает единицу товара качества s как s, а покупатель — как αs, где α — коэффициент разный для разных покупателей. Предполагаем, что α распределены равномерно на отрезке [α1, α2]. Покупатели нейтральны по отношению к риску (т. е. покупатель купит автомобиль с ожидаемым качеством se тогда и только тогда, когда αse > p.

(i) Найдите объем торговли в условиях полной информации.

(ii) Изобразите кривые спроса и предложения при асимметричной информации. Может ли быть так, что кривая спроса имеет положительный наклон?

(iii) Найдите конкурентное равновесие. Будет ли объем торговли больше или меньше Па- рето-оптимального?

= Xv(v).

12.A. Доказательство теоремы Майерсона—Саттертуэйта

459

(iv)Покажите, что на таком рынке равновесие может быть не единственным, и что равновесие с более высокой ценой доминирует по Парето равновесие с более низкой ценой.

(v)Государство вводит стандарт качества. Автомобили с качеством ниже s0 продавать запрещено. Может ли это увеличить общее благосостояние (с точки зрения суммарного излишка)?

/544. Рассмотрите модель Акерлова в предположении, что переговорная сила принадлежит покупателю (можно интерпретировать такой рынок как рынок труда). Покажите, что если v(s) > c(s) s, то в одном из равновесий продавец назначает цену, равную предельным издержкам.

Приложение 12.A Доказательство теоремы Майерсона—Саттертуэйта

??

Введем обозначение для ожидаемой платы с точки зрения продавца:

v
P c(c) = E t¯(c, v˜) = Zv1	2 t¯(c, v)f(v)dv
и с точки зрения покупателя:
c
P v(v) = E t¯(˜c, v) = Zc1	2	t¯(c, v)g(c)dc,

а также ожидаемого объема торговли с точки зрения продавца:

v
Xc(c) = E x¯(c, v˜) = Zv1	2 x¯(c, v)f(v)dv
и с точки зрения покупателя:
c
Xv(v) = E x¯(˜c, v) = Zc1	2	x¯(c, v)g(c)dc.

В этих обозначениях

Uvˇ(v) = vXˇ v(v) − P v(v),

и

Ucˇ(c) = P c(c) − cXˇ c(c).

По условиям самовыявления для двух оценок покупателя, v и vˇ, мы можем записать следующие два неравенства:

Uv(v) > Uv(ˇv) и Uvˇ(ˇv) > Uvˇ(v).

Из этих неравенств следует, что

Uv(v) − Uvˇ(v) > Uv(v) − Uvˇ(ˇv) > Uv(ˇv) − Uvˇ(ˇv)

или

(v − vˇ)Xv(v) > Uv(v) − Uvˇ(ˇv) > (v − vˇ)Xv(ˇv).

Переходя к пределу в этих неравенствах (vˇ → v), получим, что dUv(v)

dv

12.A. Доказательство теоремы Майерсона—Саттертуэйта		460
Отсюда, беря интеграл16,
v
Uv(v) = Uv1 (v1) + Zv1	Xv(z)dz.

Поскольку ожидаемый объем торговли Xv(z) неотрицателен, то коль скоро условие добровольности участия выполнено для покупателя с оценкой v1 , то оно выполнено для всех покупателей:

Uv1 (v1) > 0 Uv(v) > 0 v.

Применяя аналогичные рассуждения к поведению продавцов разных типов, получим, что

dUc(c) = −Xc(c), dc

откуда

Z c2

Uc(c) = Uc2 (c2) + Xc(z)dz.

c

Кроме того, коль скоро условие добровольности участия выполнено для продавца с издержками c2 , то оно выполнено для всех продавцов.

Вспомним, что

Отсюда

и

Uc2 (c2) > 0 Uc(c) > 0 c.

Uv(v) = vXv(v) − P v(v), и Uc(c) = P c(c) − cXc(c).

v
P v(v) = vXv(v) − Uv1 (v1) − Zv1 Xv(z)dz
P c(c) = cXc(c) + Uc2 (c2) + Zcc2	Xc(z)dz.

Предположим теперь, что равновесие является оптимальным по Парето, т. е. объем торговли в этом равновесии должен удовлетворять условиям x¯(c, v) = 1 при v > c и x¯(c, v) = 0 при v < c.

Покажем, что справедливо следующее соотношение для ожидаемой платы в равновесии:

E[min{c2, v˜}x¯(˜c, v˜)] 6 E t(˜c, v˜) 6 E[max{c,˜ v1}x¯(˜c, v˜)].

Рассмотрим сначала покупателя и получим оценку сверху для ожидаемой платы в равновесии, т. е. E t(˜c, v˜) 6 E[max{c,˜ v1}x¯(˜c, v˜)].

Поскольку Uv1 (v1) > 0, то

v
P v(v) 6 vXv(v) − Zv1	Xv(z)dz.

Подставляя Xv(v) = Rcc2 x¯(c, v)g(c)dc, получим, что величина в правой части неравенства равна

1

v	c			v	c
vXv(v) − Zv1	Xv(z)dz = v Zc1	2	x¯(c, v)g(c)dc − Zv1		Zc12	x¯(c, z)g(c)dcdz =
	c			c	v
	= Zc12	vx¯(c, v)g(c)dc − Zc1			2 Zv1	x¯(c, z)dzg(c)dc =
	=		Z c2	Z v
			[vx¯(c, v) −	x¯(c, z)dz]g(c)dc =
			c1	v1		Z c2
							max{c, v1}x¯(c, v)g(c)dc.
						=
						c1

16Из приведенных неравенств следует, что Xv(v) — неубывающая функция. Таким образом, она интегрируема.

12.A. Доказательство теоремы Майерсона—Саттертуэйта

461

В последнем равенстве мы использовали, что в Парето-оптимальном равновесии выполнено

Z v

vx¯(c, v) − x¯(c, z)dz = max{c, v1}x¯(c, v).

v1

Это равенство можно установить на основе перебора возможных случаев: Если c = v, то интеграл равен нулю и max{c, v1} = v.

Если c > v, то x¯(c, z) = 0 при z 6 v, и таким образом, обе части доказываемого равенства равны нулю.

Если c < v и c 6 v1 , то x¯(c, z) = 1 при z (v1, v] и поэтому

Z v

x¯(c, z)dz = v − v1 = (v − v1)¯x(c, v).

v1

Если c < v и c > v1 , то x¯(c, z) = 1 при z (c, v] и поэтому

Z v

x¯(c, z)dz = v − c = (v − c)¯x(c, v).

v1

Учитывая это соотношение,

Z c2

P v(v) 6 max{c, v1}x¯(c, v)g(c)dc.

c1

Беря интеграл по v, получим оценку сверху для ожидаемой платы в оптимальном равновесии:

Z v2

E t(˜c, v˜) = E P v(˜v) = P v(v)f(v)dv 6

	v1		Z c2
	Z v2
	6		max{c, v1}x¯(c, v)g(c)dcf(v)dv
	v1		c1
или	E t(˜c, v˜) 6 E[max{c,˜ v1}x¯(˜c, v˜)].
Для продавца рассуждения аналогичны. Из Uc2 (c2) > 0 следует
или	P c(c) > cXc(c) + Zcc2 Xc(z)dz
	v
	P c(c) > Zv12	min{c2, v}x¯(c, v)f(v)dv.

Отсюда получим оценку снизу для ожидаемой платы в оптимальном равновесии:

Z c2

E t(˜c, v˜) = E P c(˜c) = P c(c)g(c)dc >

c1

Zv2 Z c2

>min{c2, v}x¯(c, v)g(c)dcf(v)dv

v1 c1

или

E t(˜c, v˜) > E[min{c2, v˜}x¯(˜c, v˜)].

Окончательно получаем

E[min{c2, v˜}x¯(˜c, v˜)] 6 E t(˜c, v˜) 6 E[max{c,˜ v1}x¯(˜c, v˜)].

Для любой оценки покупателя v [v1, v2] и любых издержках продавца c [c1, c2], таких что v > c, выполнено min{c2, v} > max{c, v1}, поскольку v1 < c2 . Кроме того, поскольку

12.A. Доказательство теоремы Майерсона—Саттертуэйта

462

c1 < v2 , то вероятность того, что v˜ > c˜, т. е. того, что x¯(˜c, v˜) = 1, не равна нулю. Отсюда следует

E[max{c,˜ v1}x¯(˜c, v˜)] < E[min{c2, v˜}x¯(˜c, v˜)].

Тем самым, получено противоречие, что и доказывает несовместимость трех условий: участия, самовыявления и эффективности.

Есть вариант этой теоремы для модели, в которой сумма, выплаченная покупателем, не обязательно равняется сумме, полученной продавцом. Данная модель позволяет рассматривать и такие механизмы торга, которые требуют издержек для своего осуществления, а также такие, которые предусматривают субсидии третьих лиц. Этот вариант теоремы Майерсона — Саттертуэйта утверждает, что несовместимы четыре условия. Четвертым условием является сбалансированность платежей: ожидаемая сумма, выплаченная покупателем, не меньше ожидаемой суммы, полученной продавцом. Это условие можно интерпретировать как отсутствие субсидий со стороны. Заметим, что имеются в виду субсидии не для каждой реализации типов (˜c, v˜), а в среднем. (Т. е., неявно предполагается возможность воспользоваться услугами нейтрального к риску стороннего страховщика. Ясно, что это довольно слабое требование.)

Действительно, если в приведенном доказательстве рассмотреть плату, которая может не совпадать для продавца и покупателя, т. е. tc(c, v) и tv(c, v), то, по аналогии с приведенным выше доказательством, можно получить неравенство

E tc(˜c, v˜) > E[min{c2, v˜}x¯(˜c, v˜)] > E[max{c,˜ v1}x¯(˜c, v˜)] > E tv(˜c, v˜).

Таким образом, в такой модели двусторонней монополии Парето-оптимальность равновесия может иметь место только в играх торга с недобровольным участием или же с субсидиями.