12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

445

(4) Какому условию теоремы Майерсона — Саттертуэйта не удовлетворяет описанный механизм?

12.2Модели рынка с асимметричной информацией

Есть рынки (например, рынок подержанных автомобилей) на которых качество конкретного экземпляра товара покупатель может определить с трудом, зато оно неплохо известно продавцу. Рыночная цена едина и не зависит от качества. Чем больше доля некачественных товаров, тем ниже цена, а чем ниже цена, тем менее выгодно продавать качественные товары. Такой процесс может закончиться полным вытеснением качественных товаров с рынка. Разрушение рынка при несимметричной информированности называют неблагоприятным отбором.

Самая известная модель такого рода — модель Акерлова12, модель так называемого рынка «лимонов». Эта модель существенно отличается от классических моделей рынка. В качестве промежуточного звена рассмотрим модификацию классических моделей, в которой имеет место неоптимальность, связанная с асимметричной информацией.

12.2.1Модификация классических моделей равновесия: равновесия с неотличимыми благами

Рассмотрим квазилинейную экономику с тремя благами, в которой имеется один репрезентативный потребитель с функцией полезности v(x1, x2) + z и один репрезентативный производитель с функцией издержек c(y1, y2). Пусть в этой экономике потребитель в момент покупки не может отличить благо 1 от блага 2, в то время как производитель может это делать. В связи с неотличимостью двух благ для потребителя, рыночная цена на них должна быть одинаковой. Потребитель максимизирует свою полезность исходя из рыночных долей двух благ, α1 и α2 (α1 + α2 = 1), которые соответствуют объемам продаж этих благ.

Задача потребителя при данной цене p и долях α1 и α2 имеет вид

v(α1x, α2x) − px → max,

x>0

где x = x1 + x2 — это суммарный объем потребления двух неотличимых благ, причем x1 = α1x и x2 = α2x. При дифференцируемости функции v(·) дифференциальная характеристика внутреннего решения задачи потребителя имеет вид

α1	∂v	+ α2	∂v	= p.
	∂x1
			∂x2

Задача производителя обычная, только цены на два блага одинаковы (p1 = p2 = p):

p(y1 + y2) − c(y1, y2) → max .

y1>0,??y2>0

При дифференцируемости функции издержек дифференциальная характеристика внутреннего решения задачи производителя имеет вид

∂c = p и ∂c = p. ∂y1 ∂y2

Равновесие в данной модели — это такая цена p¯, доли α¯1 , α¯2 , объемы потребления x¯1 , x¯2 и объемы производства y¯1 , y¯2 , которые удовлетворяют следующим условиям:

12G. A. Akerlof: The Market for ‘Lemons’: Quality Uncertainty and the Market Mechanism, Quarterly Journal of Economics 84 (1970): 488–500.

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

446

1) Объемы потребления x¯1 и x¯2 являются решением задачи потребителя при цене p¯ и долях α¯1 и α¯2 .

2)Объемы производства y¯1 , y¯2 являются решением задачи производителя при цене p¯.

3)Рынки сбалансированы, т. е. x¯1 = y¯1 и x¯2 = y¯2 .

4) Доли α¯1 и α¯2 являются долями продаж соответствующих благ на рынке, т. е. x¯1 =

α¯1(¯x1 + x¯2) и x¯2 = α¯2(¯x1 + x¯2).

Как известно, дифференциальная характеристика внутреннего Парето-оптимума имеет

вид

∂v = ∂c и ∂v = ∂c . ∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y2

Таким образом, для Парето-оптимальности внутреннего равновесия требуется выполнение

условий

∂v = ∂c = ∂v = ∂c . ∂x1 ∂y1 ∂x2 ∂y2

Ясно, что в общем случае нельзя ожидать выполнения этого условия.

В частности, предположим, что v(x1, x2) = V (x1 + βx2), где функция V (·) имеет положительную производную. Здесь единица 2-го блага заменяет для этого потребителя β единиц

1-го. При этом

∂v = V 0 и ∂v = βV 0. ∂x1 ∂x2

Если β > 1, то равенство ∂v/∂x1 = ∂v/∂x2 не может быть выполнено.

Покажем, что в равновесии недопроизводится «более ценное» второе благо. Для этого мы укажем Парето-улучшение в дифференциалах для состояния равновесия. Пусть производство и потребление 2-го блага меняется на величину dx2 = dy2 > 0, и суммарное производство двух благ не меняется, т. е. dx1 = dy1 = −dx2 . При этом в первом приближении издержки

производства не меняются:
dc =	∂c	dy1 +	∂c	dy2 = pdy1 + pdy2 = 0.
	∂y1		∂y2

Таким образом, затраты 3-го блага в производстве не меняются. Поэтому потребление 3-го блага не меняются (dz = 0).

Изменение полезности тогда составляет величину

du = ∂v dx1 + ∂v dx2 + dz = V 0(−dx2) + βV 0dx2 = (β − 1)V 0dx2 > 0. ∂x1 ∂x2

12.2.2Модель Акерлова: классическая постановка

Следующий пример демонстрирует модель Акерлова для простого случая двух градаций качества. Назовем товар высокого качества «сливой», а плохого — «лимоном»13. Каждый продавец знает, лимон или сливу он продает, полезность в деньгах сохранения лимона у себя равна c1 , а сливы — c2 (c2 > c1 ). Полезность лимона для типичного покупателя равна v1>c1 , а сливы — v2>c2 , причем покупатель узнает только в процессе использования, лимон или сливу он купил. Он знает только вероятность µ попадания лимона среди всех продаж. Соответственно, вероятность попадания сливы есть 1−µ. Предположим, что покупатель нейтрален к риску. Цена p, которую он заплатил бы за покупку не превышает p0 = µv1 + (1 − µ)v2 . Если окажется, что эта цена не ниже резервной цены сливы c2 , то можно ожидать, что в равновесии происходит торговля и лимонами и сливами. Если же p0 < c2 , то никто из продавцов не вынесет на продажу сливы, хотя их потенциальная полезность для покупателя выше. Это

13В английском языке в одном из значений слово lemon — «некачественный товар».

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

447

приводит к неоптимальности. Действительная вероятность µ0 6= µ появления лимонов среди продаж станет выше. Когда покупатели узнают об этом по опыту, резервная цена покупателей еще более понизится. Такой рынок разрушается. Заметьте: если продавцы тоже не знают, лимон или сливу они продают, и являются, как и покупатели, нейтральными к риску, то торговля сохранится, и равновесие будет Парето-оптимальным, так что добавление информации (несимметричное) ухудшает положение!

На рынке, описываемом некоторым вариантом модели Акерлова, ситуация меняется, если возможно посредничество. Пусть есть эксперты по «сливам» и «лимонам», которые могут отличить их. Посредники либо торгуют сами, либо дают платные советы. Если посредники дорожат репутацией, то оценивают товар достоверно. Перед потребителем выбор: покупать «кота в мешке» самому или заплатить за совет специалиста (либо покупать товары у посредников). Еще одним возможным решением проблемы асимметричности информации является гарантия. В момент совершения сделки покупатель не может определить качество товара, но это качество выявляется в процессе использования. Продавцу хорошего товара выгодно взять на себя обязательство замены или ремонта некачественного товара. Наличие гарантии служит сигналом для покупателя, что этот товар хороший. Сигнализированием называют действия владельцев лучшего товара, направленные на информирование покупателей о качестве товара. Сигнал должен быть такой, чтобы владельцам «лимонов» было бы трудно произвести его.

В модели Акерлова перед владельцем товара стоит только выбор продавать или не продавать товар. Ситуация усложняется, если продавец сам является производителем товара и может повлиять на его качество. Здесь появляется другой эффект — моральный риск. Его можно также показать на примере гарантий. Фирме, дающей гарантию, трудно отличить, вызвано ли повреждение товара его плохим качеством при покупке или действиями покупателя. Покупатель поэтому, имея гарантию, может обращаться с товаром менее аккуратно.

Продемонстрируем влияние асимметричной информированности субъектов рыночных отношении на структуру рыночных сделок следуя оригинальному подходу Акерлова на примере рынка некоторого неделимого товара (например, подержанных автомобилей), который может приобретаться в количестве, не превышающем 1.

Предположим, что на рынке существуют n градаций качества этого блага, причем доля блага типа s равна µs (µs > 0). По виду они неотличимы, отличаясь только по внутренним характеристикам. Продавцы не могут выбирать качество того товара, который у них имеется. Оценки покупателей (продавцов) товара типа s равны vs (соответственно, cs ). Предполагается, что все участники торговли оценивают товары одного и того же качества одинаково14. Т. е. все продавцы товара качества s готовы отдать его не менее, чем за cs , а все покупатели готовы заплатить за товар качества s не более, чем vs .

Покупатели и продавцы имеют квазилинейные предпочтения и нейтральны по отношению к риску, так что если благо типа s продается по цене p, то покупатель получает выигрыш (потребительский излишек)

vs − p,

а продавец — выигрыш

p− cs.

ВПарето-оптимальном состоянии экономики благо должно принадлежать тому, кто его

больше ценит. Действительно, пусть xs — индикаторная переменная, принимающая значение 1, если товар качества s передается от продавца покупателю, и 0 в противном случае15. В этих

14Несложно распространить модель на случай, когда оценки различаются.

15Можно рассматривать и случай, когда xs [0, 1]. Тогда xs интерпретируется как вероятность передачи товара покупателю.

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

448

обозначениях можем записать ожидаемое благосостояние в расчете на единицу товара как

n		n	n
X	µsvsxs −	sX	X	(z)
W =		µscsxs =	µs(vs − cs)xs.
s=1		=1	s=1

Ясно, что максимум по {xs} достигается, если xs = 0 при vs < cs и xs = 1 при vs > cs . Если бы как продавцы, так и покупатели были полностью информированы (точнее, ин-

формация о качестве товара и об оценках продавцов и покупателей была бы общеизвестна), то в результате обменов (в равновесии) достигался бы Парето-оптимум. Цены блага разного качества, ps , были бы, вообще говоря, различны и зависели бы от переговорной силы сторон. Товар качества s мог бы быть продан (xs = 1) только если бы cs 6 vs . При этом цена должна удовлетворять соотношению

cs 6 ps 6 vs.

(Если же cs > vs , то товары качества s не будут продаваться.) В дальнейшем мы будем предполагать, что продавцов меньше, чем покупателей, и им принадлежит переговорная сила. Следовательно, в равновесии ps = vs . По сути дела, рынок распадается на n отдельных рынков, на каждом из которых установится своя цена (если только cs 6 vs и товар продается; в противном случае, конечно, цена не существует).

Если как покупатели, так и продавцы не знают качества, а только распределение, т. е. они одинаково (не)информированы, то в равновесии установится единая цена, и Парето-оптимум достигается и в этом случае: если ожидаемая оценка покупателя выше ожидаемой оценки продавца,

E v(˜s) > E c(˜s)

т. е.

n n

XX

µsvs >	µscs
s=1	s=1

то сделка происходит (x = 1), а если ниже, то нет (x = 0). Здесь опять и товар должен достаться тому, кто его больше ценит. Это Парето-оптимум, поскольку такой выбор x обеспечивает максимум ожидаемого благосостояния в расчете на единицу блага, которое в данном случае равно

n	n	n
X	sX	X
W = x	µsvs − x µscsxs = x	µs(vs − cs) = x E[v(˜s) − c(˜s)].
s=1	=1	s=1

Если переговорная сила принадлежит продавцам (и сделка происходит), то в равновесии цена

равна

n

X

p = µsvs.

s=1

Заметим, что если cs < vs при всех s, то как в случае полной информированности, так и в случае полной неинформированности, в Парето-оптимуме (и равновесии) товары всех n градаций качества должны перейти от продавцов к покупателям. Однако если есть такой уровень качества, что cs > vs , то Парето-оптимум в этих двух ситуациях будет различаться. Разница объясняется различием способа подсчета ожидаемого благосостояния. В первом случае оно рассчитывается в предположении того, что блага разного качества отличимы, во втором — что неотличимы.

При асимметричной информированности, когда покупатели не различают качества предложенных к продаже благ, то (как и в случае полной неинформированности) устанавливается единая рыночная цена. Наблюдая эту цену, рациональные покупатели, считая продавцов тоже рациональными, имеют основания ожидать, что предлагаются к продаже только товары, качество которых s таково, что оценки продавцов cs не ниже этой цены. Будем предполагать,

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

449

что если продавцу все равно (т. е. p = cs ), то он предлагает на продажу это благо. Каждый покупатель оценивает набор предложенных благ в соответствии с ожидаемой полезностью, т. е.

E(v(˜s) | c(˜s) 6 p) =	µsvs,	µs.
X		X
s:cs6p		s:cs6p

Если cs расположены в порядке возрастания (чем выше качество, тем выше оценка продавца), то продаются первые m(p) типов (для них cs 6 p). Тогда ожидаемую полезность можно записать в виде

m(p)	, m(p)
X µsvs	X µs.
s=1	s=1

Введем обозначение

m, m

XX

Vm = µsvs	µs.
s=1	s=1

Условие того, что благо приобретается, состоит в том, что величина Vm не превышает цену. Если переговорная сила у продавца, то равновесная цена задается уравнением

p = Vm(p).

Равновесное количество типов, которые продаются, m = m(p), при этом должно удовлетворять соотношению

cm 6 Vm < cm+1.

Если m(p) = n, то второе неравенство здесь не требуется. Это будет равновесие, в котором продаются товары всех типов. Условие существования такого равновесия, таким образом, вы-

глядит как

n

X

cn 6 Vn = µsvs.

s=1

Предположим, что cs < vs s. Тогда равновесие в модели Акерлова существует. Докажем это на основе индукции. При m = 1, V1 = v1 , поэтому если V1 < c2 , то существует равновесие, в котором продаются только товары 1-го типа, поскольку c2 > V1 = v1 > c1 . В противном случае V1 > c2 .

Пусть теперь выполнено соотношение Vm−1 > cm при m < n. Тогда либо

cm < Vm < cm+1,

либо

Vm > cm+1.

Для доказательства этого достаточно показать, что cm < Vm . Действительно, cm 6 Vm−1 и cm < vm , поэтому

Vm =	m−1	µsvs + µmvm , m		µs =	m−1	µs · Vm−1	+ µmvm , m		µs > cm.
	sX		X		X			X
	=1		s=1		s=1			s=1

Первая ситуация (cm < Vm < cm+1 ) соответствует равновесию, в котором продается m типов благ. Если же равновесия нет, то cm+1 6 Vm . Рассуждая по индукции видим, что если равновесие не существует при m 6 n−1, то выполняется соотношение cn 6 Vn−1 , что соответствует равновесию при m = n (продаются блага всех n типов).

Нетрудно придумать ситуации, в которых равновесие неединственно, и в общем случае (без предположения о «хорошем» поведении последовательностей cs и vs ) равновесия следует искать полным перебором.

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

450

И наконец, рассмотрим условия оптимальности равновесия. Как и в случае полной симметричной информированности, благосостояние задается формулой (z). Дело в том, что ожидаемое благосостояние следует рассчитывать исходя из всей информации, которая имеется в экономике. В модели Акерлова это полная информация о качестве каждого блага, поскольку качество известно продавцам. Поэтому Парето-оптимум в модели Акерлова такой же, как и в случае полной симметричной информированности, т. е. он достигается в том случае, если товар качества s продается при cs < vs и не продается при cs > vs .

При сделанном ранее предположении, что cs < vs s, среди всех возможных равновесий оптимальным является только такое, в котором продаются блага всех n типов, т. е. Паретооптимальное равновесие может существовать только если

n

X

cn 6 Vn = µsvs.

s=1

Кроме того, в случае, когда равновесие не единственно, все возможные равновесия упорядочены по возрастанию благосостояния. Равновесия с более высоким m(p) доминируют по Парето равновесия с низким m(p).

Пример 59:

Проиллюстрируем сказанное в частном случае рынка со 100 типами благ (подержанных автомобилей), на котором cs = 300 + s и vs = 300 + b + s, где b > 0 — различие в оценках продавцов и покупателей, не зависящее от типа автомобиля.

Если покупателей больше, чем продавцов, то равновесие оптимально, если все автомобили проданы (m = 100), поскольку выгоды от торговли положительны при каждой возможной сделке: vs − cs = b > 0.

Возможны разные случаи информированности и соответствующие равновесия.

(1)Полная информированность продавцов и покупателей. По сути дела, рынок распадается на 100 отдельных рынков, на каждом из которых установится своя цена ps = vs . Все 100 типов автомобилей будут продаваться, т. е. равновесие состояние Парето-оптимально.

При неполной информированности покупателей и/или продавцов равновесие зависит от относительной частоты разных типов автомобилей. Мы предположим, что автомобили всех типов имеются в одинаковом количестве.

(2)Полная неинформированность продавцов и покупателей. Ожидаемая оценка автомобиля продавцом будет равна

E c(˜s) =

1

100 cs =

301

+ · · · + 400

=

301 + 400

= 350,5

100

sX

100

2

=1

покупателем —

E v(˜s) =

1

100 vs =

301 + b + · · · + 400

+ b

=

301 + b + 400 + b

= 350,5 + b.

100

2

=1

100

sX

Цена установится на уровне ожидаемой оценки покупателя и будет равна 350,5 + b. Как и в предыдущем случае полной информированности все 100 типов автомобилей будут продаваться, т. е. равновесие Парето-оптимально.

(3a) Продавцы знают качество автомобилей, а покупатели — нет (несимметричная информированность). Если покупатели исходят из априорной гипотезы, что каждый из 100 типов автомобилей будет продаваться с вероятностью 1/100 (характеризуются близоруким поведением), то цена «кота в мешке» окажется равной

p = (301 + b + 400 + b)/2 = 350,5 + b.

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией	451
При этой цене будут продаваться все те автомобили, для которых

300 + s 6 350,5 + b.

Таким образом будет продаваться m = [50,5 + b] типов автомобилей. Величина m не убывает с ростом b, и при b > 40,5 равна 100. При b < 40,5 равновесие не Парето-оптимально.

Предположение о близорукости покупателей несовместимо с предположением об их рациональности в случае, когда они знают структуру предложения.

(3b) Продавцы знают качество автомобилей, а покупатели — нет (несимметричная информированность). Покупатели ориентируются на текущую структуру предложения, и считают свою оценку исходя из данной информации (m худших типов автомобилей будут продаваться с вероятностью 1/m). Тогда при условии, что продаются автомобили m типов, ожидаемая оценка равна

m

1 X

Vm = m s=1

vs =	301	+ b + · · · + 300 + m + b			=
		m
=	301	+ b + 300 + m + b		= 300,5 +		m	+ b.
		2
				2

Тогда количество продаваемых типов для возможных равновесий задается соотношениями

cm 6 Vm < cm+1

или

300 + m 6 300,5 + m2 + b < 301 + m,

т. е.

m 6 1 + 2b < m + 2.

Следовательно, равновесное количество типов характеризуется неравенствами

2b − 1 < m 6 2b + 1.

Равновесная цена равна p = Vm = 300,5 + m2 + b.

При b < 1/2 существует единственное равновесие с m = 1. При b > 50 равновесие также единственное с m = n, и Парето-оптимально. При b [0,5, 50) существует два равновесия, одно из которых заведомо не оптимально. Так при b = 20 в одном из возможных равновесий m = 40, а в другом — m = 41, причем оба равновесия не оптимальны.

Сравнивая случаи (3a) и (3b), видим, что во втором случае неблагоприятный отбор проявляется сильнее (объемы продаж меньше) и цена ниже, чем в первом, так как в равновесии учитывается реакция продавцов на цену, кроме того, по той же причине разрушение рынка во

втором случае происходит при меньших значениях b.

4

Неединственность равновесия в модели Акерлова — обычное явление, особенно при немонотонном поведении разности V (s) − c(s). В рассмотренном примере поведение оценок покупателей и продавцов с ростом s довольно «правильное», но равновесие не единственное, что является следствием дискретности распределения типов. Если данный пример видоизменить таким образом, чтобы распределение типов было непрерывным, то равновесие оказывается единственным (см. ниже).

Естественные предположения об оценках vs и cs , не имеющие аналогов для дискретных распределений (например, непрерывность соответствующих зависимостей) делают модель с непрерывным распределением более простым инструментом анализа неблагоприятного отбора. Рассмотрим такую модель.

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

452

Предположим, что возможные типы блага, s, описываются интервалом числовой прямой [s1, s2], и пусть f(·) — плотность распределения этих типов, известная покупателям, такая что f(s) > 0 при s (s1, s2). Как и в дискретном случае, оценки покупателей (продавцов) товара типа s совпадают и равны v(s) (соответственно, c(s)), покупатели и продавцы имеют квазилинейные предпочтения и нейтральны по отношению к риску. Будем предполагать, что функция c(·) является непрерывной и возрастающей, и c(s) < v(s) s.

Если функция c(s) возрастает, и продаются товары с качеством не выше s, то оценка покупателей при асимметричной информированности равна

Z s Z s

V (s) = E(v(˜s) | s˜ 6 s) = v(t)f(t)dt f(t)dt.

0 0

По аналогии с дискретным случаем, граничное качество s¯ в равновесии либо задается уравнением

c(¯s) = V (¯s),

если это уравнение имеет решение, либо равно s¯ = s2 . Второй вид равновесия (когда продаются товары всех типов) возможен при выполнении условия c(s2) 6 V (s2). Единая для всех типов блага равновесная цена p¯ равна

p¯ = V (¯s).

Если c(s2) > V (s2), то существует решение уравнения c(¯s) = V (¯s), поскольку c(s1) < V (s1) = v(s1), а функции c(·) и V (·) непрерывны. В этом случае существует равновесие, в котором имеет место неблагоприятный отбор. Если же c(s2) 6 V (s2), то существует равновесие без неблагоприятного отбора. Таким образом, при сделанных предположениях хотя бы одно равновесие существует.

Пример 60:

Пусть, по аналогии с Примером 59, качество s˜ имеет равномерное распределение на [1, 100], c(s) = 300 + s, и v(s) = 300 + b + s, где b > 0.

Найдем равновесие при несимметричной информированности. Ожидаемая оценка покупателя равна

V (s) = Z1

s

1

1

Z1

s

s

v(t)

dt =

(300 + b + t)dt = 300,5 + b +

.

s

−

1

s

−

1

2

Граничное качество s¯ в равновесии с неблагоприятным отбором задается уравнением

300 + s¯ = 300,5 + b + 2s¯.

Таким образом, s¯ = 2b + 1 и p¯ = 301 + 2b. Такое равновесие существует при 2b + 1 < 100, т. е. при b < 49,5. При b > 49,5 в равновесии продаются все типы блага и равновесная цена равна p¯ = V (100) = 350,5 + b.

Можно интерпретировать функцию V −1(p) как функцию спроса (которая, в отличие от привычной функции спроса, возрастает), а функцию, которая совпадает с c−1(p) при s [c(1); c(100)] и равна 100 при p > c(100) — как функцию предложения. Точка пересечения

соответствующих кривых определяет равновесие (см. Рис. 12.1).

4

Проведенный выше анализ феномена неблагоприятного отбора основывается на обобщении понятия равновесия (по Вальрасу) на случай асимметричной информации. При этом соответствующая игра определена не полностью, и введено определение равновесия, которое годится только для рассмотренной модели. С таким равновесием совместимы разные интерпретации поведения игроков и того, какая информация им доступна. Так можно предполагать, что покупатели, в дополнение в цене блага, знают, в каких пропорциях предлагаются товары разных типов; при этом в равновесии это знание согласуется с ценой, по которой благо продается.