12.2. Модели рынка с асимметричной информацией											453
		p						p
	420						460	s=100; p=410,5
				v(s)
							420
	380					c(s)
								v(s)
							380
					V (s)				V (s)
	340
				s=41; p=341			340
								c(s)
						s						s
	300						300
		20	40	60	80	100		20	40	60	80	100
	0						0
				Рис. 12.1.		Равновесие при b = 20 и b = 60

Можно также (как мы это сделали выше) исходить из предположения, что априорное распределение типов благ и оценки продавцов общеизвестны; пропорции предложения разных типов блага вычисляются покупателем на основе этой информации с учетом рыночной цены блага.

Другой (более строгий) подход к анализу данной ситуации — специфицировать соответствующую игру, (т. е. описать возможные действия, последовательность ходов и ожидания игроков — покупателей и продавцов и т. д.) и охарактеризовать решение этой игры, что и будет проделано с следующем параграфе. Преимущество такого подхода состоит в том, что нет необходимости вводить специально придуманное для данного случая определение равновесия, можно использовать стандартное определение равновесия игры (совершенного байесовского равновесия). Это позволяет по единой схеме изучать различные аспекты неблагоприятного отбора и институты, регулирующие эти феномены (гарантии, сигнализирование, репутация). Для этого достаточно каждый раз описывать соответствующую модификацию игры и находить обычное равновесие, вместо того, чтобы определять для каждой модели равновесие заново.

12.2.3Модель Акерлова как динамическая игра

Рассмотрим вариант модели Акерлова, в котором рынок с асимметричной информацией моделируется как динамическая байесовская игра.

Благо дискретное. Предполагается, что каждый продавец либо предлагает единицу товара на продажу, либо нет (y = 0, 1). Каждый покупатель либо покупает единицу товара, либо нет (x = 0, 1).

Пусть s — качество товара. Асимметричность информации состоит в том, что продавец знает качество своего товара, а покупатель — нет. Цену обозначим через p.

Если продавец продал товар по цене p, то его прибыль равна величине Π = p − c(s), где c(s) — его предельные издержки, при данном качестве. Будем предполагать, что функция c(·) является возрастающей. Как и в классической постановке модели, c(s), можно интерпретировать как альтернативные издержки, т. е. выигрыш продавца от альтернативного использования товара. Если продавец не продал товар, то Π = 0.

Будем предполагать, что предпочтения покупателя квазилинейны, т. е. его потребительский излишек при покупке товара по цене p составляет величину u = v(s) − p. Оценка v(·) — возрастающая функция. Предполагается, что у всех покупателей одинаковые предпочтения. Если он не купил товар, его потребительский излишек равен нулю.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда покупатель знает качество товара. Тогда дерево игры в этой ситуации имеет вид, изображенный на Рис. 12.2.

Для поиска равновесия этой игры используем обратную индукцию. Рассмотрим решение покупателя. Если v(s) > p, то покупатель покупает, если v(s) < p, то нет. Будем также

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией			454
y=0		y=1 Продавец
0	p
0
x=0		x=1 Покупатель

0p−c(s)

0v(s)−p

Рис. 12.2. Дерево игры для модели Акерлова при полной информированности

предполагать, что если покупателю безразлично, приобретать товар или нет, то он поступает благожелательно по отношению к продавцу и покупает товар. Учитывая это, при сворачивании дерева игры получаем следующие выигрыши продавца:

Π(p) =	0,	v(s) < p
	p	c(s), v(s) > p.
	−

Если v(s) > c(s), то есть в принципе есть смысл производить товар, то p = v(s) дает максимум прибыли. Если v(s) < c(s), то продавец не будет предлагать товар или же может назначить цену p > v(s), с тем, чтобы покупатель его не купил.

Таким образом, в равновесии при всех уровнях качества s, таких что v(s) > c(s), благо будет продаваться и цена будет p = v(s), Таким образом, любое равновесие является Паретооптимальным.

Рассмотрим теперь модификацию этой игры, предположив, вслед за Акерловым, что продавцам известен их тип, а покупателям известна только статистическая информация о возможных типах продавца — распределение типов s, причем покупатели нейтральны по отношению к риску.

Формально можем рассматривать эту модель как динамическую байесовскую игру и найти

вней совершенное байесовское равновесие — совокупность согласованных стратегий и ожиданий. В игре «нулевой» ход делает природа — она выбирает тип продавца. Дальше при каждом s дерево игры совпадает с деревом, изображенным на Рис. 12.2.

Найдем решение данной игры (совершенное байесовское равновесие). Напомним, что в совершенном байесовском равновесии ожидания определяются равновесными стратегиями игроков в соответствии с правилом Байеса, если это возможно, т. е. в ситуациях, возникающих

вигре с ненулевой вероятностью. С другой стороны, при данных ожиданиях и данных стратегиях других игроков, стратегия каждого игрока является оптимальной.

Таким образом, чтобы охарактеризовать равновесие в данной игре, следует задать:

Стратегию продавца: для каждого типа s продавать/не продавать и, если продавать, то по какой цене p.

Стратегию покупателя: покупать или не покупать при данной цене p.

Ожидания: покупатель, видя цену p, должен предложить, каким должно быть распределение качества. (Это распределение не обязательно совпадает с первоначальным.)

Заметим прежде всего, что потребитель при данной цене p решает задачу

E u = E(v(˜s) − px) → max .

x=0,1

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

455

Отсюда следует, что покупатель покупает благо, если его ожидаемая полезность не меньше нуля.

Дальнейшее свертывание данной игры невозможно, поскольку стратегия продавца зависит от ожиданий покупателя, которые, в свою очередь, зависят от стратегии продавца.

Ясно, что товары не могут продаваться по разным ценам. Пусть s0 продается по p0 , а s00 — по p00 , причем p0 > p00 . Но раз товар покупают по p0 , то продавец s00 мог назначить p0 , а не p00 .

Следовательно, цены всех продаваемых товаров в равновесии должны быть одинаковы. Т. е. p(s) = p¯ для товара любого качества s, которое продается.

Теперь посмотрим на решение продавать/не продавать по цене p¯. Если c(s) > p¯, то продавать невыгодно, а если c(s) < p¯, то выгодно.

Будем предполагать, вслед за Акерловым, что множество возможных типов составляет замкнутый отрезок числовой прямой, т. е. множество [a; b]. Заметим, что если распределение непрерывное, то без потери общности можно считать, что это равномерное распределение на отрезке [0, 1], т. е. s˜ U[0, 1].

Заметим, что логически возможны ситуации равновесия, когда продаются товары любого качества, когда часть товаров продается, а часть нет и когда все товары не продаются.

Охарактеризуем последовательно все три типа равновесия и условия, при которых они существуют.

1. Предположим, сначала что существует равновесие, при котором продаются товары всех уровней качества.

Тогда ожидания потребителей относительно уровня качества совпадают с априорными, и товар покупается тогда и (в предположении благожелательности потребителя) только тогда, когда ожидаемый потребительский излишек неотрицателен, т. е.

E u = E(v(˜s) − px) > 0.

Таким образом, продавец, максимизируя прибыль, будет продавать по максимальной цене, удовлетворяющей этому условию, т. е. по цене

Z 1

p¯ = E v(˜s) = v(s)ds.

0

Продавец любого типа заинтересован продавать благо по данной цене только если p¯ > c(s) s, что эквивалентно условию p¯ > c(1), поскольку функция c(·) возрастает (мы предполагаем здесь благожелательность продавца, т. е. что он будет продавать благо, даже если p¯ = c(s)). Следовательно, такое равновесие существует тогда и только тогда, когда

Z 1

v(s)ds > c(1).

0

2. Рассмотрим теперь равновесие, в котором часть благ продается, а часть — нет. Тогда в равновесии стратегии продавцов должны быть такими: существуют числа (¯p, s¯) такие, что продавец не продает при s > s¯, и назначает цену p = p¯, если продает. (Мы не будем рассматривать стратегии продавца следующего типа: если продавцу невыгодно продавать товар некоторого качества s по цене p¯, то он выставляет его на продажу и назначает цену такую, чтобы его не купили.)

Значит, в равновесии если благо продается, то s 6 c−1(¯p).

Если потребителю предложен товар по цене p = p¯ = c(¯s), то он ожидает, что не продаются товары с качеством s > s¯ (потому что таковы стратегии продавцов). При этом s¯ = c−1(¯p).

Если потребителю предложен товар по цене p = p¯ = c(¯s), то он ожидает, что не продаются товары с качеством s > s¯ (потому что таковы стратегии продавцов). Следовательно (по правилу Байеса), ожидания имеют вид s˜ U[0, s¯]. Поскольку концепция совершенного байесовского

12.2. Модели рынка с асимметричной информацией

456

равновесия не предписывает никаких ограничений на формирование ожиданий в ситуации отклонения от равновесных стратегий, то ожидания покупателя в случае, если он наблюдал бы цену p 6= p¯, могут быть любыми. Мы рассмотрим равновесие, в котором покупатель ожидает, что отклонение от равновесной стратегии p 6= p¯ не влечет за собой отклонение от равновесной стратегии «продавать при s [0, s¯]», т. е. его ожидания при цене p 6= p¯ имеют вид s˜ U[0, s¯].

При данных ожиданиях покупатель должен действовать оптимальным образом: если ожидаемая полезность неотрицательна, то он покупает благо. (Математическое ожидание здесь следует считать по ожиданиям, что s˜ U[0, s¯]. Плотность этого равномерного распределения равна 1/s¯.) Таким образом,

E(u | s˜ 6 s¯) = E(v(˜s)x − px | s˜ 6 s¯) = Z0	s¯	1
		v(s)		ds · x − px = (V (¯s) − p)x,
			s¯

где мы ввели обозначение

V (s) = 1 Z s v(t)dt. s 0

Если эта величина не меньше нуля, то благо покупается.

Продавцы максимизируя прибыль, назначат максимальную цену, при условии, что благо покупается, т. е. при условии, что

E(u(1) | s˜ 6 s¯) = V (¯s) − p > 0.

Т. е. в равновесии

p¯ = V (¯s).

Получаем систему уравнений, для равновесных параметров p¯ и s¯: p¯ = c(¯s), p¯ = V (¯s).

Заметим, что такое равновесие существует тогда и только тогда, когда эта система уравнений имеет решение (¯p, s¯), такое что 0 < s¯ < 1.

3. Рассмотрим, наконец, равновесие, в котором товары любого качества не продаются. Тогда при любых ожиданиях покупателя его ожидаемая оценка блага не меньше, чем v(0), поскольку v(·) возрастает. Таким образом, производитель мог бы выставить товар на продажу по цене не ниже v(0), и такой что потребитель бы его купил. Если производитель этого не делает, то его издержки выше v(0). Поскольку мы рассматриваем равновесие, в котором товары любого качества не продаются, то, в частности, издержки при качестве s = 0 выше, чем v(0). Следовательно, если равновесие указанного типа существует, то v(0) < c(0).

Наоборот, если условие v(0) < c(0) выполняется, то существует равновесие, в котором товар любого качества не продается. Для того, чтобы это показать, следует указать ожидания покупателей, поддерживающих это равновесие.

Один из возможных вариантов таких ожиданий состоит в том, что s˜ U[0, s¯], где s¯ выбирается так что p = V (¯s), если

Z 1

V (1) = v(s)ds 6 p,

0

и s˜ U[0, 1] в противном случае.

Равновесие может быть не единственным, причем разные равновесия могут отличаться с точки зрения объема продаж и ожидаемого уровня благосостояния.

Пусть, например, функции v(·) и c(·) таковы, что

v(0) < c(0), V (1) > c(1).

Тогда в модели имеется как минимум два вида равновесия: в одном из них товар не продается вне зависимости от качества, в другом — товар любого качества продается.