s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s				Глава
Монополия				13

Как показывают теоремы благосостояния (см. параграф 5.5), мир совершенной конкуренции достаточно просто и хорошо устроен: каждое равновесие оказывается (при естественных предположениях) Парето-оптимальным и каждое оптимальное по Парето состояние экономики можно реализовать (при подходящем перераспределении начальных запасов, прав собственности, налогах и т. д.) как равновесие. Предположения совершенной конкуренции, однако, не всегда достаточно удовлетворительно описывают ситуации на существующих рынках. Так, с гипотезой рационального поведения несовместимо предположение о том, что производитель является ценополучателем (рассматривает цену как неизменную) в ситуации, когда у него нет конкурентов или их немного. В этой главе мы изучим, чем принципиально рынки, где отсутствуют условия совершенной конкуренции (так называемые несовершенные рынки), отличаются от совершенных рынков.

Анализ несовершенной конкуренции традиционно проводится в рамках квазилинейной экономики (см. гл. 6). При этом предполагается, что рынок данного продукта не связан с остальными рынками, т. е. неявно подразумевается, что экономика не только квазилинейна, но и сепарабельна по рассматриваемому благу. Это предположение позволяет проводить частный равновесный анализ, что существенно упрощает рассуждения. Если бы анализ проводился в рамках общей модели общего равновесия, то это не позволило бы сделать конкретные предсказания о результатах функционирования рынка. Естественно начать с наиболее простого случая несовершенного рынка, когда имеется всего один производитель рассматриваемого продукта.

13.1Классическая модель монополии

Монополией называют фирму, которая является единственным производителем некоторого блага. Напомним классическую модель поведения монополиста.

Предположим, что существует «много» потребителей данного блага, и поэтому условия совершенной конкуренции выполняются «на стороне потребителей». Мы предполагаем, таким образом, что потребители рассматривают условия покупки, предлагаемые монополистом, как данные. В классической модели монополии фирма-монополист предлагает всем потребителям производимое благо по одной и той же цене p. Исходя из этой цены (являясь ценополучателем), каждый потребитель предъявляет свой спрос на благо. Функцию совокупного спроса, т. е. сумму индивидуальных функций спроса, мы обозначим через D(p). Будем считать, что рассматриваемое благо — нормальное, т. е. функция спроса D(p) не возрастает.

Предположим далее, что допустимые технологии фирмы-монополиста описывает функция издержек c(y). Обычно предполагается, что цель монополиста состоит в максимизации прибыли1. Таким образом, монополист выбирает цену, являющуюся решением следующей задачи:

Π(p) = pD(p) − c(D(p)) → max .

p

1Здесь и далее, если не оговорено противное, мы не накладываем ограничение на положительность прибыли. Предполагается, что производитель не может свернуть производство и уйти из отрасли.

463

13.1. Классическая модель монополии

464

Монополист

p

xПотребитель

px−c(x) v(x)−px

Рис. 13.1. Представление классической модели монополии в виде игры

Эту цену pM и соответствующий ему объем производства yM = D(pM) будем называть равновесием при монополии.

Заметим, что модель монополии можно рассматривать как двухэтапную игру с почти совершенной информацией. На первом этапе монополия выбирает цену. На втором этапе потребители одновременно выбирают количества блага, которые они хотели бы приобрести при данной цене. Модель монополии является при такой интерпретации редуцированной игрой первого этапа для описанной динамической игры, а равновесие при монополии можно рассматривать как исход, соответствующий совершенному в подыграх равновесию этой игры.

Потребители i = 1, . . . , m моделируются квазилинейными функциями полезности вида ui(xi, zi) = vi(xi) + zi , где xi > 0 — потребление блага, производимого монополией, zi — потребление «квазилинейного» блага, которое можно интерпретировать как деньги, оставшиеся на покупку других благ, а vi(xi) — денежная оценка данным потребителем потребления производимого монополией блага в объеме xi . Если монополия предлагает благо по цене p, то выбор потребителя является решением следующей задачи максимизации потребительского излишка:

vi(xi) − pxi → max .

xi

Поскольку в классической модели монополии цена одинаковая для всех потребителей, то можно упростить анализ за счет агрегирования потребителей, заменив m исходных потребителей на одного репрезентативного с функцией полезности u(x, z) = v(x)+z . (Способ получения оценки v(·) на основе оценок vi(·) подробно описан в гл. 6.) Репрезентативный потребитель является ценополучателем и предъявляет такой же спрос, как и m исходных потребителей.

Модель монополии удобно представить в виде игры с двумя игроками — монополистом и репрезентативным потребителем. Монополист делает первый ход, выбирая цену p, затем репрезентативный потребитель выбирает величину покупки (потребления) x > 0. Выигрыш монополиста — это его прибыль px − c(x), а выигрыш репрезентативного потребителя — его излишек v(x) − px. Рис. 13.1 демонстрирует дерево такой игры.

Задачу монополиста можно преобразовать к виду, который во многих случаях бывает более удобным. Обозначим через p(y) = D−1(y) обратную функцию спроса. Будем предполагать, что она определена при2 y > 0 (т. е. область значений прямой функции спроса — интервал [0, ∞)). Тогда объем производства монополиста yM находится как решение следующей задачи:

Π(y) = p(y)y − c(y) → max .

y>0

2Данное условие подразумевает, в числе прочего, что функция p(y) определена при y = 0, что, безусловно, является слишком ограничительным предположением. Так, оно не выполнено для функции p(y) = 1/√y . Тем не менее, несложно переформулировать дальнейший анализ так, чтобы он подходил для этой и ей подобных функций.

13.1. Классическая модель монополии

465

13.1.1Свойства монопольного равновесия

Предположим, что обратная функция спроса и функция издержек являются дифференцируемыми при y > 0. Производная функции прибыли Π(y) равна

Π0(y) = p(y) + p0(y)y − c0(y).

Объем производства yM , являющийся решением задачи максимизации прибыли, должен удовлетворять условию первого порядка

Π0(yM) = p(yM) + p0(yM)yM − c0(yM) 6 0,

причем по условию дополняющей нежесткости, если решение задачи внутреннее (yM > 0), то

производная равна нулю, т. е.

p(yM) + yMp0(yM) = c0(yM).

Из условия первого порядка следует, что если p(0) > c0(0), то выпуск монополии будет положительным (yM > 0). Максимум не может достигаться в нуле, так как если yM = 0, то

должно быть выполнено

Π0(0) = p(0) − c0(0) 6 0,

что противоречит предположению p(0) > c0(0). Если разность p(y) − c0(y) убывает, то условие p(0) > c0(0) является не только достаточным, но и необходимым условием положительности монопольного выпуска (докажите это самостоятельно). Выполнение этого условия необходимо, чтобы сделать анализ содержательным, так как при p(0) 6 c0(0) нулевой объем производства выгоден как с точки зрения монополиста, так и с точки зрения общества, и предмет анализа — рынок — отсутствует3.

Будем предполагать, что приведенное условие выполнено, так что yM > 0. Условие первого порядка в этом случае означает, что так же, как и в условиях совершенной конкуренции, предельная выручка равна предельным издержкам:

p(yM) + yMp0(yM) = MR(yM) = MC(yM) = c0(yM).

Отличие состоит в том, что в ситуации монополии цена, по которой фирма-монополист может продать продукцию, p(y), меняется в зависимости от количества, поэтому предельная выручка не равна цене.

Приведем стандартную графическую иллюстрацию равновесия при монополии. Укажем сначала простой способ4 построения на графике точек кривой предельной выручки MR(y). Проведем касательную к кривой спроса в точке, соответствующей некоторому объему производства y˜. Соответствующая объему производства y˜ точка кривой предельной выручки строится следующим образом: проекция точки (˜y, p(˜y)) на ось ординат отстоит от точки пересечения с этой осью касательной на в два раза большее расстояние, чем проекция самой этой точки (˜y, MR(˜y)) на кривую спроса (см. Рис. 13.2).

Другими словами, точка предельной выручки для объема производства y˜ лежит на медиане треугольника, отсекаемого от положительного ортанта касательной к кривой спроса в той же точке y˜. В случае же линейной функции спроса кривая предельной выручки оказывается просто соответствующей медианой треугольника, гипотенуза которого — кривая спроса.

Для решения монополиста можно привести графическую иллюстрацию (Рис. 13.3). Здесь MR(y) = p(y)+p0(y)y — кривая предельной выручки монополиста, а MC(y) = c0(y) — кривая предельных издержек.

3Анализ равновесия на монопольном рынке с точки зрения благосостояния проводится ниже. Для квазилинейной экономики верно p(y) = v0(y), поэтому p(y) − c0(y) = v0(y) − c0(y) = W 0(y).

4. Этот способ построения кривой предельной выручки основывается на определении и свойствах касательной в точке y˜ к кривой спроса.

13.1. Классическая модель монополии

466

p

p(˜y)

D

MR(˜y)

MR

y

y˜

Рис. 13.2. Построение кривой предельной выручки

p

pM

D

MC

MR y

yM

Рис. 13.3. Равновесие при монополии

Пример 61:

Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a − by, и издержки заданы функцией

c(y) = cy (a, b, c - константы). Тогда прибыль монополии равна
Π(y) = y(a − by) − cy = (a − c)y − by2.
Максимум прибыли будет достигнут при
yM = a − c	и pM = a + c.	4
2b	2

Условие равновесия при монополии можно представить в виде, явно демонстрирующем зависимость монопольной цены от издержек производителя и эластичности спроса на его продукцию.

Напомним определение эластичности спроса по цене в заданной точке:

ε(p) = D0(p)Dp(p).

С учетом наших предположений о функции спроса эластичность как функцию от объема производства можно записать как

1 p(y)

ε(y) = p0(y) y .

Поскольку мы предполагаем, что функция спроса убывает, то эластичность отрицательна, и

1 p(y)

|ε(y)| = −ε(y) = −p0(y) y .

13.1. Классическая модель монополии

467

Используя эластичность, условие первого порядка можно записать в виде

"#

p(yM) 1 −	1		= c0(yM)
	|ε(yM)|

Заметим, что из условий первого порядка при естественном предположении о положительности предельных издержек (c0(y) > 0) следует, что выбранный монополистом объем производства лежит на «эластичном» участке кривой спроса, т. е.

|ε(yM)| > 1.

Другая форма записи условия первого порядка максимума прибыли монополии имеет вид:

p(yM) − c0(yM)	=		1	.
p(yM)
		|ε(yM)|

— российского происхождения. ОнВыражение справа называется индексом Лернера5. Он измеряет степень искажения из-за несовершенной конкуренции через относительную величину отклонения цены от предельных издержек. Заметим, что индекс Лернера принимает значения меньшие единицы и равен нулю в условиях, когда спрос на продукция данного производителя является совершенно эластичным (при монопольном выпуске yM). Стоящая справа обратная эластичность измеряет степень монопольной власти производителя. Если эластичность спроса бесконечна, то фирма является ценополучателем и не обладает рыночной властью.

Если обратная функция спроса p(·) и функция издержек монополиста c(·) дважды дифференцируемы, то объем производства yM б максимизирующий прибыль, удовлетворяет также и условию второго порядка:

2p0(yM) + yMp00(yM) − c00(yM) 6 0.

Это условие можно также представить в виде

MR0(yM) 6 MC0(yM).

Данное соотношение означает, что тангенс угла наклона кривой предельной выручки не превышает тангенс угла наклона кривой предельных издержек в точке их пересечения yM . Другими словами, кривая предельной выручки пересекает кривую предельных издержек сверху вниз. Удобно считать, что условие второго порядка выполняется как строгое неравенство, т. е.

2p0(yM) + yMp00(yM) − c00(yM) < 0.

Это условие вместе с условием первого порядка гарантирует, что удовлетворяющий им объем производства yM отвечает точке локального максимума прибыли.

Поскольку монополия учитывает, что ее выпуск влияет на цену, то она при прочих равных условиях не может производить больше, чем фирма в условиях совершенной конкуренции, которая этого не учитывает. Рассмотрим воображаемую фирму, имеющую ту же функцию издержек и сталкивающуюся с тем же спросом, что и рассматриваемая фирма-монополист, но являющуюся ценополучателем. Такая фирма выберет такой объем производства y¯, что при при фиксированной цене p = p(¯y) он приносит максимум прибыли, т. е. решает задачу

py − c(y) → max .

y>0

5Американский экономист Абба Лернер предложил использовать показатель монопольной силы, который впоследствии был назван по его имени, в статье A. P. Lerner: The Concept of Monopoly and the Measurement of Monopoly Power, Review of Economic Studies 1 (1934): 157–175.

13.1. Классическая модель монополии

468

При дифференцируемости равновесный выпуск y¯ удовлетворяет условию p(¯y) − c0(¯y) 6 0 (цена не превышает предельные издержки). Если равновесие внутреннее (y¯ > 0), то цена равна предельным издержкам:

p(¯y) − c0(¯y) = 0.

Теорема 128:

Предположим, что (обратная) функция спроса убывает, yM — объем производства, выбранный монополией, а y¯ — объем производства, который был бы выбран фирмой с такой же функцией издержек, но действующей как ценополучатель6. Тогда

(i)yM 6 y¯.

(ii)Если, кроме того, функция спроса и функция издержек дифференцируемы, yM > 0

и p0(yM) < 0, то yM < y¯.

Доказательство: По определению, yM максимизирует прибыль монополии. Поэтому

p(yM)yM − c(yM) > p(¯y)¯y − c(¯y).

С другой стороны, выпуск y¯ обеспечивает максимальную прибыль фирме-ценополучателю при неизменной цене p(¯y). Поэтому

p(¯y)¯y − c(¯y) > p(¯y)yM − c(yM).

Сложив эти два неравенства, получим

p(yM)yM > p(¯y)yM.

Достаточно рассмотреть случай yM > 0 (при yM = 0 доказываемое утверждение тривиально). При этом p(yM) > p(¯y), откуда, учитывая убывание обратной функции спроса, следует, что yM 6 y¯.

Докажем вторую часть теоремы. Так как yM > 0, функции спроса и издержек дифференцируемы, то выполнено условие первого порядка в виде равенства. Поскольку p0(yM) < 0, то

цена в равновесии выше предельных издержек:
p(yM) − c0(yM) = −yMp0(yM) > 0,
Выпуск y¯, с другой стороны, удовлетворяет соотношению p(¯y)	−	c0	(¯y)	6	0. Отсюда следует,
что y¯ не может совпадать с yM , следовательно, yM < y¯.

Монотонности функции спроса, вообще говоря, недостаточно для справедливости второй части утверждения (т. е. условие p0(yM) < 0 теоремы существенно), что показывает контрпример, показанный на Рис. 13.4, где p(y) = (y − 1)3 + 1 и c(y) = y2/2. В этом примере кривая предельной выручки касается кривой спроса в точке y = 1, и через ту же самую точку проходит кривая предельных издержек.

Помимо вышеприведенных свойств монопольного равновесия, представляет интерес поведение решения и его характеристик при изменении параметров модели, что составляет предмет сравнительной статики, рассматриваемой в следующем параграфе.

6Понятно, что «конкурентного» объема y¯ может не существовать, если предельные издержки убывают.