3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя	92

3.3Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

Данный параграф посвящен изучению того, как изменения условий, при которых рациональный потребитель осуществляет выбор, более конкретно, изменения его бюджетного множества, влияют на этот выбор и благосостояние потребителя.

3.3.1Сравнительная статика: зависимость спроса от дохода и цен. Закон спроса

Вэтом разделе мы обсудим поведение выбора потребителя при изменении цен благ и дохода и установим условия, при которых это изменение соответствует обычным представлениям (например, спрос на благо растет при росте дохода или снижении цены этого блага).

Вэтом параграфе мы будем рассматривать спрос либо как функцию, либо как отображение. Что именно имеется в виду должно быть понятно из контекста.

Пусть спрос представляет собой дважды дифференцируемую функцию, значения этой функции представляют собой внутренние потребительские наборы (x(p, R) X ), и для таких наборов матрица Гессе функции полезности (H(x)) является отрицательно определенной,

и выполнено x| ru(x) > 0. Имеется следующая система уравнений, характеризующая спрос и множитель Лагранжа бюджетного ограничения при данных ценах и доходе:

ru(x(p, R)) = λ(p, R)p, p|x(p, R) = R.

Эти уравнения можно рассматривать как тождества. Дифференцируя их по ценам и доходу и преобразуя, получаем

∂x

= λ

H−1ru

(◦)

∂R

u

r

u|H−1

r

и

∂x

H

1

ux|

+ H−1 u

u|H 1

= λ H−1 −

−

r

r r

−

! ,

(◦◦)

∂p

r

u|H−1 u

r

где λ = ru| x/R. Вычисления здесь несколько громоздкие, но не очень сложные. Читатель может попробовать провести их самостоятельно (см. задачу 137). Полученные соотношения выражают производные функции спроса через производные функции полезности в данной точке x = x(p, R). Заметьте, что в эти формулы не входят цены, а доход влияет только на множитель λ, но не на знак и структуру производных.

Обсудим сначала влияние изменения дохода. Обычные предположения о предпочтениях потребителя (локальная ненасыщаемость, монотонность, выпуклость) мало что говорят о характере этого влияния. Фактически, мы можем дать только определения, которые могут быть полезными в дальнейших рассуждениях.

Определение 28:

Кривой Энгеля для заданного вектора цен p¯ называется функция φ(R) = x(p¯ , R), сопоставляющая доходу потребителя R его спрос на блага.

Как правило, ожидается, что если доход потребителя растет, то потребление благ тоже растет. Блага, которые соответствуют таким ожиданиям принято называть нормальными.

∂R

∂xi(p,R)

∂R

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

93

Определение 29:

Благо i называется нормальным при ценах p и доходе R, если спрос на него растет в точке (p, R) при увеличении дохода потребителя.

Благо i называется нормальным, если оно является нормальным при всех ценах и доходах, для которых определен спрос.

Однако вполне можно вообразить такое благо, спрос на которое снижается при увеличении дохода потребителя (по крайней мере в некоторой области сочетаний цен и дохода).

Определение 30:

Благо i называется малоценным при ценах p и доходе R, если спрос на него падает в точке (p, R) при увеличении дохода потребителя.

Влияние дифференциально малых изменений дохода характеризует производная маршаллианского спроса по доходу (если спрос представляет собой дифференцируемую функцию). Если доход меняется на величину dR, то в результате спрос должен измениться на величину

dx = ∂x(p, R)dR. ∂R

Если ∂xi(p,R) > 0, то благо i следует назвать нормальным при ценах p и доходе R, а если

< 0, то малоценным.

Согласно уравнению (◦) (с учетом того, что ru| H−1ru < 0), поведение спроса при изменении дохода определяется вектором H−1ru. Если i-й элемент этого вектора отрицателен, то i-е благо является нормальным, а если положителен, то малоценным.

Перейдем теперь к рассмотрению влияния изменения цен. Напомним, что согласно стандартному определению функция спроса удовлетворяет закону спроса, если спрос на благо снижается при росте его цены. Естественное обобщение этого свойства приводит с следующему определению.

Определение 31:

Будем говорить, что отображение спроса x(·) удовлетворяет закону спроса, если для x = x(p, R) и x0 = x(p0, R) выполнено соотношение20

(p0 − p)(x0 − x) 6 0.

Действительно, данное свойство тесно связано с ожидаемым свойством спроса: если цена i-го товара выросла при неизменности остальных цен, то приведенное неравенство означает, что спрос на i-ый товар не может вырасти.

Как известно, закон спроса выполняется не для всех функций спроса, порожденных задачей максимизиции полезности потребителя. Теоретически можно вообразить так называемые товары Гиффена, спрос на которые растет при росте цены.

Эффект Гиффена, например, наблюдается в случае следующей функции полезности:

q

u(x1, x2) = 2x1 + 3x2 − (2x1 + x2 − 8)2 + 1.

Отметим, что эта функция является строго монотонной и строго квазивогнутой. На Рис. 3.5 изображены кривые безразличия для этой функции. Пунктиром показано, как меняется спрос потребителя при постоянных доходе и цене второго блага (R = 3, p2 = 1). Точками показан спрос для двух разных бюджетных ограничений; при более высокой цене первого блага потребитель предъявляет на него более высокий спрос.

20В русской традиции закон спроса иногда называют свойством монотонности спроса.

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

94

4
3
2
1
0
0	1	2	3	4	5
	Рис. 3.5. Пример эффекта Гиффена

Более слабое, чем закон спроса, свойство, используемое при изучении влияния изменения цен на потребительский выбор, называется законом спроса при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому. Приведем его формулировку.

Пусть x0 — потребительский набор, который является спросом при некоторых заданных ценах p0 , т. е., в предположении локальной ненасыщаемости предпочтений, x0 x(p0, p0x0). Отображение, задаваемое формулой

xs(p, x0) = x(p, px0),

называется компенсированным спросом по Слуцкому. Закон спроса при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому заключается в следующем.

Определение 32:

Будем говорить, что отображение спроса x(·) удовлетворяет закону спроса при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому, если для x xs(p, x0) = x(p, px0) выполнено соотношение

(p − p0)(x − x0) 6 0.

Если спрос является функцией, то это соотношение можно записать в виде

(p − p0)(xs(p, x0) − xs(p0, x0)) 6 0.

Отметим очевидное отличие формулировки этого свойства от обычного закона спроса: данное свойство должно выполняться при компенсированном, а не фиксированном доходе.

В отличие от закона спроса, закон спроса при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому выполняется при естественных предположениях относительно предпочтений, что показывает нижеследующее утверждение.

Теорема 35:

Предположим, что предпочтения потребителя непрерывны и локально ненасыщаемы. Тогда выполняется закон спроса при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому.

Доказательство: Поскольку предпочтения локально ненасыщаемы, то бюджетное ограничение выходит на равенство для набора x, являющегося спросом потребителя при ценах p и доходе px0 , т. е. px = px0 . Аналогично, p0x0 = R Пользуясь этим, получим

(p − p0)(x − x0) = px − px0 − p0x + p0x0 = p0x0 − p0x = R − p0x.

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

95

Очевидно, что x0 B(p, px0). Таким образом, если x B(p0, R), то два набора выявленно эквивалентны и x x(p0, R) (см. пункт (vi) Теоремы 23 на с. 67), и поэтому, с учетом локальной ненасыщаемости, p0x = R, т. е. рассматриваемая величина равна нулю. Доказываемое неравенство будет строгим, если x / B(p0, R). Действительно, если x / B(p0, R), то p0x > R, т. е. рассматриваемая величина отрицательна.

Замечание: Доказанное свойство тесно связано с теорией выявленных предпочтений (см. параграф 3.B). Действительно, набор x0 — спрос при ценах p0 , а набор x — спрос при ценах p. По слабой аксиоме выявленных предпочтений (см. Определение 20 на с. 50) неравенства px0 6 px и p0x < p0x0 не могут быть верными одновременно (не может быть, чтобы одновременно набор x был выявленно не хуже x0 , а x0 — выявленно лучше x). Поскольку первое неравенство выполнено (по определению компенсированного спроса по Слуцкому), то второе неравенство неверно. Значит, p0x > p0x0 .

Исходя из доказанной теоремы мы можем утверждать только, что закон спроса выполняется при условии компенсирующего изменения дохода, т. е. при условии, что доход изменился таким образом, чтобы компенсировать рост цены и позволить потребителю покупать прежний потребительский набор. Тем не менее, данное свойство достаточно информативно и может служить полезным инструментом анализа, как показывает, в частности, следующий пример.

Пример 21:

Рассмотрим экономику с двумя благами. В первый момент времени вектор цен был равен p0 = (1, 1), а доход потребителя R0 = 8. Во второй момент времени цены изменились и стали равны p1 = (1, 2), а доход стал равен R1 = 12. Спрос потребителя в первый момент времени был равен x0 = (6, 2). Известно, что данный спрос порожден монотонной положительно однородной первой степени функцией полезности. Попробуем найти все возможные значения, которые может принимать спрос во второй период. В данном примере у нас изменились сразу два параметра: цена второго блага и доход потребителя. Разложим это изменение на два последовательных: (1) изменение цены при компенсирующем доходе; (2) изменение дохода. Компенсированный доход, отвечающий изменению цен от (1, 1) до (1, 2) равен 10 (1 ·6 + 2 ·2). В силу закона спроса при компенсирующем изменении дохода и в силу локальной ненасыщаемости предпочтений спрос потребителя при таком изменении, x˜ = (˜x1, x˜2), должен удовлетворять двум условиям:

x˜1 + 2˜x2 = 10, (1 − 1)(˜x1 − 6) + (2 − 1)(˜x2 − 2) = x˜2 − 2 6 0,

или

x˜1 + 2˜x2 = 10, x˜2 6 2.

8	8			8
	5	(6, 2)		(7,2, 2,4)
	(6, 2)
	8	8	10	8	10	12

Рис. 3.6. Оценка спроса при изменении цен и дохода в случае однородной функции полезности

Теперь можно воспользоваться свойством отображения спроса для однородной функции полезности, установленным нами в Примере 10. Точнее, мы установили, что если доход потребителя увеличивается в α раз, то и спрос в этом случае также увеличится в α раз. С учетом

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

96

этого свойства получаем, что спрос во второй период подчинен следующим ограничениям:

x˜1 + 2˜x2 = 12, x˜2 6 2,4.
Приведенные рассуждения иллюстрирует Рис. 3.6.	4

Аналогичное свойство спроса выполняется и при компенсации дохода по Хиксу, т. е. при таком таком изменении дохода, при котором выборы характеризуются заданным уровнем полезности. Это свойство мы будем называть законом спроса при компенсирующем изменении дохода по Хиксу. Заметим, что хиксианский спрос часто называют компенсированным спросом, поскольку это спрос при компенсирующем изменении дохода по Хиксу.

Определение 33:

Будем говорить, что отображение спроса x(·) удовлетворяет закону спроса при компен-

сирующем изменении дохода по Хиксу, если для любого допустимого набора x и любых цен p, p0 Rl++ при h h(p, x) и h0 h(p0, x) справедливо

(p0 − p)(h0 − h) 6 0.

Если спрос является функцией, то это соотношение можно записать в виде

(p0 − p)(h(p0, x) − h(p, x)) 6 0.

Теорема 36:

Если предпочтения потребителя непрерывны, то для отображения спроса рационального потребителя выполняется закон спроса при компенсирующем изменении дохода по Хиксу.

Доказательство: При непрерывности предпочтений h h0 x. Утверждение непосредственно следует из двух очевидных неравенств:

ph 6 ph0 и p0h0 6 p0h.

Сравним теперь два полученных нами варианта закона спроса при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому и по Хиксу. Пусть x0 — оптимальное решение задачи потребителя при ценах p0 и доходе R = p0x0 , и цены становятся равными p1 . Тогда рассматриваемые свойства спроса можно переформулировать в следующем виде:

по Слуцкому: (p1 − p0)(x(p1, p1x0) − x0) 6 0;

по Хиксу: (p1 − p0)(x(p1, e(p1, x0)) − x0) 6 0.

Таким образом, различие между двумя этими свойствами состоит, по сути, только в величине компенсации.

Пусть, например, цена первого блага упала, а цены остальных благ остались неизменными. Рассматриваемые компенсирующие изменения дохода делают новую ситуацию в определенном смысле похожей на исходную. Поскольку падение цены расширяет бюджетное множество потребителя, то доход должен упасть, т. е. следует произвести вычет из дохода, чтобы сделать новую ситуацию похожей на исходную. Величина компенсирующего вычета по Слуцкому равна s = R − p1x0 , а величина компенсирующего вычета по Хиксу равна h = R − e(p1, x0). Несложно понять, что s 6 h . Действительно, это неравенство эквивалентно тому, что p1x0 > e(p1, x0) = p1h(p1, x0). Последнее неравенство непосредственно следует из определения функции расходов (потребительский набор x0 допустим в соответствующей двойственной задаче, и его стоимость не может быть меньше минимума e(p1, x0)).

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя		97
x2	x2
s	h
x0	x0
	x1	x1

Рис. 3.7. Компенсирующие изменения дохода по Слуцкому и Хиксу при p01 > p11 , p02 = p12 = 1

Обе указанные формы компенсирующего изменения дохода имеют достаточно ясную графическую интерпретацию. Предположим, что в исходной ситуации цены равны p0 = (p01, 1), а доход составляет R. Предположим, что упала цена первого блага, а цена второго блага и доход остались неизменными, т. е. p1 = (p11, 1), p01 > p11 . На Рис. 3.7 показана разница в определениях компенсирующего изменения дохода по Слуцкому и Хиксу. На левом рисунке показан способ нахождения компенсирующего изменения дохода по Слуцкому. Строим обе бюджетные линии. Находим спрос в исходной ситуации. После этого двигаем новую бюджетную линию так, чтобы она проходила через точку исходного спроса. Разница между доходом, отвечающим этому положению, и исходным доходом и будет компенсирующим изменением по Слуцкому.

На втором рисунке показан способ нахождения компенсирующего изменения дохода по Хиксу. Отличие от предыдущего случая состоит в том, что в этот раз мы двигаем бюджетную линию до точки касания с исходной кривой безразличия.

Заметим, что хотя изменения спроса по Хиксу и Слуцкому, вообще говоря, различаются, они совпадают при дифференциально малом изменении цен, а именно,

s

p0, x0)

dx(p, px0)

0 0

0

)

0 p0x0)

∂x (

=

=

∂x(p , p

x

+

∂x(p ,

x0

∂p

dp

∂p

∂R

p=p0

и

∂h(

p0, x0)

dx(p, e(p, x0))

0 0

0

)

0 p0x0)

=

=

∂x(p , p

x

+

∂x(p ,

h(p0, x0).

∂p

dp

∂p

∂R

p=p0

Приведенные выражения равны между собой, поскольку набор x0 является спросом при ценах p0 и, следовательно,

h(p0, x0) = x(p0, e(p0, x0)) = x0.

Оба выражения равны матрице замены S = S(p0, x0). Таким образом, если цены меняются на дифференциально малую величину dp, то компенсированный спрос меняется на величину dx = Sdp. Видим, что закон спроса при компенсирующем изменении дохода для дифференциально малых изменений будет иметь вид dp| dx = dp| Sdp 6 0. Очевидно, что это свойство тесно связано с тем, что матрица замены S отрицательно полуопределена21.

Вернемся теперь к обсуждению собственно закона спроса. В случае его выполнения мы получаем информацию об изменении спроса, обусловленную только изменением цен, без компенсирующего изменения дохода. В частности, в этом случае при определенных предположениях можно сделать вывод об отсутствии товаров Гиффена, то есть товаров, спрос на которые растет при росте цены.

21Матрица замены не может быть отрицательно определенной, поскольку, как мы видели ранее, она вырождена.

3.3. Влияние изменения цен и дохода на поведение потребителя

98

Если цены меняются на дифференциально малую величину dp, то маршаллианский спрос меняется на величину dx = ∂∂px dp. Как следует из уравнения (◦◦),

∂∂px = λT,

где через T = T(x) мы обозначили следующую матрицу:

T = H−1 − H−1rux| +|H−1ruru| H−1 . ru H−1ru

«Локальный» закон спроса (dp| dx 6 0) эквивалентен тому, что dp| Tdp 6 0 для любого изменения dp, т. е. тому, что матрица T является отрицательно полуопределенной. Как можно показать, отрицательная полуопределенность матрицы T эквивалентна тому, что в данной точке x = x(p, R) выполнено неравенство

	ru| x		x| Hx	6	4.	(0)
	ru| H−1ru	− ru| x

Для выполнения «глобального» закона спроса (см. Определение 31), необходимо и достаточно,

¯ ¯

чтобы это неравенство было выполнено для всех x X , где X — область значений функции спроса. Мы не станем приводить здесь доказательство данного утверждения (которое достаточно длинно и технично) и более точной его формулировки22.

Отметим, что, прямая проверка выполнения сформулированного неравенства даже в случае двух товаров достаточно трудоемка, а в пространствах большей размерности вряд ли представляется возможной, кроме как в простых случаях (например, когда предпочтения гомотетичны, см. задачу 148). Но оно может служить полезным источником для получения достаточных условий выполнения закона спроса. В частности, в рамках сделанных предположений, первое слагаемое отрицательно, поэтому закон спроса будет заведомо выполнен в

случае справедливости для всех ¯ следующего неравенства: x X

x| H(x)x

− ru(x)| x 6 4.

(Это условие можно использовать для решения задачи 147). Другое, еще более слабое, но более

удобное для проверки условие состоит в том, что − r для всех ¯ .

H(x)x 6 4 u(x) x X

Уравнение Слуцкого (см. Теорему 31) можно записать в виде

∂∂px = ∂∂hp − ∂R∂x x.

Получаем, что изменение спроса вследствие дифференциально малого изменения цен dp равно

dx = ∂∂pxdp = ∂∂hpdp − ∂R∂x xdp = Sdp − ∂R∂x xdp.

Данное уравнение указывает, что изменение спроса благо в результате бесконечно малого изменения цен dp можно разложить на две составляющие: эффект замены Sdp, и эффект дохода ∂R∂x xdp. Для выяснения того, выполнен ли в данной точке закон спроса, следует изучить знак величины dp| dx = dp| Sdp − dp| ∂R∂x xdp. Как мы видели, первое слагаемое, соответствующее эффекту замены, является неотрицательным. Таким образом, вывод зависит от величины

22Заинтересованный читатель сможет найти эти сведения в книге В. М. Полтерович: Экономическое равновесие и хозяйственный механизм, М.: Наука, 1990, с. 69–77. Некоторый вариант этого утверждения в терминах непрямой функции полезности можно найти в J. K. Quah: The Weak Axiom and Comparative Statics, Working Paper, No. W15, Oxford: Nuffield College, 1999.