15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
605 |
Во-вторых, все выбираемые любым типом работников θ пакеты равнопривлекательны как для этих работников, так и для предложивших их нанимателей. То, что они равнопривлекательны для работников очевидно. Равнопривлекательность для нанимателей следует из того, что если один из нанимателей получает более низкую прибыль от сделок с работниками типа θ, чем другой, то он мог бы предложить работникам этого типа пакеты своего конкурента. При этом условия самовыявления не нарушаются, поскольку для работников других типов предпочтительны другие пакеты.
Пусть один из нанимателей, например первый, получает положительную прибыль Π1 , причем Π1 > Π2 . Обозначим через (w¯θ, x¯θ) — пакет (один из пакетов, если их несколько), который выбирают работники типа θ. Тогда 2-й наниматель может предложить пакеты (w¯θ + ε, x¯θ), где ε > 0. Каждый из них более привлекателен для работника соответствующего типа θ, чем (w¯θ, x¯θ), причем ограничения самовыявления не нарушаются. Этот набор пакетов при достаточно малом ε дает нанимателю 2 типа более высокую прибыль (близкую к Π1 + Π2 ). Следовательно, такие пакеты не могут быть равновесными.
♣ В равновесии прибыль каждого нанимателя от сделки с каждым работником равна нулю, т. е. для любого пакета, который выбирается работниками выполнено w¯jθ = x¯jθ . Предположим, что это не выполнено для одного из нанимателей. Тогда существует хотя бы один пакет, дающий этому нанимателю положительную прибыль. В этом случае этот наниматель мог бы заменить все пакеты на этот и получить положительную прибыль.
Используя полученные свойства равновесия докажем сформулированное выше утверждение о единственности равновесия. Пусть это не так и существует равновесие, такое что
x¯jθ 6= xˆθ.
где, как и в случае наблюдаемости типов,
xˆθ = argmax{x − cθ(x)}.
Обозначим
= xˆθ − cθ(ˆxθ) − (¯xjθ − cθ(¯xjθ)).
Тогда > 0 и пакет (ˆxθ − /2, xˆθ) более предпочтителен для работника типа θ, и дает нанимателю j положительную прибыль. При этом прибыль от сделок с любыми другими работниками не может уменьшиться, поскольку в равновесии прибыль от любого пакета равна нулю.
Таким образом, равновесные пакеты имеют вид (ˆxθ, xˆθ), ненаблюдаемость типов в этом простом случае не влияет на структуру равновесия. Это равновесие будет Парето-оптималь- ным.
Отметим близкую аналогию данной модели и свойств равновесия с моделью олигополистической конкуренции Бертрана.
Заметим также, что фактически наниматели в данном случае используют линейный контракт вида w(x) = x, т. е. работник получает полностью доход, который он производит.
15.4.1Задачи
/653. Пусть в модели найма со скрытой информацией имеется два нанимателя и n типов работников с функциями издержек cθ(x) = θx2 . Вычислите равновесные пакеты.
/654. Пусть в модели найма со скрытой информацией имеется более двух нанимателей. Охарактеризуйте все равновесия.
/655. Пусть в модели найма со скрытой информацией имеется два нанимателя и два типа работников с функциями издержек cθ(x) = θx2 и производительностями y(x) = x/θ.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
606 |
(1)Покажите, что в равновесии любого типа прибыль от сделки любого нанимателя с работником любого типа равна нулю.
(2)Покажите, что не существует объединяющих равновесий.
(3)Покажите, что если существует разделяющее равновесие, то пакет для работников θ = 2 совпадает с его пакетом при наблюдаемости типов, а для θ = 1 определяется условием самовыявления и равенством нулю прибыли от сделки с ними.
(4)При каких условиях на доли работников разных типов равновесие существует. Вычислите равновесные пакеты, когда эти условия выполнены.
(5)При каких условиях равновесие будет Парето-оптимальным?
/656. (Модель Ротшильда — Стиглица12). Измените условия задачи 652 на с. 601, предположив, что на рынке существует несколько страховых компаний.
(А) Переформулируйте эту ситуацию в духе модели найма, опишите соответствующую игру и концепцию решения в этой игре (равновесия Ротшильда — Стиглица на рынке страховых услуг).
(Б) Покажите, что в условиях полной информации в равновесии Ротшильда — Стиглица фирмы получают нулевую прибыль. Найдите это равновесие.
(В) Покажите в условиях неполной информации в равновесии Ротшильда — Стиглица фирмы также получают нулевую прибыль.
(Г) Покажите, что если равновесие существует, то оно является разделяющим. Вычислите это равновесие.
(Д) Приведите пример, в котором равновесие Ротшильда — Стиглица не существует.
(Е) Проиллюстрируйте анализ на графике.
/657. Измените условия задачи 621 на с. 577, предположив, что на рынке несколько конкурирующих страховых компаний.
(А) Переформулируйте эту ситуацию в духе модели найма со скрытыми действиями, специфицируйте соответствующую игру и концепцию решения в этой игре (рыночное равновесие).
(Б) Покажите, что в условиях полной информации в равновесии фирмы получают нулевую прибыль. Найдите это равновесие.
(В) Покажите в условиях неполной информации в равновесии фирмы также получают нулевую прибыль.
(Г) Приведите пример, в котором равновесие не существует.
(Д) Проиллюстрируйте анализ на графике.
12См. M. Rothschild and J. E. Stiglitz: Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay on the Economics of Imperfect Information, Quarterly Journal of Economics 90 (1976): 630–649.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
607 |
15.4.2Модель сигнализирования на рынке труда (модель Спенса)
Рассмотрим модель рынка труда, которая основывается на следующих предположениях:
•Имеется два нейтральных к риску и конкурирующих между собой нанимателя. Они обладают одной и той же технологией с постоянной отдачей от масштаба и единственным фактором производства — трудом13.
•Существуют работники двух типов: низкопроизводительные, L, и высокопроизводительные, H . Работник типа L создает доход (добавленную стоимость) yL , а работник типа H — доход yH , причем yL < yH . (Для упрощения анализа мы рассмотрим вариант модели, в котором усилия работника могут принимать только одно значение, то есть выбор усилий является тривиальным.)
•Наниматели при подписании контракта не различают тип работника, но располагают информацией о доле работников разных типов на рынке. Доля работников типа L равна µL > 0, а доля работников типа H — µH > 0.
•По тем или иным причинам оплата по контракту не может зависеть от дохода, произведенного работником14.
Вэтих предположениях естественно считать, что взаимодействие экономических субъектов описывается игрой со следующей последовательностью ходов:
0. «Природа» выбирает тип работника θ = L или θ = H (с вероятностями µL и µH ).
1. Наниматели j = 1, 2, не зная типа работника, одновременно предлагают ему оплату, w1
иw2 .
2. Работник (зная свой тип) решает, подписывать ему контракт или нет, и если подписывать, то какой из двух.
Выигрыш нанимателя j в этой игре равен его ожидаемой прибыли µLyL + yH µH − wj или нулю, если работник не подписывает контракт. Выигрыш работника типа θ равен wj , если он соглашается на предложение нанимателя j и резервному уровню оплаты wθ0 , если он отказывается от обоих предложений. (При квазилинейности функции полезности работника по зарплате, т. е. когда она имеет вид uθ(w) = w − cθ , без ограничения общности можно считать, что издержки усилий cθ равны нулю, поскольку их можно добавить к wθ0 ).
Предположим15, что ожидаемый доход y¯ = µLyL + µH yH заведомо превышает wL0 и wH0 . Тогда в равновесии оба нанимателя предложат оплату y¯, а работники (обоих типов) согласятся с одним из этих предложений16.
Заметим, что при этом высокопроизводительные работники оказываются в невыгодном положении: существует потенциальная возможность получить более высокую полезность, но она не реализуется, поскольку наниматель в момент найма не может отличить их от низкопроизводительных работников. Поэтому высокопроизводительному работнику было бы выгодно каким-то образом сообщить нанимателю о том, какого он типа.
13Другими словами, если у нанимателя работают NL работников типа L и NH работников типа H , то общий созданный работниками продукт будет равен Y = yLNL + yH NH .
14Например, в фирмах работает большое количество работников, и наниматели наблюдают только совокупный результат их работы, но не вклад отдельного работника.
15Если условия участия могут быть активными, то модель усложняется за счет эффекта неблагоприятного отбора, который был проанализирован в главе о рынках с асимметричной информацией на примере модели Акерлова. Действительно, у высокопроизводительных работников резервный уровень оплаты может быть более высоким, и они могут вообще не обращаться к рассматриваемым нанимателям. Тогда наниматели будут иметь дело только с низкопродуктивными работниками.
Нас интересуют здесь другие явления, и поэтому мы делаем предположение, исключающее этот случай.
16При доказательстве этого рассуждения могут быть примерно такими же, как в модели олигополии Бертрана.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
608 |
Предположим, что работники (до найма) могут совершать какие-то действия, связанные для них с издержками, которые могут сигнализировать нанимателю о том, какого они типа. Конечно, такие сигналы могут быть информативными только при определенных обстоятельствах, что мы и обсудим ниже.
Дополнив рассматриваемую модель еще одним, предварительным, ходом — подачей сигнала — получим модель Спенса сигнализирования на рынке труда17.
Формально, будем предполагать, что работник до того, как ему будут предложены условия занятости (контракт), осуществляет некоторые действия18 a A R. Суть модели сигнализирования состоит в том, что высокопроизводительному работнику легче осуществлять такие действия, в том смысле, что для него увеличение уровня a связано с меньшим приростом издержек, чем для низкопроизводительного работника. Это может объясняться тем, что высокопроизводительные работники в принципе более способные. При таком предположении более высокий уровень действий a может служить сигналом нанимателям. Поэтому будем в дальнейшем называть переменную a сигналом. Множество сигналов A должно быть «достаточно богатым», чтобы сигнализирование было возможным, поэтому в дальнейшем будем предполагать, что множество A содержит не менее чем два элемента.
Мы будем предполагать, что функция полезности работника типа θ следующим образом зависит от заработной платы w и уровня сигнала a A:
uθ(w, a) = w − cθ(a),
причем cθ(a) — возрастающая (издержки работника растут с ростом a) и строго выпуклая функция (при дифференцируемости функций это означает, что предельная тягость действий a растет с ростом a).
Будем считать также, что функция cL(a) − cH (a) неотрицательна и возрастает. Содержательно это и означает, что работник типа H является более производительным, чем L. При дифференцируемости функций издержек можно ввести более сильное требование, что предельная тягость действий выше для работника типа L: c0L(a) > c0H (a) a A.
Доход, производимый работником, тоже может зависеть от сигнала19:
y = yθ(a),
причем доход не убывает по этой переменной и является вогнутой функцией (предельная производительность действий a не возрастает). Доход от высокопроизводительного работника всегда выше, чем от низкопроизводительного: yH (a) > yL(a) a A.
Модель сигнализирования Спенса предполагает следующую последовательность ходов:
0.«Природа» выбирает тип работника.
1.Работник выбирает уровень сигнала a.
2.Наниматель j , не зная типа, но наблюдая сигнал, предлагает ему оплату wj , причем все наниматели выбирают контракт одновременно.
3.Работник (зная свой тип) решает, подписывать ему контракт или нет, и если подписывать, то какой из двух.
17M. Spence: Job Market Signalling, Quarterly Journal of Economics 87 (1973): 355–374; M. Spence: Competitive and Optimal Responses to Signals: An Analysis of Efficiency and Distribution, Journal of Economic Theory 7 (1974): 296–332.
18У Спенса это образование.
19В статье 1973 года Спенс предполагал, что сигнал (полученное образование) не влияет на производительность работника. В следующей статье он расширил анализ и на случай, когда более высокий уровень образования обеспечивает более высокую производительность.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
609 |
В равновесии стратегия нанимателя предусматривает определенный контракт для каждого возможного уровня сигнала, поэтому такая стратегия задает оплату как функцию от сигнала:
wj = wj(a).
Таким образом, с точки зрения теории игр ход нанимателя в игре состоит в выборе числа wj , а его стратегия — это функция wj(a).
Дерево этой игры изображено на Рис. 15.24. Заметьте, что рисунок (из-за сложности изображения) не отражает тот факт, что наниматели не знают типа работника, когда предлагают уровни заработной платы w1 и w2 .
Природа
θ Θ
aРаботник
Наниматель 1 |
w1 |
|
Наниматель 2 |
w2 |
|
|
Работник |
|
|
0yθ(aθ)−w1 0
0 0 yθ(aθ)−w2
0w1−cθ(aθ) w2−cθ(aθ)
Рис. 15.24. Представление модели сигнализирования в виде дерева
Для упрощения анализа будем предполагать в дальнейшем, что резервные полезности работников, wL0 и wH0 ниже уровня yL(a) − cL(a) a A. Это предположение гарантирует, что оба нанимателя предложат такую оплату, что работник любого типа согласятся подписать контракт с одним из нанимателей.
В этой байесовской динамической игре ожидания и стратегии взаимосвязаны нетривиальным образом, поэтому для ее анализа недостаточно использовать обратную индукцию (см. обсуждение таких игр в Приложении ??).
Обратная индукция может быть использована здесь только для анализа выбора контракта работником. При данном выборе уровня сигнала a и данных предложениях зарплаты w1 , w2 работник типа θ получит полезность w1 − cθ(a), если выберет 1-го нанимателя, и w2 − cθ(a), если выберет 2-го нанимателя. Работник выберет вариант, дающий ему наибольшую полезность, то есть нанимателя, предлагающего самую высокую оплату. В случае, когда w1 = w2 , работник может, вообще говоря, использовать смешанную стратегию, выбирая нанимателей случайно с некоторой вероятностью.
Рассмотрим теперь выбор нанимателей. Наниматели наблюдают уровень сигнала a, выбранный работником, и на его основе формируют некоторые ожидания относительно возможного распределения типов работников. Обозначим эти ожидаемые вероятности через µ¯θ = µ¯θ(a). Формально ожидания — это функции µ¯θ(·), заданные на всех a из A, и принимающие значения из [0, 1], причем µ¯L(a) + µ¯H (a) = 1. Мы будем рассматривать только такие равновесия, в которых ожидания у обоих нанимателей одни и те же (на равновесной траектории они не могут различаться, поскольку должны соответствовать равновесным стратегиям работников разных типов, так что это предположение относится только к ситуациям выбора вне равновесной траектории). С точки зрения этих ожиданий доход представляет собой случайную величину, принимающую значение yθ(a) с вероятностью µ¯θ(a). Обозначим ожидаемый
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
610 |
доход через y¯ = y¯(a):
y¯(a) = µ¯L(a)yL(a) + µ¯H (a)yH (a).
Выбор w1 и w2 происходит одновременно, поэтому при данных a и {µ¯θ}, учитывая уже проанализированный выбор работником нанимателя, мы фактически имеем дело со статической игрой (точнее, с набором статических игр, различающихся только выигрышами, зависящими от параметров). Таким образом, здесь следует искать равновесие Нэша. Ожидаемые прибыли нанимателей равны y¯ − w1 и 0 соответственно при w1 > w2 и 0 и y¯ − w2 соответственно при w1 < w2 . При w1 = w2 = w наниматели делят общую прибыль y¯− w в некоторой пропорции, зависящей от того, каковы смешанные стратегии работников. В равновесии (аналогично модели без сигналов, рассмотренной выше) w1 = w2 = y¯, а ожидаемые прибыли равны нулю. Этот результат получается при любых ожиданиях, от ожиданий зависит только величина y¯.
Таким образом, если µ¯θ(a) — ожидания нанимателей после наблюдения сигнала a, то наниматели предлагают контракты
w1(a) = w2(a) = y¯(a) = µ¯LyL(a) + µ¯H yH (a).
Обозначим эту общую для нанимателей стратегию через w(a).
Как обычно для нетривиальных динамических байесовских игр, в данной игре, вообще говоря, существует бесконечно много равновесий. Логически возможны три класса равновесий:
çразделяющие равновесия (работники разных типов подают разные сигналы);
çобъединяющие равновесия (работники разных типов подают одинаковые сигналы);
çгибридные равновесия (часть работников одного типа подает один сигнал, другая часть — тот же сигнал, что и (все) работники другого типа).
Охарактеризуем эти равновесия и условия существования таких равновесий. Начнем с самого интересного, первого, случая — разделяющих равновесий.
Предположим, что такое равновесие существует. Тогда работники типов H и L подают различающиеся сигналы aL и aH . Обозначим соответствующие им уровни оплаты wL = w(aL), wH = w(aH ). В разделяющем равновесии наниматели по сигналу однозначно определяют тип работника. Поэтому, если наблюдается aθ , то ожидаемый доход равен yθ(aθ). Поскольку, как уже говорилось, конкуренция нанимателей сводит ожидаемую прибыль к нулю, то wL = yL(aL) и wH = yH (aH ).
Чтобы такая ситуация соответствовала равновесию, нужно, чтобы работник типа L предпочел подавать сигнал aL , а не aH , а работник типа H — сигнал aH , а не aL . Другими словами, выполняются соотношения
wH − cH (aH ) > wL − cH (aL)
и
wL − cL(aL) > wH − cL(aH ).
Подставив wθ = yθ(aθ), получим следующую характеристику сигналов aL и aH в разделяющем равновесии
yH (aH ) − cH (aH ) > yL(aL) − cH (aL)
и
yL(aL) − cL(aL) > yH (aH ) − cL(aH ).
Сложив эти два неравенства, получим
cL(aH ) − cL(aL) > cH (aH ) − cH (aL),
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
613 |
yL − cL(amin) > w(a) − cL(a) a A.
Заметим, что структура ожиданий нанимателей при a > aH не влияет на выбор работников. Следующая диаграмма (Рис. 15.26) иллюстрирует зависимость оплаты от сигналов в типичном разделяющем равновесии. В равновесии кривая w = w(a) должна лежать под кривой безразличия работника типа L, проходящей через точки (amin, yL) и (a0L, yH ), а также под кривой безразличия работника типа H , проходящей через точку (aH , yH ), и должна проходить
через точки (amin, yL) и (aH , yH ).
Задача: охарактеризуйте все разделяющие равновесия в модели Спенса, когда результат не зависит от сигнала.
w
w=yL+cH(a)−cH(amin) w=yL+cL(a)−cL(amin)
yH
w(a)
yL
a
aL=amin aL0 |
aH |
aH0 |
Рис. 15.26. Иллюстрация разделяющего равновесия в модели Спенса (результат не зависит от a)
Рассмотрим вопрос об эффективности равновесий. Могут иметь место разделяющие равновесия с любым уровнем сигнала работников типа H , aH , от a0L до a0H . По мере того, как уровень сигнала aH уменьшается, полезность работников типа H , yH − cH (aH ), возрастает, а полезность работников типа L остается без изменений на уровне yL −cL(amin). Наниматели во всех равновесиях получают нулевую ожидаемую прибыль. Таким образом, одни разделяющие равновесия доминируют по Парето другие. «Наилучшее» подобное равновесие достигается при aH = a0L , когда от работника типа H требуется меньше всего усилий.
Сравним теперь разделяющие равновесия с равновесием в модели без сигналов. В первом случае низкопроизводительные работники получают yL , при a = amin , в то время как без сигнала они получают оплату, равную средней производительности, w¯ = µLyL + µH yH ??тоже при a = amin , т. е. их положение при сигнализировании ухудшается. Полезность высокопроизводительных работников составляет yH − cH (aH ) и w¯ − cH (amin) соответственно, где aH > a0L > amin . Если доля низкопроизводительных работников мала, то w¯ близко к yH , поэтому при сигнализировании положение высокопроизводительных работников тоже может ухудшиться.
Поскольку мы рассматриваем квазилинейную экономику, то можем сравнить общие уровни благосостояния в двух случаях. Сравнение уровней благосостояния эквивалентно в данных моделях сравнению средней полезности работников. В разделяющем равновесии средняя полезность равна
µL(yL − cL(amin)) + µH (yH − cH (aH )) = w¯ − µLcL(amin) − µH cH (aH ),
а в равновесии без сигнализирования
µL(w¯ − cL(amin)) + µH (w¯ − cH (amin)) = w¯ − µLcL(amin) − µH cH (amin).
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
614 |
Таким образом, сигнализирование не приводит к росту общественного благосостояния (при любом уровне сигнала aH ).
Рассмотренный случай, когда сигнал не влияет на результат, конечно, не очень реалистичен, но зато он показывает в чистом виде феномен непродуктивного сигнализирования, который может возникать в условиях асимметричной информации. Если, вслед за М. Спенсом, интерпретировать a как уровень образования, тогда то, что мы наблюдаем в разделяющем равновесии, можно интерпретировать как чистый «эффект диплома»: высокопроизводительные работники приобретают диплом об образовании, с единственной целью — продемонстрировать, что их продуктивность выше, и получать в результате более высокую зарплату. При этом издержки таких усилий представляют собой чистые потери для общества. Такое видение функции образования является альтернативой концепции образования как инвестиций в человеческий капитал и представляет систему образования в карикатурном виде: функция образования заключается только в том, чтобы выяснить, какими потенциальными способностями обладает от природы человек, но не в том, чтобы научить чему-нибудь полезному в его будущей профессиональной жизни.
Охарактеризуем теперь объединяющие равновесия. Предположим, что в равновесии работники обоих типов выбирают одинаковые действия, a¯, что не позволяет нанимателям отличать работников. В таком равновесии работники обоих типов получают одинаковую оплату:
w¯ = µLyL + µH yH .
Определим сигнал a0 как решение уравнения
w¯ − cL(a0) = yL − cL(amin).
a0 представляет собой уровень сигнала, при котором работник типа L при оплате w¯ получает тот же уровень полезности, что и при оплате yL , выбрав уровень сигнала amin .
Тогда (необходимое) условие существования подобного разделяющего равновесия состоит в том, что a¯ 6 a0 .
Действительно, если a¯ 6 a0 , то при любых ожиданиях работодателей
w(amin) − cL(amin) > yL − cL(amin) = w¯ − cL(a0L) > w¯ − cL(¯a)
Это неравенство противоречит тому факту, что работник типа L выбрал сигнал a¯. Покажем теперь, что для всякого a¯ 6 a0 существуют ожидания, которые поддерживают
объединяющее равновесие с данным сигналом.
В частности, подходят ожидания следующего вида:
µ¯L(a) = 1, a < a¯
и
µ¯L(a) = µL, a > a¯.
Покажем, что это так (исходя при этом из предположения amin < a¯).
Если наниматели наблюдают сигнал a < a¯, то они установят оплату yL , если же a > a¯, то w¯ . Выбирая из допустимых a < a¯ любой работник выберет a = amin . Из a > a¯ любой работник выберет a = a¯. Опять, как и в объединяющем равновесии, решение работника сводится к выбору из двух вариантов. В данном случае это (yL, amin) и (w,¯ a¯). В равновесии работники обоих типов должны предпочесть второй вариант:
w¯ − cH (¯a) > yL − cH (amin)
и
w¯ − cL(¯a) > yL − cL(amin).
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
615 |
Первое из неравенств следует из второго (тягость одних и тех же действий для высокопроизводительного работника всегда ниже), поэтому оно излишне. Таким образом, поскольку при a¯ 6 a0 второе неравенство выполнено, то оба типа работника выберут a = a¯. При этом ожидания нанимателей оправдываются: в равновесии работники выбирают только a¯, так что вероятности остаются априорном уровне: µ¯L(¯a) = µL .
Существует бесконечно много других ожиданий, поддерживающих объединяющее равновесие при любом фиксированном уровне сигнала a¯ 6 a0 . Типичное такое равновесие представлено на Рис. 15.27. Кривая w(a) должна лежать под кривыми безразличия работников обоих типов, проходящими через точку (a,¯ w¯ ).
w 
w=w¯+cL(a)−cL(¯a)
w=w¯+cH(a)−cH(¯a)
yH 
w¯
w(a)
yL
a
amin a¯ a0 a0L
Рис. 15.27. Иллюстрация объединяющего равновесия в модели Спенса (результат не зависит от a)
Задача: охарактеризуйте все разделяющие равновесия в модели Спенса, когда результат не зависит от сигнала.
Задача:
Пусть множество A содержит только два элемента, результат не зависит от сигнала, и yH = γyL . Пусть также cL(a) = βLa и cH (a) = βH a.
(А) Покажите, что в этой модели всегда существует хотя бы одно разделяющее равновесие.
(Б) При каких γ при заданных функциях издержек объединяющее равновесие единствен-
но?
Как соотносится a0 с a0L и a0H ? По определению,
cL(a0) − cL(amin) = µH (yH − yL), cL(a0L) − cL(amin) = yH − yL.
Поскольку µH < 1, то
cL(a0) − cL(amin) = µH (yH − yL) < yH − yL = cL(a0L) − cL(amin).
откуда cL(a0) < cL(a0L) и a0 < a0L . Тем более a0 < a0H .
Самое простое, объединяющее равновесие соответствует уровню сигнала a¯ = amin . Это равновесие доминирует по Парето все другие объединяющие равновесия, поскольку от работников обоих типов требуются наименьшие усилия. Работники типа H получают в этом равновесии полезность w¯ − cH (amin), а работники типа L — полезность w¯ − cL(amin). Такое равновесие в точности воспроизводит равновесие в модели без сигналов.
Сравним теперь с точки зрения средней полезности работника наилучшее (по Парето) разделяющее равновесие с наилучшим объединяющим равновесием.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
616 |
До сих пор мы предполагали, что рассматриваемое равновесие модели Спенса является полностью разделяющим или же полностью объединяющим. Можно представить себе и равновесия, при которых, например, работники типа H подают сигнал a¯, часть работников типа L подают сигнал aL , а другие работники этого типа — сигнал a¯, «пытаясь выдать себя» за высокопроизводительных работников. Такие равновесия называются гибридными.
Охарактеризуем теперь гибридные равновесия указанного типа (будем называть их гибридными равновесиями 1-го типа).
Заметим, что рассуждая как и ранее, можно показать, что в любом гибридном равновесии aL = amin и w(aL) = yL . С другой стороны, из-за конкуренции нанимателей оплата w(¯a) должна совпадать с ожидаемой производительностью работников, подающих сигнал a¯, т. е.
w(¯a) = µLνyL + µH yH , µLν + µH
где ν — доля работников типа L, подающих сигнал a¯.
В гибридном равновесии указанного типа любой из двух сигналов не может оказаться для работника типа L более предпочтительным, чем другой, поэтому оба состояния, (¯a, w(¯a)) и (amin, yL), для него должны быть эквивалентны. Т. е., если такое равновесие существует, то величина a¯ удовлетворяет равенству
µLνyL + µH yH − cL(¯a) = yL − cL(amin) µLν + µH
или
cL(¯a) = cL(amin) + µH (yH − yL). µLν + µH
Таким образом, величина ν однозначно определяет уровень сигнала a¯, причем a¯ убывает как функция ν .
Покажем теперь, что для каждого ν (0, 1), существует гибридное равновесие данного типа. Для этого достаточно найти ожидания, поддерживающие данное равновесие.
Как и ранее, мы укажем одни из наиболее просто устроенных ожиданий:
µ¯L(a) = 1, a < a¯
и
µLν
µ¯L(a) = µLν + µH , a > a¯.
По построению ожиданий работник типа L не выберет никакой другой уровень сигнала, кроме a¯ и amin . С другой стороны, поскольку cL(a)−cH (a) возрастает, то работник типа H не выберет никакой другой уровень сигнала, кроме a¯. (Докажите это формально.)
Рис. 15.29 иллюстрирует такое равновесие.
Хотя в этом типе гибридного равновесия сигнал a¯ единственен, но различных ожиданий, поддерживающих такое равновесие, бесконечно много. Рис. 15.29 демонстрирует типичный случай.
Задача: охарактеризуйте все гибридные равновесия 1-го типа в модели Спенса, когда результат не зависит от сигнала.
Охарактеризуем теперь гибридные равновесия 2-го типа, при которых, работники типа L подают сигнал a¯, часть работников типа H подают сигнал aH , а другие работники этого типа — сигнал a¯.
Предположим, что такое равновесие существует. В любом таком равновесии w(aH ) = yH . Кроме того, оплата w(¯a) должна совпадать с ожидаемой производительностью работников,
подающих сигнал a¯, т. е.
w(¯a) = µLyL + µH νyH , µL + µH ν
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
617 |
ww=w(¯a)+cH(a)−cH(¯a)
w=yL+cL(a)−cL(amin)
yH
w(a) w(¯a) 
w¯
yL
a
amin a¯
Рис. 15.28. Иллюстрация гибридного равновесия 1-го типа в модели Спенса (результат не зависит от a)
w |
w=w(¯a)+cH(a)−cH(¯a) |
|
w=yL+cL(a)−cL(amin)
yH
w(¯a) |
w(a) |
w¯ |
|
yL |
|
|
a |
amin |
a¯ |
Рис. 15.29. Иллюстрация гибридного равновесия 1-го типа в модели Спенса (результат не зависит от a), ожидания общего вида
где ν — доля работников типа H , подающих сигнал a¯.
Кроме того, работники типа L не должны предпочесть вариант (amin, w(amin)) варианту (¯a, w(¯a)), поэтому, учитывая w(amin) > yL , получаем неравенство, характеризующее a¯:
yL − cL(amin) 6 w(amin) − cL(amin) 6 µLyL + µH νyH − cL(¯a) µL + µH ν
или
cL(¯a) 6 cL(amin) + µH ν(yH − yL) µL + µH ν
Таким образом, a¯ 6 a00 , где a00 — решение уравнения
cL(a00) = cL(amin) + µH ν(yH − yL). µL + µH ν
В равновесии работники типа H должны получать одинаковую полезность от вариантов
(¯a, w(¯a)) и (aH , yH ), т. е.
µLyL + µH νyH − cH (¯a) = yH − cH (aH ). µL + µH ν
При данном a¯ это соотношение однозначно определяет величину aH .
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
618 |
Покажем теперь, что a¯ в равновесии такого типа может принимать любые значения из интервала21 (amin, a00], т. е. можно подобрать ожидания нанимателя, которые поддерживают такое равновесие.
Пусть a¯ — любой такой сигнал. Покажем, что ожидания
µ¯L(a) = 1, a < a,¯
µL
µ¯L(a) = µL + µH ν , a [¯a, aH )
и
µ¯L(a) = 0, a > aH
поддерживают равновесие с этим сигналом.
При таких ожиданиях работник любого типа не выберет никакой другой уровень сигнала, кроме amin , a¯ или aH .
Поскольку a¯ 6 a00 , и при данных ожиданиях w(amin) = yL , то по определению a00 для работников типа L вариант (¯a, w(¯a)) не хуже варианта (amin, w(amin)).
Поскольку cL(a) − cH (a) возрастает, то
cL(aH ) − cH (aH ) > cL(¯a) − cH (¯a).
Работник типа H получает одинаковую полезность при a¯ и aH ,
w(¯a) − cH (¯a) = yH − cH (aH ).
Сложив эти два соотношения, получим, что работник типа L предпочтет сигнал a¯ сигналу aH :
w(¯a) − cL(¯a) > yH − cL(aH ).
С другой стороны, из возрастания cL(a) − cH (a) следует, что
cL(amin) − cH (amin) < cL(¯a) − cH (¯a).
Для работников типа L вариант (¯a, w(¯a)) не хуже варианта (amin, w(amin)), т. е.
yL − cL(amin) = w(amin) − cL(amin) 6 w(¯a) − cL(¯a).
Сложив эти два соотношения, получим, что работник типа H предпочтет сигнал a¯ сигналу
amin :
yL − cH (amin) = w(amin) − cH (amin) < w(¯a) − cH (¯a).
Таким образом, указанные ожидания действительно поддерживают равновесие с такими сигналами. Рис. 15.30 иллюстрирует построенное равновесие.
Как и в других случаях, мы должны отметить, что существует бесконечно много различных ожиданий, поддерживающих гибридное равновесие данного типа для любой пары сигналов a¯ и aH , удовлетворяющих указанным выше соотношениям. Рис. 15.31 иллюстрирует типичное гибридное равновесие 2-го типа.
Задача: охарактеризуйте все гибридные равновесия 2-го типа в модели Спенса, когда результат не зависит от сигнала.
Задача: Покажите, что существуют равновесия в модели Спенса всех четырех рассмотренных типов с непрерывной функцией w(a). Покажите, что эта функция не может быть дифференцируемой.
21Интервал (amin, a0] соответствуют точкам прямой w(a) = w(¯a) до ее пересечения с кривой безразличия работника типа L, проходящей через точку (amin, yL).
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
619 |
w 
w=yL+cL(a)−cL(amin)
w=w(¯a)+cH(a)−cH(¯a) yH 
w(a)
w¯ w(¯a) yL
a
amin a¯ a00 |
aH |
Рис. 15.30. Иллюстрация гибридного равновесия 2-го типа в модели Спенса (результат не зависит от a)
w 
w=yL+cL(a)−cL(amin)
w=w(¯a)+cH(a)−cH(¯a)
yH
w(a)
w¯
w(¯a) yL
a
amin a¯ |
aH |
Рис. 15.31. Иллюстрация гибридного равновесия 2-го типа в модели Спенса (результат не зависит от a), ожидания общего вида
Многообразие различных равновесий снижает прогнозную ценность данной модели. Естественный вопрос о том, какие из этих равновесий более «вероятны» породил исследования по уточнению концепции равновесия в данной модели. Мы рассмотрим неформально (и применительно только к этой модели) один из способов уточнения равновесия, известный как «интуитивный критерий».
Эти уточнения относятся к ожиданиям нанимателей для уровней сигналов, которые не могут наблюдаться в данном равновесии. Поскольку концепция совершенного байесовского равновесия для данной игры не накладывает никаких ограничений на ожидания при неравновесных значениях сигналов, неудивительно, что эти ожидания могут быть довольно причудливыми. Многие из этих ожиданий не вполне согласуются с имеющейся у нанимателей информацией о структуре игры.
Рассмотрим, например, сигнал a > a0L . По определению a0L работнику типа L не выгодно подавать такой сигнал при любой оплате, не превышающей yH (т. е. при любых ожиданиях работодателей), поскольку его полезность при этом будет ниже, чем если он подает сигнал amin . В то же время, существуют ожидания, при которых работник типа H выберет a. Поэтому естественно предположить, что наниматели, учитывая доступную информацию о структуре игры, априорно будут с наблюдаемым сигналом a > a0L связывать ожидания µ¯H (a) = 1.
Но с такими априорными ожиданиями не совместимы многие из рассмотренных выше равновесий.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
620 |
Во-первых, с ними не совместимы все разделяющие равновесия с aH > a0L , поскольку, если ожидания удовлетворяют таким требованиям, то работник типа H не выберет a > a0L .
Во-вторых, с ними не совместимы все гибридные равновесия 1-го типа, поскольку, если ожидания удовлетворяют таким требованиям, полезность работника типа H в точке (a0L, yH ) (а, значит, и во всех точках с достаточно близким сигналом) выше, чем в точке (¯a, w(¯a)), соответствующей любому такому равновесию.
В-третьих, с ними не совместимы гибридные равновесия 2-го типа и объединяющие равновесия, при условии, что работников типа H «достаточно много», т. е. когда ожидаемый доход w¯ при любом сигнале дает работнику типа H полезность ниже полезности в точке (a0L, yH ).
Покажем теперь, что все равновесия 2-го типа и объединяющие равновесия не удовлетворяют более сильному критерию уточнения равновесий (более сильным требованиям к ожиданиям нанимателей).
Этот критерий (так называемый «интуитивный критерий») состоит в следующем. Пусть некоторый неравновесный сигнал при любых (а не только равновесных) ожиданиях дает, например, работнику типа L меньшую полезность, чем его полезность в равновесии; в то же время, работник типа H при каких-то ожиданиях может улучшить свое положение по сравнению с равновесием, подав данный сигнал. Тогда наниматели при таком сигнале должны приписывать вероятность 0 работникам типа L.
Заметим, что это усиление предыдущего условия.
Покажем, что ожидания, поддерживающие объединяющие равновесия не удовлетворяют этому критерию. Обозначим через a˙ θ такой уровень сигнала, что набор (a˙ θ, yH ) дает работнику типа θ ту же полезность, которую он получает в равновесии (см. Рис. 15.32). Поскольку w¯ < yH , а cL(a) − cH (a) убывает, то a˙ L < a˙ H . Любой сигнал a (a˙ L, a˙ H ) вне зависимости от ожиданий дает работнику типа L меньшую полезность, чем в равновесии, поскольку w(a) 6 yH . С другой стороны, существуют ожидания нанимателей, при которых w(a) достаточно близко к yH , так что работник типа H получает более высокую полезность, чем в равновесии. «Интуитивный критерий» требует, чтобы для таких a ожидания нанимателей имели вид µ¯H (a) = 1. Но, однако, такие ожидания не поддерживают данное равновесие, поскольку при этих ожиданиях w(a) = yH , и работник типа H предпочтет сигнал a равновесному сигналу a¯.
w 
w=w¯+cL(a)−cL(¯a)
w=w¯+cH(a)−cH(¯a)
yH
w¯
yL
a
amin a¯ a˙ L a˙ H
Рис. 15.32. Иллюстрация применения интуитивного критерия к объединяющему равновесию в модели Спенса (результат не зависит от a)
Те же рассуждения с точностью до замены w¯ на w(¯a) показывают, что любое гибридное равновесие 2-го типа не удовлетворяет интуитивному критерию.
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
621 |
15.4.3Задачи
/658. Пусть в ситуации, описанной в модели Спенса yL = 1, yH = 2.
(а)Охарактеризуйте равновесие в модели с полной информации (наниматели наблюдают результаты yθ ).
(б) Пусть µ — доля работников типа L. Охарактеризуйте равновесие в модели без сигналов.
(в) Пусть множество возможных сигналов имеет вид A = R+ , а издержки работников равны cL(a) = a и cH (a) = a/2. Охарактеризуйте разделяющие равновесия в модели Спенса. Покажите, что aL = 0 и aH [1, 2].
(г) Пусть aH [1, 2]. Обозначим через µ¯(a) = µ¯L(a) ожидаемую нанимателями вероятность того, что сигнал a подан работником типа L. Покажите, что следующие ожидания поддерживают данный сигнал в объединяющем равновесии:
µ¯(a) = 1 при a 6= aH и µ¯(a) = 0 при a = aH .
(д) Сравните разделяющие равновесия в модели Спенса с равновесиями в модели без сигналов с точки зрения полезности работников. При каких значениях µ работники типа H окажутся в лучшем положении в равновесии без сигналов?
(е) Охарактеризуйте объединяющие равновесия в модели Спенса. Покажите, что a¯ 6 1−µ.
(ж)Пусть a¯ 6 1 − µ. Покажите, что следующие ожидания поддерживают данный сигнал
вобъединяющем равновесии:
µ¯(a) = 1 при a 6= a¯ и µ¯(a) = µ при a = a¯.
(з) Охарактеризуйте все гибридные равновесия 1-го типа в модели Спенса. Покажите, что
1 − µ
a¯ = 1 − µ + µν .
(и) Охарактеризуйте все гибридные равновесия 2-го типа в модели Спенса. Покажите, что
1 − µ
a¯ < 1 − µ + µ/ν .
/659. Рассмотрите модель Спенса с yL = 1, yH = 2, cL(a) = a, cH (a) = a/2 и A = {0, 3}.
(а)Покажите, что в данной модели существуют только объединяющие равновесия с уров-
нем сигнала, равным 0.
(б) Покажите, что любые ожидания, которые поддерживают такое равновесие, не противоречат интуитивному критерию.
/ 660. Пусть множество A содержит только два элемента. Покажите, что данные два условия являются не только необходимыми, но и достаточными, приведя соответствующие ожидания.???
/ 661. Пусть множество A содержит только два элемента, результат не зависит от сигнала, и yH = γyL . Пусть также cL(a) = βLa и cH (a) = βH a. При каких γ при заданных функциях издержек существует разделяющее равновесие?
/ 662. Пусть множество A содержит только два элемента, результат не зависит от сигнала, и yH > yL . Пусть также cL(a) = a и cH (a) = γa. При каких γ существует разделяющее равновесие?
/ 663. Пусть множество A содержит только два элемента A, 0 и γ , результат не зависит от сигнала, причем yL = 1, yH = 2, доля работников типа L равна 1/2. Пусть также cL(a) = a и cH (a) = a/2. При каких γ существует объединяющее равновесие с сигналом a¯ = γ ?
15.4. Конкуренция среди нанимателей в условиях скрытой информации |
622 |
/ 664. Пусть множество A содержит только два элемента, 0 и γ , результат не зависит от сигнала, причем yL = 1, yH = 2, доля работников типа L равна 1/2. Пусть также cL(a) = a
и cH (a) = a/2.
(а)При каких γ существует гибридное равновесие первого типа?
(б) При каких γ существует гибридное равновесие второго типа?
/665. Пусть A = {0, 1, 2, . . .}, результат не зависит от сигнала, причем yL = 1, yH = γ , доля работников типа L равна 1/2. Пусть также cL(a) = a и cH (a) = a/2.
(а)При каких γ существует гибридное равновесие первого типа?
(б)При каких γ существует гибридное равновесие второго типа?
/666. Проанализируйте модель Спенса, изложенную в данном параграфе, в предположении, что резервные оплаты таковы, что wL0 > yL , wH0 (w,¯ yH ).
(а) Охарактеризуйте равновесия всех четырех возможных типов.
(б)Покажите, что разделяющее равновесие в данной модели всегда является Парето-улуч- шением по сравнению с равновесием без сигналов.