10.6. Рынки экстерналий

358

а функция издержек единственного предприятия имеет вид

c(y, x1, x2) = y + 2x1 + x2.

Начальные запасы первого блага (блага x) равны нулю. Охарактеризуйте Парето-оптималь- ные состояния данной экономики. Найдите равновесие и налоги Пигу.

/ 471. В квазилинейной экономике с экстерналиями функции полезности двух потребителей имеют вид u1 = 2√x1 − y + z1 и u2 = 2√x2 + z2,

а функция издержек единственного предприятия имеет вид c(y) = 2y. Начальные запасы первого блага (блага x) равны нулю. Охарактеризуйте Парето-оптимальные состояния данной экономики. Найдите равновесие и налоги Пигу.

/ 472. В экономике есть 2 потребителя с функциями полезности

u1 = −1/x1 + z1 − x2, u2 = −1/x2 − 2x1 + z2

ипредприятие с функцией издержек c(y) = y.

(A)Сформулировать условия Парето-оптимума.

(B)Будет ли в нерегулируемом равновесии избыточным или недостаточным потребление товара x (в смысле дифференциально-малого отклонения от равновесия)?

(C)Сформулировать задачи потребителей для налогов Пигу.

/ 473. Экономика состоит из одного потребителя и одного предприятия. Технологическое мно-

жество задается условиями yx2 + 2yz 6 0	и yz 6 0.	Функция полезности имеет вид u =
ln x + z − yx2 , где yx — объем экстерналий.	Начальные	запасы равны (ωx, ωz) = (0, 1000).

(1)Дайте определение общего равновесия применительно к данной модели. Найдите его. (Используйте нормировку pz = 1.)

(2)Найдите Парето-оптимум. Будет ли равновесный объем производства yx выше или ниже Парето-оптимального?

(3)Вычислите налоги Пигу.

/474. Экономика состоит из трех человек, потребляющих два типа благ, x и z . Благо x — это уровень «ухоженности» приусадебного участка, а благо z — все остальные блага. Двое из потребителей соседи, так что красивый внешний вид участка одного соседа создает положительный внешний эффект для другого. Третий же человек живет вдалеке. Функции полезности имеют вид

u1 = ln x1 + ln x2 + z1, u2 = ln x1 + ln x2 + z2, u3 = ln x3 + z3.

Каждый потребитель имеет запас по 5 единиц каждого из двух благ.

(а) Найдите вальрасовское равновесие в данной экономике.

(б) Найдите все Парето-эффективные распределения благ в этой экономике.

(в) Предложите налог (или субсидию) Пигу, корректирующий экстерналию. Точно опишите, как, кем и за что он (она) платится.

/ 475. Для экономик из задачи 468 найдите соотношения для налогов Пигу.

10.6Рынки экстерналий

В этом параграфе мы покажем, что неэффективность равновесия экономики с экстерналиями — следствие отсутствия рынков экстерналий. Другими словами, если в дополнение к

10.6. Рынки экстерналий

359

рынкам обычных благ возникла бы полная система рынков экстерналий, для такой экономики была бы справедливой первая теорема благосостояния, т. е. равновесие в такой экономике оказалось бы Парето-оптимальным. Этот взгляд на проблему экстерналий связан с именем К. Эрроу11.

Предположим, что в дополнение к обычным рынкам, существует полная система конкурентных рынков экстерналий, т. е. существует рынок для каждой экстерналии из множеств

Ei, Ej . Обозначим

•через qisk цену экстерналии, состоящей во влиянии потребления k-го блага i-м потребителем на благосостояние s-го потребителя, xik → us ;

•через qijk цену экстерналии, состоящей во влиянии потребления k-го блага i-м потребителем на производственные возможности j -го производителя, xik → gj ;

•через qjik цену экстерналии, состоящей во влиянии производства k-го блага j -м производителем на благосостояние i-го потребителя, yjk → ui ;

•через qjsk цену экстерналии, состоящей во влиянии производства k-го блага j -м производителем на производственные возможности s-го производителя, yjk → gs ;

•через q полный набор цен экстерналий.

Вэтой модели предполагается, что платит тот, кто создает экстерналию. Может оказаться (например, в случае положительных экстерналий), что эта цена экстерналии отрицательна. Это следует понимать в том смысле, что «потребитель» экстерналии платит за нее тому, кто создает экстерналию.

Вэтой ситуации задача потребителя i модифицируется следующим образом:

ui(xi, x−i, y) → max

(10.16)

X

pkxik +

k

XX

	+		qiskxik +			qijkxik −
	X6	s,k:xik→us		j,k:xik→gj
		X→	qsikxsk −	X X→		qjikyjk 6 βi,
	−			j
	s=i k:xsk ui				k:yjk	ui

xi Xi.

Потребитель здесь выбирает объемы потребления благ xi и влияющих на него экстерналий. Хотя запись бюджетного ограничения выглядит довольно громоздкой, смысл ее достаточно прост: первая сумма — расходы на оплату обычных благ из рассматриваемого потребительского набора, следующие вторые суммы (вторая строчка бюджетного ограничения) — оплата внешних влияний, оказываемых данным потребителем на всех других экономических субъектов. И наконец, последние две суммы — оплата другими экономическими субъектами внешнего

влияния на данного потребителя.

11K. J. Arrow: The Organization of Economic Activity: Issues Pertinent to the Choice of Market versus Non-mar- ket Allocation, in Public Expenditure and Policy Analysis, R. Haveman and J. Margolis (ed.), University of Chicago Press, 1970.

10.6. Рынки экстерналий

360

Условия первого порядка для решения этой задачи выглядят следующим образом:

∂ui

X

X

= νi

pk +

qisk +

qijk

k,

(10.17)

∂xik

→

s:xik→us

j:xik gj

∂ui

= −νiqsik s, k : xsk → ui,

∂ui

= −νiqjik j, k : yjk → ui.

(10.18)

∂xsk

∂yjk

Прибыль j -го производителя задается функцией

				πj(p, q, y, x) =			K	pkyjk −
							kX				qjskyjk +
−		I,ki		K:y		qjikyjk −				gs
i						ui	s,k:yjk
				X jk→					X→
+	i I		k:xik		qijkxik +		s=j k		K:ysk		qsjkysk
					gj						gj
	X			X→			X6		X→
Задача j -го производителя модифицируется аналогичным образом:
				πj(p, q, yj, y−j, x) → max							(10.19)
					g(yj, y−j, x) > 0.

Производитель выбирает объемы производства благ yj и влияющих на него экстерналий.

Определение 72:

P

Назовем (p¯, q¯, x¯, y¯) равновесием с торговлей экстерналиями и трансфертами S ( i I Si =

0), если

(i) (x¯, y¯) — решение задачи (10.16) при ценах обычных благ p¯ , ценах экстерналий q¯ , доходах

X

βi = p¯ωi + γijπj(p¯, q¯, y¯, x¯) + Si.

j J

(ii)(y¯, x¯) — решение задачи (10.19) при ценах p¯ и q¯ .

(iii)(x¯, y¯ ) — допустимое состояние, т. е.

XX

(¯xik − ωik) =	y¯jk k.
i I	j J

Заметим, что выполнение условий (i) и (ii) гарантирует совпадение при данных ценах p и q спроса и предложения на рынках экстерналий. Поэтому соответствующее требование не включено в определение равновесия.

Следующая теорема является аналогом второй теоремы благосостояния для равновесия с торговлей экстерналиями.

Теорема 112:

Пусть (xˆ, yˆ) — Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями. Предположим также, что

• xi int Xi (равновесие внутреннее) i;

•функции полезности ui(x, y) и производственные функции gj(y, x) дифференцируе-

мы;

•существует благо k0 , для которого выполнены условия (O);

•функции полезности ui(x, y) и производственные функции gj(y, x) вогнуты.

Тогда существуют цены p и q и трансферты S, такие что (p, q, xˆ, yˆ) является равновесием с торговлей экстерналиями.

1 . При том

λi

10.6. Рынки экстерналий

361

Доказательство: Как и в предыдущих теоремах, ограничимся схемой доказательства. Поскольку (xˆ, yˆ) — Парето-оптимум, то по теореме Куна — Таккера он удовлетворяет уравнениям (10.1) и (10.2).

Цены выбираются следующим образом:

	pk = σk,
qisk = −λs	∂us(xˆ, yˆ)			= −µj	∂gj(yˆ, xˆ)
			, qijk				,
	∂xik				∂xik
qjik = −λi	∂ui(xˆ, yˆ)			= −µs	∂gs(yˆ, xˆ)
		, qjsk				.
	∂yjk				∂yjk

Далее доказывается, что (xˆ, yˆ) является решением задачи (10.16) при данных ценах и таких доходах, которые в точности покрывают расходы на приобретение набора (xˆ, yˆ) обычных благ и экстерналий, т. е.

X

βi = pkxˆik + k

XX

+		qiskxˆik +			qijkxˆik −
s,k:xik→us		j,k:xik→gj
X6	X→	qsikxˆsk −	X X→			qjikyˆjk.
−			j
s=i k:xsk ui				k:yjk		ui

Действительно, точка (xˆ, yˆ) является допустимой. Поскольку задача каждого потребителя является выпуклой, то для доказательства этого факта достаточно установить, что при этом выполняются условия первого порядка.

Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следующим образом:

	∂ui(xˆ, yˆ)			X	qisk +	X→
	λi ∂xik
				= pk +		qijk, k.
				s:xik→us		j:xik gj

Это есть условия первого порядка (10.17) в задаче потребителя при νi , равном же νi условия первого порядка (10.18) следуют из определения цен qsik , qjik .

Аналогичным образом доказывается, что (yˆ, xˆ) является решением задачи (10.19) при данных ценах.

Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S. Легко видеть, что требуемыми трансфертами являются величины

Si = βi − pωi −	jX
	γijπj(p, q, yˆ, xˆ),
	J
где βi определены выше. Читатель может проверить, что их сумма равна нулю.

Замечание: Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие (O) заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости.

Поскольку в модели с торговлей экстерналиями система рынков оказывается полной, справедлива первая теорема благосостояния.

Теорема 113:

Пусть (p¯, q¯, x¯, y¯, S) — равновесие с торговлей экстерналиями и предпочтения потребителей локально ненасыщаемы. Тогда состояние этой экономики (x¯, y¯) Парето-оптимально.

Доказательство: Доказательство этой теоремы фактически повторяет доказательство первой теоремы экономики благосостояния для «обычной» экономики.

10.6. Рынки экстерналий

362

Связь между ценами экстерналий и налогами на экстерналии устанавливают следующие два утверждения, показывающие, что на основе любого равновесия с торговлей можно построить равновесие с налогами с теми же ценами обычных благ и налогами, равными сумме цен соответствующих экстерналий. Указанная связь задается следующим правилом:

X		X	qijk k Ei,
tik =	qisk +
s:xik→us		j:xik→gj	(@)
X→	qjik +	X
tjk =		s:yjk→gs	qjsk k Ej.
i:yjk ui

Теорема 114:

Пусть (p¯, q¯, x¯, y¯) — равновесие с торговлей экстерналиями.

Тогда существуют трансферты, такие что (p¯, x¯, y¯) — равновесие с налогами (tI , {Ei}i, tJ , {Ej}j), где ставки налогов задаются правилом (@) при q = q¯ .

Доказательство: Для доказательства теоремы достаточно проверить, что

(i) x¯i — решение задачи (10.9) при ценах p¯ , налогах, определяемых tI , Ei , доходах

XX

βi = p¯kx¯ik + (¯pk + tik)¯xik k /Ei k Ei

иобъемах потребления и производства других экономических субъектов x¯−i, y¯ .

(ii)y¯j — решение задачи (10.12) при ценах p¯ , налогах, определяемых tj, Ej , и объемах производства и потребления других экономических субъектов y¯−j, x¯ .

(iii)Трансферты следует выбрать равными «бюджетным дефицитам» потребителей, а затем доказать, что сумма трансфертов равняется сумме собранных налогов

X	Xi	X	Xj
	tikx¯ik +		tjky¯jk.
i I k E		j J k E

Доказательство пунктов (i) и (ii) основывается на том факте, что если (x¯1, x¯2) является решением следующей задачи оптимизации

f0(x1, x2) → max

x1,x2

(x1, x2) X,

то x¯1 является решением редуцированной задачи

f0(x1, x¯2) → max

x1

(x1, x¯2) X.

Справедливость пункта (iii) — следствие определения трансфертов и налогов tik , tjk и того факта, что в равновесии с торговлей экстерналиями бюджетные ограничения выходят на равенство.

Для справедливости обратного утверждения существенным является предположение о том, что равновесие с налогами Парето-оптимально.

Теорема 115:

Пусть (p¯, x¯, y¯) — равновесие с налогами (tI , {Pi}i, tJ , {Pj}j) и трансфертами S, причем состояние экономики (x¯, y¯) Парето-оптимально.

Предположим также, что

•выполнены условия Теоремы 111 (ii);

•функции полезности ui(x, y) и производственные функции gj(y, x) вогнуты.

Тогда существуют цены q экстерналий и трансферты S0 такие, что (p¯, q, x¯, y¯) — равновесие с торговлей экстерналиями. При этом q удовлетворяют правилу (@).

10.6. Рынки экстерналий

363

Доказательство: Так как (x¯, y¯) — Парето-оптимальное состояние экономики, то по Теореме 112 существуют цены благ p, цены экстерналий q и трансферты S такие, что (p, q, x¯, y¯) — равновесие с торговлей экстерналиями.

Возьмем произвольное благо k 6= k0 . По предположению теоремы существует экономический субъект, потребление (производство) которым этого блага не облагается налогом. Предположим, например, что это потребитель i. (Для случая, если таким экономическим субъектом является производитель, рассуждения аналогичны, что читателю предлагается проверить самостоятельно.) Сопоставляя условия первого порядка задачи потребителя i в равновесии с налогами и в равновесии с торговлей экстерналиями заключаем, что

pk = p¯k . pk0 p¯k0

Без потери общности можно считать, что p = p¯ , поскольку цены в равновесии определяются с точностью до множителя.

В соответствии с Теоремой 111 (ii) верно правило Пигу (T ).

Воспользовавшись условиями первого порядка задач потребителя и производителя в равновесии с торговлей экстерналиями,

∂us/∂xik			qisk					∂gj/∂xik
		= −				,
∂us/∂xsk0				pk0				∂gj/∂xik0
∂ui/∂yjk		= −	qjik		,		∂gs/∂yjk
∂ui/∂xik0			pk0				∂gs/∂ysk0

=qijk k Ei, pk0

=qjsk k Ej, pk0

мы можем переписать соотношения Пигу, учитывая, что часть слагаемых в них равна нулю, в виде (@).

Пример 46 ((продолжение Примеров 44 и 45)):

Пусть в экономике Примера 44 происходит торговля экстерналиями между предприятиями. Обозначим через q1 и q2 цены на экстерналии, связанные с выпуском продукции 1-м и 2-м предприятием соответственно. Охарактеризуем внутренние равновесия с торговлей экстерналиями. Задача максимизации прибыли j -го производителя имеет следующий вид:

πj = (pj − qj)fj(aj, y−j) − p3aj + q−jy−j → max .

aj,y−j

Дифференцируя по aj и y−j , получаем условия первого порядка для решения этой задачи:

1

=

p1 − q1

,

∂f1/∂y2

=

q2

,

∂f1/∂a1

p3

∂f1/∂a1

−p3

1

=

p2 − q2

и

∂f2/∂y1

=

q1

.

∂f2/∂a2

∂f2/∂a2

p3

−p3

Вид условий первого порядка задачи потребителя не изменится:

∂u/∂x1 = p1 и ∂u/∂x2 = p2 . ∂u/∂x3 p3 ∂u/∂x3 p3

Исключая из дифференциальной характеристики равновесия цены, получим соотношения, совпадающие с дифференциальной характеристикой Парето-оптимума:

∂u/∂x1	=		1	−	∂f2	/∂y1	,
∂u/∂x3		∂f1/∂a1			∂f2	/∂a2