7.4. Задача потребителя при риске

253

/ 381. Золотоискатель с запасом $900, полезностью типа Неймана — Моргенштерна и функ-

√

цией Бернулли вида u(x) = x решает, купить ли по цене $300 золотоносный участок, где с равной вероятностью ожидает выигрыш в $900 или ничего.

За сколько он купил бы у геолога соответствующий прогноз, если положительный прогноз означает, что с вероятностью 0,75 золото есть, а отрицательный — что с вероятность 0,75 золота нет?

7.4Задача потребителя при риске

Вэкономике с неопределенностью естественно ожидать заключения контрактов, условных по состояниям мира. Соответственно, блага следует рассматривать как условные по состояниям мира — контингентные (условно-случайные) блага. Каждое контингентное благо характеризуется парой (k, s). Контингентное благо естественно интерпретировать как актив, дающий право получить единицу блага k если (и только если) реализуется состояние мира s. Такой актив получил название актива Эрроу. (Нам понадобится понятие актива Эрроу ниже, когда речь пойдет о модели Раднера. В данном контексте это только интерпретация контингентного блага.)

Если ничто не препятствует заключению контрактов условных по состояниям мира (т. е. купле-продаже контингентных благ), то можно предположить, что любое контингентное благо можно обменять на любое другое контингентное благо. Иными словами, можно предположить, что любое благо k1 в любом состоянии мира s1 можно поменять (прямо или косвенно) на любое благо k2 в любом состоянии мира s2 . Это предположение о полноте рынков контингентных благ.

Следует отметить, что предположение о полноте рынков контингентных благ является достаточно ограничительным и, как правило, не позволяет адекватно моделировать реальные рынки с риском. Тем не менее, модели, основанные на этом предположении, оказывается полезными при анализе реальных феноменов и понимании причин фиаско рынка при наличии неопределенности.

Другое предположение, которое мы сделаем — это предположение о свободной конкуренции на рынках контингентных благ. С точки зрения задачи потребителя — это стандартное предположение о том, что потребитель считает цены данными. Через pks мы будем обозначать

рыночную цену контингентного блага (k, s) (это цена контракта на поставку единицы блага k в ситуации, если реализуется состояние мира s, т. е. цена соответствующего актива Эрроу).

Эти предположения позволяют записать задачу потребителя:

	sX		max
Ui(xi) =	µsui(xis) →		xi
X kX	S	kX
	X
pksxiks 6		pksωiks,
s S K	s S	K

xis Xi s S.

По сути, задача потребителя имеет тот же вид, что и в классической модели, только индекс блага становится двойным, и суммирование в бюджетном ограничении идет по двум индексам — k и s. Дифференциальная характеристика внутреннего решения задачи потребителя тоже совершенно аналогична дифференциальной характеристике выбора потребителя в отсутствии неопределенности:

∂Ui/∂xik1s1 = pk1s1 , k1, k2 K, s1, s2 S. ∂Ui/∂xik2s2 pk2s2

С учетом того, что целевая функция имеет специфический вид (Неймана — Моргенштерна), дифференциальную характеристику можно переписать в терминах элементарной функции

7.4. Задача потребителя при риске

254

полезности:

µs1 u0ik0 1 (xis1 ) = pk1s1 , k1, k2 K, s1, s2 S,

µs2 uik2 (xis2 ) pk2s2

где u0ik(·) — производная элементарной функции полезности по k-му благу. Проиллюстрируем введенные понятия простым примером.

Пример 36 ((Задача страхования имущества)):

Предположим, что потребитель имеет имущество стоимостью ω1 , которое в случае состояния мира 1 (при отсутствии пожара) сохранится, а в случае пожара — состояния мира 2 — окажется равным ω2 (ω2 < ω1 ). На (совершенном) рынке страховых услуг этот потребитель может приобрести страховой контракт (γ , y), где — γ [0, 1] — цена контракта, а y — страховая сумма. То есть если потребитель застрахуется на сумму y, то он вне зависимости от состояния мира заплатит γy и получит y в случае пожара. Таким образом, при отсутствии пожара доход потребителя будет равен

x1 = ω1 − γy,

если же пожар произойдет, то доход составит

x2 = ω2 + y − γy.

Таким образом, мы имеем одно благо — деньги, и два состояния мира (отсутствие и наличие страхового случая).

Бюджетное ограничение того вида, что выше (в терминах контингентных потребительских наборов), можем получить, исключив y:

(1 − γ)x1 + γx26(1 − γ)ω1 + γω2.

Покупая страховой контракт, потребитель тем самым меняет благо ‘деньги в состоянии 1’ на благо ‘деньги в состоянии 2’ в отношении

p1/p2 = (1 − γ)/γ.

Предположим далее, что потребитель имеет функцию полезности типа Неймана — Моргенштерна

U = (1 − µ)u(x1) + µu(x2),

такую что производная элементарной функции полезности u0(·) положительна и строго убывает (т. е. потребитель характеризуется строгим неприятием риска), где µ — вероятность пожара. Дифференциальная характеристика решения задачи потребителя как обычно имеет вид

∂U/∂x1	=	(1 − µ)u0(x1)	=	1 − γ	.
∂U/∂x2		µu0(x2)
				γ

Опираясь на то, что u0(·) — убывающая функция, можно сделать выводы об оптимальном решении потребителя в зависимости от соотношения вероятности пожара µ и цены страховки γ . При γ = µ (актуарно справедливая цена страховки) имеем

u0(x1) = u0(x2).

Таким образом, в этом случае потребитель застрахуется на такую сумму, что x1 = x2 , то есть на всю сумму потенциального ущерба:

y = ω1 − ω2.

7.4. Задача потребителя при риске

255

x2	γ<µ
	γ=µ
	γ>µ
	ω	x1

Рис. 7.5. Иллюстрация различных соотношений между ценой и вероятностью в задаче страхования имущества

Нетрудно проверить, что если цена будет высокой (γ > µ), то он застрахуется так, что

u0(x1) < u0(x2),

откуда x1 > x2 . То есть страховая сумму будет меньше величины ущерба. Наоборот, при γ < µ страховая сумма будет превосходить величину ущерба.

?? Нет ссылки на рисунок В предположении, что потребитель является рискофобом, этот результат обобщить на слу-

чай, когда элементарная функция полезности недифференцируема.

Будем рассматривать доход потребителя как случайную величину x˜ , которая принимает значение x1 с вероятностью (1 − µ), и x2 с вероятностью µ.

Тогда при γ = µ ожидаемый доход E x˜ равен (1 − γ)ω1 + γω1 , то есть не зависит от суммы страховки y. Рискофоб предпочитает среди таких лотерей ту, которая не связана с риском, то есть дает один и тот же доход вне зависимости от состояния мира. А к такой лотерее приводит страхование на полную сумму потерь.

При γ > µ (γ < µ) с ростом страховой суммы y величина ожидаемого дохода E x˜ уменьшается (увеличивается). Поэтому потребителю не выгодно выбирать y больше (меньше) величины ущерба. Действительно, если он застрахуется на величину ущерба, то риск будет отсутствовать, а ожидаемый доход E x˜ будет выше. Таким образом, если γ > µ, то y 6 ω1 − ω2 , а если γ < µ, то y > ω1 − ω2 . Строгие неравенства можно гарантировать только при дифференцируемости. Если функция полезности недифференцируема, то при γ 6= µ оптимальным

может быть страхование на полную сумму ущерба (y = ω1 − ω2 ).

4

7.4.1Задачи

/ 382. Предпочтения судовладельца описываются функцией полезности типа Неймана — Моргенштерна с элементарной функцией полезности от богатства x вида u(x), причем u(·) имеет положительную убывающую производную. Он владеет богатством $40000 и может потерять

вслучае аварии судна $10000.

(A)Пусть вероятность аварии равна 0,02 и известно, что он застраховался на сумму $9000. Возможно ли, что цена страхования на $1 равна $0,02? Если нет, то больше или меньше, чем $0,02? Объясните.

(B)Пусть цена страхования на $1 равна $0,02 и известно, что он застраховался на сумму $11000. Возможно ли, что вероятность аварии равна 0,02? Если нет, то больше или меньше, чем 0,02? Объясните.