15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

564

15.2.2Дискретный вариант модели со скрытыми действиями

Рассмотрим модель в дискретном случае: конечное число возможных действий (xa , a = 1, . . . , k) и конечное число возможных результатов (ys , s = 1, . . . , m). Поскольку сам по себе уровень x не имеет значения, то вместо x мы будем использовать a и обозначим c(xa) = ca , предполагая, что усилия xa растут с ростом индекса a. Каждое значение выбранных работником усилий a приводит к случайному результату y˜, который описывается следующим дискретным распределением:

y1	y2	· · ·	ym
µa1	µa2	· · ·	µam

Здесь µas > 0 — вероятность s-го результата в случае, когда работник выбрал усилия

P

a. По определению вероятностей s µas = 1. Мы будем предполагать, что все ys различны и возрастают по s. По предположению, распределение сдвигается вправо при росте усилий (вероятность более высоких результатов возрастает с ростом усилий), т. е.

s¯ s¯

XX

µas > µbs, s¯ = 1, . . . , m − 1, a < b.

s=1 s=1

Исходные данные для дискретной модели (возможные уровни усилий, уровни результатов и вероятности) можно представить в виде таблицы (см. Таблицу 15.1).

Таблица 15.1. Представление дискретного варианта модели со скрытыми действиями в виде таблицы

	y1	· · ·	ym
a = 1	µ11	· · ·	µ1m	c1
.	.		.	.
.	.	{µas}	.	.
.	.		.	.
a = k	µk1	· · ·	µkm	ck

Ниже мы будем предполагать, что элементарная функция полезности имеет вид8:

u(a, w) = v(w) − ca.

Контракт задается величинами ws = w(ys) — каждому возможному результату ys контракт сопоставляет уровень оплаты ws . Таким образом, контракт представляет собой вектор w = {ws}. С другой стороны, с учетом вероятностей µas это дискретная случайная величина w˜ .

При этом ожидаемая полезность (как функция от a) равна

m

X

U(a, w) = Ea[v(w˜) − ca] = µasv(ws) − ca,

s=1

а ожидаемая прибыль —

m

Πe(a, w) = Ea Π = Ea(˜y − w˜) = X µas(ys − ws).

s=1

8Функция полезности несколько другого вида (в каком-то смысле более естественная) рассмотрена в задаче 637 на с. 579.

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

565

Задача нанимателя имеет вид:

Πe(a , w) → max

a ,w

U(a , w) > U(a, w), a = 1, . . . , k,

(ограничение совместимости стимулов),

U(a , w) > u0

(ограничение участия).

Поскольку число возможных усилий конечно, то эту задачу вообще говоря, можно решать перебором. Для этого, задавшись конкретным a , следует найти контракт w = w(a ), минимизирующий ожидаемый уровень оплаты при условии, что при данной оплате работник предпочтет (выберет) уровень усилий a . Обозначим ожидаемый уровень оплаты

m

we(a, w) = Ea w˜ = X µasws.

s=1

Тогда соответствующая вспомогательная задача имеет следующий вид:

we(a , w) → min

w

U(a , w) > U(a, w) a = 1, . . . , k, U(a , w) > u0.

В этой задаче искомыми переменными являются только уровни оплаты для различных результатов, т. е. величины ws = ws(a ). Соответствующее максимальное значение ожидаемой прибыли равно Πe(a , w(a )). Вычислив для каждого возможного уровня усилий a = 1, . . . , k соответствующие значения прибыли, можно найти такое усилие, при котором ожидаемая прибыль Πe(a , w(a )) достигает максимума. Если вспомогательная задача не имеет допустимых решений, то не существует контрактов, обеспечивающих такой уровень усилий, т. е. усилия оказываются нереализуемыми. Поэтому оптимум ищется только по реализуемым усилиям, множество которых всегда не пусто (усилия с минимальными издержками всегда реализуемы).

Поскольку элементарная функция полезности имеет специальный вид

u(a, w) = v(w) − ca,

то эту задачу можно свести к задаче выпуклого программирования (минимизация выпуклой функции на выпуклом многогранном множестве) путем замены переменных vs = v(ws). Как ограничение участия, так и ограничение совместимости стимулов будут в новых переменных линейными, а ожидаемая прибыль — вогнутой функцией переменных vs :

m

Πe(a, v) = X µas(ys − f(vs)),

s=1

где через f(·) мы обозначили v−1(·). (Так как v(·) вогнута, то f(·) выпукла, а −f(·) вогнута). Область определения переменных vs совпадает с областью значений функции v(·) и ее описание должно в явном виде присутствовать в формулировке соответствующей задачи. В дальнейшем мы для упрощения рассуждений не будем учитывать такие ограничения.

Заметим, что если работник является рискофобом, то решение одной из задач тривиально, а именно, задачи, соответствующей наименьшему уровню усилий (a = 1; предполагаем, что тягость усилий ca тем больше, чем больше a). Как уже говорилось, в этом случае (как и при наблюдаемости усилий) следует установить постоянную оплату, не зависящую от усилий. Обозначим ее через w¯ . Несложно понять, что w¯ = f(u0 + c1), т. е. такая оплата является решением уравнения v(w¯) − c1 = u0 .

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

566

Дискретный вариант модели найма с двумя возможными уровнями усилий

Предположим, что работнику доступны только два действия (два уровня усилий). Обозначим их через H и L (высокий и низкий уровень усилий соответственно). По предположению о том, что распределение сдвигается вправо при росте усилий, имеем:

s¯ s¯

XX

µLs > µHs, s¯ = 1, . . . , m − 1.

s=1 s=1

Напомним, что при конструировании оптимального контракта сначала определяются величины Πe(L, w(L)), Πe(H, w(H)), а затем выбирается усилие (и соответствующий ему контракт), при котором величина Πe(a, w(a)), a = L, H является максимальной.

Охарактеризуем оптимальный при уровне усилий a (a = L, H ) контракт w(a). Если работник совершает действия a, то ожидаемая прибыль нанимателя равна

m

X

µas(ys − ws).

s=1

(Как и ранее, предполагаем, что работник является рискофобом, а наниматель нейтрален к риску.)

Ожидаемая полезность работника в случае, когда он выбирает действие a, будет равна

m

X

µasv(ws) − cL,

s=1

Тогда, в случае, если a = L, условие совместимости стимулов имеет следующий вид:

m	m
X	X
	µLsv(ws) − cL > µHsv(ws) − cH ,
s=1	s=1
а условие участия:	m
	X µLsv(ws) − cL > u0,
	s=1

Соответствующая вспомогательная задача — минимизировать ожидаемую оплату по контракту (максимизировать ожидаемую прибыль)

m

X

µLsws →

min

w

s=1

(соответственно,

m

µ

(y

s −

w

)

→

max

) при указанных условиях совместимости стимулов

и участия.

Ps=1

Ls

s

w

Рассмотрим сначала простейший случай, когда возможны всего два результата (исхода): y1 , y2 . Условие стохастического доминирования (более высокие усилия способствуют более высокому результату) в данном случае принимает вид неравенства µH1 < µL1 , или, эквивалентно, µH2 > µL2 .

Пусть наниматель хочет побудить работника выбрать низкие усилия L. Тогда условие совместимости стимулов имеет вид

µL1v1 + µL2v2 − cL > µH1v1 + µH2v2 − cH .

Учитывая, что µH2 > µL2 :	µL1 − µH1		cH − cL
v2 6		v1 +		.
	µH2 − µL2		µH2 − µL2

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями	567
Поскольку сумма вероятностей равна единице (µL1 + µL2 = 1, µH1 + µH2 = 1), то
v2 6 v1 +	cH − cL	.
	µH2 − µL2

Второе слагаемое здесь положительно при cL < cH . Таким образом, линия совместимости стимулов в координатах (v1, v2) — это прямая, параллельная биссектрисе и проходящая выше нее. Допустимые точки лежат ниже этой линии.

Ограничение участия

µL1v1 + µL2v2 − cL > u0,

можно записать в виде

v2 > u0 + cL − µL1v1 . µL2

Оно задается прямой, наклон которой равен −µL1/µL2 . Допустимые точки лежат выше этой прямой. Это одна из линий безразличия работника. (Все линии безразличия работника имеют одинаковый наклон −µL1/µL2 .)

Чтобы записать задачу нанимателя в терминах полезности обозначим через f(·) функцию, обратную к v(·), то есть f(vs) = ws :

˜ − −

EL Π = µL1(y1 f(v1)) + µL2(y2 f(v2)).

Можно в координатах (v1, v2) рассмотреть линии уровня нанимателя (соответствующие постоянной ожидаемой прибыли, или, что эквивалентно, постоянной ожидаемой оплате). Эти кривые безразличия выпуклы вправо вверх, множество лучших точек лежит под кривой безразличия.

v2

решение

v1

линии уровня нанимателя

Рис. 15.10. Стимулирование низких усилий

Наклон кривой безразличия нанимателя определяется следующим образом:

∂(EL Π)˜

/∂v1

= −

µL1f0

(v1)

= −

µL1v0

(w2)

.

˜

µ

f

(v )

µ

v

(w

)

∂(EL Π)/∂v2

L2

0

2

L2

0

1

Кривая безразличия нанимателя касается прямой, определяемой условием участия, в точке,

где

−µL1v0(w2) = −µL1 . µL2v0(w1) µL2

Т. е. v0(w1) = v0(w2), что при убывании v0(·), означает, что точка касания соответствует фиксированной оплате w1 = w2 , то есть лежит на биссектрисе.

Поскольку в случае, когда a = L, на диаграмме в координатах (v1, v2), линия, соответствующая ограничению совместимости стимулов, лежит выше биссектрисы, то ограничение

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

568

совместимости стимулов неактивно, а ограничение участия активно. Таким образом, оптимальное решение лежит на биссектрисе, т. е. v1 = v2 . Оно находится как точка пересечения прямой, задающей ограничение участия, и биссектрисы. В оптимальной точке кривая безразличия нанимателя касается прямой, задающей ограничение участия. (См. Рис. 15.10.)

Таким образом, при a = L оплата по контракту должна быть фиксированной: w1 = w2 = w¯ (контракт с полным страхованием работника), и должна обеспечивать ему резервный уровень полезности, что соответствует сделанным ранее выводам.

В своих рассуждениях мы опирались на то, что cL < cH . Аналогичным образом можно показать, что w1 = w2 = w¯ и в случае, когда cL = cH . Обратно, если оплата по контракту не зависит от результатов, из условия совместимости стимулов следует, что

v¯ − cL > v¯ − cH ,

или

cH > cL,

Из этого можно сделать вывод, что оплата по контракту, принуждающему к действиям L, будет фиксированной в тех и только в тех случаях, когда действия типа L требуют от работника меньших затрат, чем действия типа H , то есть являются для него выгодными сами по себе.

Проанализируем теперь случай, когда наниматель хочет побудить работника выбрать высокий уровень усилий H . Условие совместимости стимулов в этом случае записывается в виде

µH1v1 + µH2v2 − cH > µL1v1 + µL2v2 − cL.

Множество допустимых по этому условию контрактов имеет ту же границу, что и при L (она параллельна биссектрисе и лежит выше ее), но допустимые точки лежат выше границы:

v2 > v1 +	cH − cL	.
	µH2 − µL2

Ограничение участия

µH1v1 + µH2v2 − cH > u0,

задается прямой

v2 = u0 + cH − µH1v1 . µH2

Ее наклон равен −µH1/µH2 . Поскольку точка касания соответствующих кривых безразличия работника и нанимателя лежит на биссектрисе, т. е. она в рассматриваемом случае не принадлежит множеству допустимых контрактов, то ограничение совместимости стимулов оказывается активным.

В предположении, что активным является и ограничение участия, решение представляется точкой пересечения двух соответствующих прямых (см. Рис. 15.11). Линии уровня нанимателя в точке пересечения с биссектрисой имеют тот же наклон −µH1/µH2 , что и линия участия (это проверяется так же, как для L).

Если нанимателю выгодно стимулировать высокий уровень усилий, то результат не будет оптимальным по Парето (см. Рис. 15.12). Оптимальный для нанимателя контракт задается точкой A, которая лежит на пересечении линии совместимости стимулов h, и линии участия i. Это не оптимально по Парето, так как точка B лежит на той же кривой безразличия нанимателя, а для работника она дает более высокую ожидаемую полезность, чем A (лежит на более высокой линии безразличия работника i0 ). Точка B является Парето-оптимальной (кривые безразличия касаются), но ее нельзя реализовать из-за условия совместимости стимулов. Если наниматель изменит контракт так, что работнику станет доступна точка B , то

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

569

v2

решение

v1

Рис. 15.11. Стимулирование высоких усилий

v2

h

A B

i0

i00 i

v1

Рис. 15.12. Неоптимальность контракта, стимулирующего высокие усилия

работнику будет выгодно изменить свои действия с H на L. Действительно, на диагонали выполняется неравенство

µL1v + µL2v − cL > µH1v + µH2v − cH .

При переходе от H к L карты кривых безразличия работника и нанимателя в координатах (v1, v2) меняются, так как меняются вероятности. Соответствующей точке B линией безразличия работника будет i00 , с более крутым наклоном (µL1/µL2 > µH1/µH2 ).

Таким образом, при стимулировании высокого уровня усилий наниматель должен ограничивать полезность работника, чтобы тот не выбрал еще большую в ущерб интересам нанимателя.

Пример 78:		√
Предположим, что v(w) =				. Резервная полезность, u0 , равна 2. При этом возможны
			w + 5
два уровня усилий, низкий, L, и высокий, H , два исхода, A и B , с вероятностями, доходами
и издержками, заданными таблицей:
			A: yA = −5		B: yB = 25
	a = L	2/3			1/3	cL = 1
	a = H	1/3			2/3	cH = 2

Найдем оптимальный контракт.

Заметим, что ожидаемый доход составляет 5 при низком и 15 при высоком уровне усилий.

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

570

Если наниматель стремиться обеспечить низкий уровень усилий, то, как известно, контракт обуславливает одинаковую оплату вне зависимости от результата. Условие совместимости стимулов при этом выполняется вне зависимости от величины такой оплаты. Поэтому существенным оказывается только условие участия. Действительно, оплата в соответствии с оптимальным контрактом в этом случае определяется как решение следующей задачи

2/3wA + 1/3wB → min

2/3√

+ 1/3√

− 1 > u0 = 2,

wA + 5

wA + 5

√

√

√

√

2/3 wA + 5 + 1/3 wA + 5 − 1 > 1/3 wA + 5 + 2/3 wA + 5 − 2,

или, используя обозначение vs = √

,

ws + 5

2/3(vA2 − 5) + 1/3(vB2 − 5) → min

2/3vA + 1/3vB − 1 > 2

(или vB > 9 − 2vA),

2/3vA + 1/3vB − 1 > 1/3vA + 2/3vB − 2

(или vB 6 vA + 3).

Заметим, что если решение рассматриваемой задачи с отброшенным ограничением совместимости стимулов будет удовлетворять этому ограничению, то оно будет и решением исходной задачи.

Таким образом, будем решать задачу минимизации ожидаемой оплаты при ограничении участия vB > 9 − 2vA . Поскольку целевая функция монотонно возрастает по переменным vA , vB , то это единственное ограничение будет активным. Поэтому после подстановки vB = 9−2vA сведем данную задачу к следующей задаче безусловной оптимизации:

2/3(vA2 − 5) + 1/3((9 − 2vA)2 − 5) → min .

Решение удовлетворяет условию первого порядка

4/3vA − 4/3(9 − 2vA) = 0,

откуда vA = 3 и vB = 3. Видим, что оплата не зависит от результата и равна wA = wB = 4. Ограничение совместимости стимулов выполнено всегда, когда оплата не зависит от результата, в том числе, и в данном случае.

Соответствующая этому уровню усилий ожидаемая прибыль равна 1, поскольку ожидаемый доход равен 5, а ожидаемая оплата равна 4.

Вычислим теперь ожидаемую прибыль нанимателя, когда он стимулирует высокий уровень усилий. Оплата в соответствии с оптимальным контрактом в этом случае определяется как решение следующей задачи:

1/3(vA2 − 5) + 2/3(vB2 − 5) → min 1/3vA + 2/3vB − 2 > 2 (или vB > 6 − vA/2),

1/3vA + 2/3vB − 2 > 2/3vA + 1/3vB − 1 (или vB > vA + 3).

Здесь ограничение совместимости стимулов будет активным. Если бы это было не так, то, как было установлено раньше, оплата по контракту не зависела бы от результатов (т. е. vA = vB ), но тогда ограничение совместимости стимулов vB > vA+3 не могло бы выполняться. Таким образом, vB = vA + 3, и поэтому задача сводится к следующей:

1/3(vA2 − 5) + 2/3((vA + 3)2 − 5) → min vA + 3 > 6 − vA/2 (или vA > 2).

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

571

Целевая функция возрастает по vA , поэтому vA = 2. Отсюда vB = 5, wA = −1, wB = 20. Ожидаемая оплата равна 1/3 · (−1) + 2/3 · 20 = 13. Ожидаемая прибыль равна 15 − 13 = 2.

Таким образом, оптимальный контракт должен стимулировать высокий уровень усилий. Он обеспечивает нанимателю ожидаемую прибыль 2, а работнику оплату −1 в ситуации A и 20 в ситуации B .

Если бы действия были наблюдаемы, то оптимальный контракт также должен был бы стимулировать высокий уровень усилий. В этом случае наниматель полностью застраховал бы работника, так что vA = vB = 4, wA = wB = 11. При этом он обеспечил бы себе более высокую ожидаемую прибыль 15 − 11 = 4, а полезность работника при этом осталась бы на уровне u0 . Этот идеальный для нанимателя контракт недостижим при ненаблюдаемости усилий.

Две диаграммы на Рис. 15.13 иллюстрируют проведенный анализ.

v2			а)	v2				б)
10				10
8				8
6				6
4				4
2				2
			v1						v1
2	4	6	8	2	4	6	8	10	12

Рис. 15.13. (а) Низкий уровень усилий; наниматель полностью страхует работника от риска;

(б) высокий уровень усилий; наниматель разделяет риск с работником, выплачивая ему высокую зарплату в ситуации A и низкую — в ситуации B

Заметим, что в нашем примере работник в ситуации B выплачивает нанимателю штраф. Если бы существовали ограничения снизу на величину оплаты по контракту (например, законодательные), то следовало бы модифицировать рассуждения, введя в задачи соответствую-

щие ограничения (см. Пример 80 ниже).

4

Проведем теперь анализ задачи в общем случае m исходов при двух уровнях усилий, L и H . Поскольку решение вспомогательной задачи минимизации ожидаемой платы при уровне усилий L нам известно (оно такое же, как при наблюдаемых действиях), то проанализируем вспомогательную задачу, соответствующую уровню усилий H : требуется минимизировать ожидаемую оплату при ограничениях участия и совместимости стимулов для уровня усилий H . Лагранжиан этой задачи имеет вид

		m	m	m
L = −	sX		X	X
		µHsws + γ( µHsv(ws) − cH − µLsv(ws) + cL) +
	=1		s=1	s=1
			m
			sX	µHsv(ws) − cH − u0).
			+ λ(
			=1
Дифференцируя по плате, соответствующей s-му результату:
		∂L	= −µHs + γ(µHs − µLs)v0(ws) + λµHsv0(ws),
		∂ws

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями		572
получим следующее условие первого порядка:		µHs ! .
v0(ws) = λ + γ 1 −
1		µLs

Отсюда следует, что если ограничение совместимости стимулов несущественно, т. е. множитель Лагранжа γ равен нулю, то v0(ws) = 1/λ s, то есть плата не зависит от результата:

ws = w¯ = const, s.

Это может быть только при низком уровне усилий, L. Поэтому γ > 0 и ограничение совместимости стимулов выполняется как равенство.

Покажем, что условие участия также существенно, т. е. множитель Лагранжа λ тоже положителен. Умножим условия первого порядка на соответствующие µHs :

µHs

v0(ws) = λµHs + γ(µHs − µLs).

и сложим для всех значений s:

m

X µHs = λ

s=1 v0(ws)

mm

XX

µHs + γ (µHs − µLs) = λ.

s=1 s=1

Поскольку µHs > 0 s и v0(w) > 0 w, то λ > 0.

Обозначим через w0 уровень заработной платы, являющийся решением уравнения

1

v0(w0) = λ,

где множитель Лагранжа λ, соответствует решению вспомогательной задачи. Используя это обозначение, оплату по контракту можно охарактеризовать следующим образом. Если вероятность получения результата s при высоком уровне усилий выше, чем при низком (µHs > µLs ), то работник получает надбавку к базовой плате w0 , т. е. ws − w0 > 0, причем эта надбавка тем выше, чем выше отношение µHs/µLs , т. е. чем выше относительная вероятность получения результата s при уровне усилий H . Это отношение в статистике называют отношением правдоподобия.

В том случае, если вероятность получения результата s при высоком уровне усилий ниже, чем при низком, контракт предусматривает вычет из базовой платы w0 , т. е. ws − w0 < 0.

Если отношение правдоподобия µHs/µLs монотонно возрастает, то оплата по контракту оказывается возрастающей функцией результата. В частном случае двух результатов это свойство эквивалентно предположению о стохастическом доминировании: µH1 < µL1 . В случае трех и более возможных результатов монотонность отношения правдоподобия — более сильное свойство. Хотя из монотонности отношения правдоподобия следует стохастическое доминирование, но обратное, вообще говоря, неверно (см. задачу 613 на с. 574).

Приведем пример оптимального контракта с немонотонной оплатой.

Пример 79:	√
Пусть v(w) =				, u0 = 0. Возможны два уровня усилий и три результата с вероятностями,
			w
доходами и издержками, заданными следующей таблицей:
					y1 = 0	y2 = 10	y3 = 20
				a = L	0,2	0,7	0,1	cL = 1
				a = H	0,1	0,1	0,8	cH = 2

15.2. Модель с ненаблюдаемыми действиями

573

Найдем оптимальный контракт.

Если наниматель стремится обеспечить высокий уровень усилий, то условия совместимости стимулов и участия выполняются как равенства, поэтому, используя обозначение vs = √ws , можно записать в виде

0,1v1 + 0,1v2 + 0,8v3 − 2 = 0,2v1 + 0,7v2 + 0,1v3 − 1 = 0.

Выражая отсюда v1 через v2 и v3 , получим
v2 =	12 − 3v1			, v3				=		26 − v1		.
	11							11
Ожидаемая плата равна
EH w˜ = 0,1v12 + 0,1v22 + 0,8v32 =		0,1			(121v12 + (12 − 3v1)2 + 8(23 − v1)2).
			121
Минимизируя по v1 , получим					122
	v1 =							,
						69
откуда		42						152
	v2 =			, v3 =							.
		69							69

Ожидаемая плата равна примерно 4,23.

Если наниматель стремится обеспечить уровень низкий усилий, то плата не зависит от результата и находится из условия v(w) − cL = u0 . Следовательно, эта фиксированная плата равна 1.

Ожидаемый доход равен 9 при низких усилиях и 17 при высоких. Таким образом, ожидаемая прибыль выше при стимулировании высоких усилий.

Видим, что плата по оптимальному контракту немонотонна. Это связано с тем, что отно-

шение правдоподобия µHs/µLs немонотонно (1/2 > 1/7 < 8).

4

Рента, связанная с ограниченной ответственностью

Водитель дорогого грузовика обычно получает зарплату заметно большую, чем другие водители той же квалификации, но на менее дорогой технике. Как объяснить этот феномен?

Одно из возможных объяснений состоит в том, что более высокая заработная плата возмещает большую тягость усилий. Альтернативное объяснение состоит в том, что возможные контракты должны удовлетворять дополнительным ограничениям. Так, в описываемом случае хозяин грузовика — наниматель данного водителя — не может в случае поломки грузовика возложить полную материальную ответственность на водителя (условие ограниченной ответственности).

Таким образом, для анализа таких ситуаций следует включить в модель найма дополнительные ограничения.

Проиллюстрируем сказанное примером.

Пример 80:

Предположим, что работник нейтрален по отношению к риску, т. е. v(w) = w, и его резервная полезность u0 равна 1. Остальные параметры модели приводятся в таблице.

	y1	y2
a = L	3/4	1/4	cL = 0
a = H	1/4	3/4	cH = 10