6.4. Связь излишков с благосостоянием

231

В случае, если функция издержек сепарабельна, излишек производителя можно представить как сумму излишков по l рынкам:

l	l
X	X
P Sj = [pkyjk − cjk(yjk)] =	P Sjk.
k=1	k=1

Можно представить излишек производителя на k-м рынке в виде интеграла:

Z yjk

P Sjk = [pk−c0jk(t)]dt − cjk(0).

0

Он равен (с точностью до константы cjk(0)) площади фигуры, образуемой прямой, проходящей через точку (0, pjk) параллельно оси абсцисс, и кривой предельных издержек c0jk(yjk) (кривой предложения). В случае, когда cjk(0) = 0 получаем, что излишек производителя равен

Z yjk

P Sjk = [pk−c0jk(t)]dt.

0

6.4Связь излишков потребителя и производителя с индикатором благосостояния

Предположим, что {(x1, z1), . . . , (xm, zm), (y1, r1), . . . , (yn, rn)} — допустимое состояние экономики, причем (xi, zi) — решение задачи (CQ) i-го потребителя при ценах p и

XX

p xi = p	yj.
i I	j J

Тогда

XX

W (x, y) = vi(xi) − cj(yj) =

X	i I	jX	j J
	X
=	vi(xi) − p xi + (pyj − cj(yj)) = CS + P S,
i I	i I	J
где	CS = Xi I
			CSi

— суммарный потребительский излишек,

XX

P S =	πj(p) = P Sj(p)
j J	j J

— суммарный излишек производителей.

Другими словами, индикатор благосостояния W (x, y), соответствующий любому равновесию, равен сумме излишков потребителей и производителей.

????Заметим, что если p — равновесный вектор, предпочтения локально ненасыщаемы, то условия

XX

p xi = p	yj
i I	j J

выполнены. Заметим также, что в этом случае состояние экономики Парето-оптимально, и поэтому W (x, y) достигает максимума на множестве допустимых состояний.

В сепарабельной экономике излишки потребителей и производителей представляют собой суммы соответствующих излишков на l рынках:

ll

XX

CS = CSk, P S = P Sk.

k=1 k=1

6.5. Репрезентативный потребитель	232

6.5Представление суммарного спроса посредством модели репрезентативного потребителя

Очень часто при изучении моделей частного равновесия бывает удобно использовать предположение о том, что суммарный спрос порождается решением задачи одного потребителя. В том случае, когда такой потребитель существует, его называют репрезентативным потребителем.

Покажем, что в экономике EQ репрезентативный потребитель всегда существует.

Пусть xi(p) — вектор спроса i-го потребителя на первые l благ при ценах p. Тогда суммарный спрос всех потребителей равен

X

X(p) = xi(p).

i I

В этих обозначениях репрезентативный потребитель будет порождать своими предпочтениями суммарный спрос X(p).

Покажем что репрезентативный потребитель в этих условиях существует, причем его предпочтения на множестве потребительских наборов (x, z), x > 0, могут быть представлены квазилинейной функцией полезности вида:

u(x, z) = v(x) + z.

Рассмотрим следующую задачу (задачу максимизации суммы полезностей от потребления 1-го блага при фиксированном количестве x¯ этого блага):

Xi I	vi(xi) → x1,...,xm
	max
	Xi I xi 6 x¯,	(d)
	xi > 0.

Тогда в качестве v(x) мы можем взять значение этой задачи при x¯ = x. Покажем, что X(p) является решением задачи репрезентативного потребителя с функцией полезности, u(x, z) = v(x) + z , при любом векторе цен p > 0.

Предположим противное. Как мы видели, задачу представительного потребителя в случае квазилинейных предпочтений можно записать в эквивалентной форме:

v(x) − px → max .

x>0

Пусть существует x˜ > 0, такой что

v(x˜) − px˜ > v(X(p)) − px(p).

При этом, так как X(p) = должно быть выполнено

P

i I xi(p), и xi(p) допустимы в задаче (d) при x¯ = X(p), то

XX

v(x˜) − px˜ > vi(xi(p)) − p xi(p).

Pi I

i I

i I

Заметим, что v(x˜) =

v

(x˜

)

, где

(x˜

, . . . , x˜

)

— решение задачи (

d

) при

x¯ = x˜

. Таким

образом имеем

i

i

1

m

X X X X X

vi(x˜i) − p x˜i > vi(x˜i) − px˜ > vi(xi(p)) − p xi(p).

i I i I i I i I i I

6.6. Задачи к главе

233

Но это означает, что по крайней мере для одного из потребителей выполнено

vi(x˜i) − px˜i > vi(xi(p)) − pxi(p),

что противоречит оптимальности набора xi(p). Докажем, что

X

v(X(p)) = vi(xi(p)),

i I

другими словами, индикатор благосостояния в экономике с одним представительным потребителем упорядочивает интересующие нас состояния экономики так же, как и индикатор благосостояния первоначальной экономики.

P

Предположим противное. Случай v(X(p)) < i I vi(xi(p)) невозможен, тaк как xi(p) допустимы в задаче (d) при x¯ = X(p). Поэтому предположим, что существует p такое, что

X

v(X(p)) > vi(xi(p)).

i I

Пусть (xˆ1, . . . , xˆm) — решение задачи (d) при x¯ = X(p). По определению v(X(p)) = Значит,

XX

vi(xˆi) > vi(xi(p)).

i I i I

P

i I vi(xˆi).

С другой стороны,

XX

xˆi 6 X(p) =	xi(p).
i I	i I

Умножим на p:

XX

p xˆi 6 p xi(p).

i I i I

Складывая два неравенства, получаем

X X X X

vi(xˆi) − p xˆi > vi(xi(p)) − p xi(p).

i I i I i I i I

Получили требуемое противоречие.

6.6Задачи к главе

/353. Докажите вторую часть Теоремы ?????.

/354. ?? а) Постройте контрпример с вогнутыми функциями vi(·) и выпуклыми функциями cj(·), который бы показывал, что условие zˆi > 0 i существенно в первой части Теоремы ?????.

??б) Постройте контрпример, который бы показывал, что условие выпуклости функции издержек существенно в первой части Теоремы ?????.

/355. ?? Докажите Теорему ??.

/356. Покажите, что в случае квазилинейной экономики без ограничений на квазилинейное благо (EQ ) Парето-граница в координатах полезностей ui представляет собой гиперплоскость

P

вида i I ui = const.

/357. ??? Докажите Теоремы ??, ?? и 83.

/358. Докажите, что при xk(pk) > 0 выполнено

xk(pk) = −∂CSi(p) = −∂CSik(pk). ∂pk ∂pk

6.6. Задачи к главе

234

/ 359. Пусть (x, y) — допустимое состояние квазилинейной экономики, и p > 0 — некоторый вектор цен, причем xi является решением задачи потребителя при ценах p, и

XX

p	xi = p yj.
i I	j J
Докажите, что

X X ui(xi, zi) = W (x, y) + ωi

i I i I

/ 360. В экономике два блага (l + 1 = 2) и два потребителя, имеющие функции полезности u1 = √x1+z1 и u2 = 2√x2+z2 . Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.

/ 361. Решите предыдущую задачу с функциями полезности u1 = −3/x31 + z1 и u2 = −3/x32 + z2 .

/ 362. Потребители (i = 1, . . . , m) имеют квазилинейные функции полезности вида

(A)

u

= 2α

√

+ z

i , (B)

u

=

−

α2

1

+ z

i , (C)

u

= 2α

ln x

+ z

i .

i

x

i

i

i

i

i

i xi

i

Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя в каждом из случаев.

/ 363. Пусть предпочтения потребителей представляются квазилинейными сепарабельными функциями полезности. Тогда без потери общности можно считать, что в экономике два блага (l + 1 = 2). Пусть xi(p) — спрос на первое благо i-го потребителя при ценах p, D(p) = P xi(p) — суммарный спрос потребителей на первое благо, и p(x) = D−1(x) — обратная функция спроса. Предположим, что функция p(x) является непрерывной и убывающей при x > 0. Докажите, что если

Z x

v(x) = p(q)dq,

0

то v(x) + z является функцией полезности репрезентативного потребителя.

/ 364. В ситуации предыдущей задачи функция спроса на благо имеет вид

1

D(p) = 4p2 .

Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.

/365. Пусть в экономике имеется 2 блага и цена 2-го блага равна 1. Функция спроса потребителя на 1-е благо является линейной убывающей функцией цены этого блага и не зависит от дохода. Покажите, что предпочтения потребителя можно представить квазилинейной функцией полезности. Найдите эту функцию полезности.

/366. Пусть в экономике имеется l + 1 благо и цена (l + 1)-го блага равна 1. Функция спроса потребителя на каждое из первых l благ является убывающей функцией цены этого блага и не зависит от дохода и цен остальных благ. Покажите, что предпочтения потребителя можно представить квазилинейной сепарабельной функцией полезности. Как найти эту функцию полезности на основе функции спроса?