11.4. Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля |
408 |
чистого взноса данного философа (т. е. без учета субсидий). Поменяется ли от этого ответ на предыдущий вопрос?
/507. Благосостояние двух потребителей зависит от двух благ — одного частного и одного общественного. Их предпочтения совпадают и задаются функцией полезности Кобба — Дугласа. Потребители располагают запасами только частного блага. Единицу общественного блага можно произвести из единицы частного. Его производство финансируется за счет добровольных взносов. При каких различиях начальных запасах можно гарантировать, что оба потребителя делают положительные взносы?
/508. В экономике с двумя благами, частным и общественным, имеются m потребителей, предпочтения которых совпадают и задаются функцией полезности Кобба — Дугласа. Потребители располагают запасами только частного блага, при чем общие запасы частного блага делятся поровну между первыми n потребителями. Единицу общественного блага можно произвести из единицы частного. Его производство финансируется за счет добровольных взносов. Как зависит объем потребления общественного блага от n?
11.4Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля
Ранее в этой главе были выведены дифференциальные характеристики Парето-оптималь- ных состояний экономики. Можно ли, по аналогии с экономиками без общественных благ, реализовать эти состояния экономики как рыночные равновесия, установив тем самым вариант второй теоремы благосостояния для таких экономик?
Покажем, что это возможно сделать, модифицировав должным образом понятие равновесия13. Сравнение дифференциальных характеристик Парето-оптимальных состояний экономик с общественными благами и классических экономик указывает направление такой модификации. Так, уравнения Самуэльсона, связывающие предельные нормы замещения общественного на частное благо в потреблении и производстве, не влекут за собой равенство предельных норм замещения общественного блага на частное для всех потребителей: в общем случае в Парето-оптимальных состояниях эти предельные нормы замещения могут быть разными. А поскольку в рыночном равновесии отношение предельных норм замещения благ равны отношению их цен, то возможная модификация рыночного равновесия состоит в отказе от единой цены для общественных благ и введении индивидуализированных цен таких благ.
Другими словами, будем считать, что каждый потребитель сталкивается с индивидуализированной ценой общественного блага, qik , (k K1 ). Далее, уравнение Самуэльсона подсказывает, что сумма индивидуализированных цен должна равняться цене, с которой сталкиваются производители общественного блага, т. е.
X
qik = pk, k K1.
i I
Такое равновесие с индивидуализированными ценами общественных благ называют равновесием Линдаля.
Приведем точную формулировку модели Линдаля.
13Заметим, что аналогичное исследование мы провели в общем случае экстерналий. Здесь мы его конкретизируем для частного случая рассматриваемых в этой главе — общественных благ.
11.4. Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля |
409 |
Задача потребителя в модели Линдаля имеет вид14
ui(xi) → max
xi
XX
qikxk + |
pkxik6βi, |
(11.2) |
k K1 k K2
xi Xi.
Задача производителя имеет обычный вид
pyj → |
max . |
(11.3) |
yj |
gj(yj) > 0, j.
Определение 76:
Назовем (p¯, q¯ , x¯, y¯) равновесием (псевдоравновесием) Линдаля15, если
#(x¯, y¯) — допустимое состояние экономики с общественными благами;
#каждый набор x¯i является решением соответствующей задачи потребителя (11.2) при ценах p¯ , и индивидуализированных ценах общественных благ {q¯ik}k K1 и доходах
βi = p¯ |
jX |
ωi + γijp¯y¯j + Si |
|
|
J |
#технология y¯j является решением задачи производителя (11.3) при ценах p¯ ;
#сумма индивидуализированных цен общественного блага равна цене производителя:
X
q¯ik = p¯k k K1.
i I
В равновесии Линдаля достигается консенсус в том смысле, что каждый потребитель при равновесных ценах предъявляет спрос именно на существующий (произведенный) объем общественного блага:
X
x¯ik = x¯k = y¯jk, i, k K1.
j J
Для случая дифференцируемых функций мы можем убедиться в совпадении дифференциальных характеристик внутренних Парето-оптимальных состояний и внутренних равновесий Линдаля.
Действительно, при сделанных ранее предположениях дифференциальная характеристика решения задачи потребителя (11.2) имеет вид:
∂ui/∂xk = qik , i, k K1, ∂ui/∂xik0 pk0
14В случае частных благ все потребители сталкиваются с одинаковыми ценами и выбирают разные наборы, в случае общественных благ все наоборот: потребители сталкиваются с разными ценами и потребляют
одинаковые наборы.
15E. Lindahl: Die Gerechtigkeit der Besteuerung: eine analyse der Steuerprinzipien auf Grundlage der Grenznutzentheorie, диссертация, Lunds universitet, 1919 (ч. I, гл. 4 “Positive L¨osung”) (англ. пер. E. Lindahl: Just Taxation—A Positive Solution, in Classics in the Theory of Public Finance, R. A. Musgrave and A. T. Peacock (ed.), London: Macmillan, 1958: 168–176). Эрик Линдаль, развивая идеи Кнута Викселя, предложил концепцию решения проблемы финансирования общественных благ, которую ниже мы называем равновесием при консенсусе. Более поздние исследователи назвали рассматриваемое в этой главе конкурентное псевдоравновесие «равновесием Линдаля», поскольку между двумя равновесными концепциями существует близкая связь (см. напр. D. K. Foley: Lindahl’s Solution and the Core of an Economy with Public Goods, Econometrica 38 (1970): 66–72.
x11.4. Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля |
411 |
решение следующей задачи:
vi(xi) − qixi → max .
xi>0
В случае, если ее решение — внутреннее (xi > 0), выполнено следующее условие первого
порядка
qi = vi0(xi).
Задача производителя имеет следующий вид:
py − c(y) → max
y>0
Если ее решение внутреннее (y > 0), то выполнено следующее условие первого порядка
c0(y) = p.
В равновесии (¯p, {q¯i}i, {x,¯ z¯i}i, {y,¯ r¯})¯x является решением задачи потребителя при цене q¯i , y¯ — решением задачи производителя при цене p¯, причем x¯ = y¯ и цены связаны соотноше-
P
нием p¯ = i I q¯i . Равенство спроса и предложения на рынке первого блага автоматически гарантирует, по закону Вальраса, равновесие на рынке второго (частного) блага.
Таким образом, в равновесии имеет место соотношение
X vi0(¯x) = p¯ = X q¯i = c0(¯y).
i I |
i I |
т.е. выполняется дифференциальная характеристика Парето оптимума.
Сдругой стороны, любое допустимое состояние экономики ({x,ˆ zˆi}i, {y,ˆ rˆ}), для которого выполняется данное соотношение, может быть реализовано как равновесие при дополнитель-
ном предположении о выпуклости функции издержек c(y) и вогнутости функций полезности vi(xi). Действительно, при индивидуализированных ценах q¯i = vi0(ˆx) спрос каждого потребителя на общественное благо составляет величину xˆ, равную предложению этого блага yˆ —
объему производства, который максимизирует прибыль производителя при ценах p¯ = |
i I qi . |
|
Дифференцируемость функций полезности и производственных функций, не |
требуется для |
|
|
P |
|
справедливости теорем благосостояния. Избыточным оказывается и требование вогнутости функций полезности и производственных функций для справедливости первой теоремы благосостояния.
Другими словами, можно показать, что имеют место следующие утверждения.
Теорема 120 ((первая теорема благосостояния)):
Если (p¯, q¯ , x¯, y¯) — равновесие Линдаля в экономике с общественными благами, и предпочтения потребителей локально ненасыщаемы, то (x¯, y¯) — Парето-оптимальное состояние. 
Теорема имеет почти ту же формулировку, что и в случае с обычными, частными благами. Появляется лишь новая квалификация равновесия (равновесие по Линдалю).
Теорема 121 ((вторая теорема благосостояния)):
Предположим, что предпочтения <i потребителей непрерывны i, предпочтения, а также множества Xi, i и Yj, j выпуклы. Тогда, если (xˆ, yˆ) — внутреннее Паретооптимальное состояние рассматриваемой экономики, то существуют цены p и q, а также трансферты S такие, что (p, q, xˆ, yˆ) — псевдоравновесие Линдаля. 
Установить справедливость этих утверждений можно, построив для рассматриваемой экономики модифицированную модель совершенного рынка путем сведения общественных благ к частными убедившись в том, что
11.4. Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля |
412 |
list??? — допустимым и Парето-оптимальным состояниям исходной экономики соответствуют допустимые и Парето-оптимальные состояния модифицированной экономики;
—равновесию Линдаля исходной экономики соответствует вальрасовское равновесие модифицированной экономики;
—предположения сформулированных выше первой и второй теорем благосостояния для экономики с общественными благами гарантируют выполнение предположений первой и второй17 теорем благосостояния для модифицированной (классической) модели.
Смысл этого сведения состоит в следующем. В ситуациях описанного типа мы сталкиваемся с вариантом производственных экстерналий (все произведенное количество блага k, k K1 , должно потребляться каждым потребителем). Поэтому, в соответствии с рецептом рассматриваемого в предыдущей главе «решения» для экономики с экстерналиями, для каждого такого типа экстерналий должны быть учреждены рынки (I × K1 вместо K1 как в случае, если бы эти блага были частными) с собственными (индивидуализированными) ценами общественных благ на каждом из таких рынков.
Опишем элементы этой модифицированной экономики: множество благ, множество потребителей, множество производителей, множество допустимых потребительских наборов, предпочтения и начальные запасы для каждого потребителя, технологическое множество для каждого производителя. Каждому частному благу сопоставим одно благо, а каждому общественному благу k сопоставим набор из m благ — по одному на каждого потребителя. Таким образом,
вмодифицированной экономике ml1 + l2 благ, где l1 — число общественных, а l2 — число
частных благ в исходной экономике. Множества потребителей и производителей не меняются.
Модифицированное потребительское множество ˜i потребителя строится на основе i
X i X
по следующему правилу:
|
(1) |
(1) |
(2) |
˜ |
|
тогда и только тогда, когда |
x˜i = (xi,1 |
, . . . , xi,m |
, xi |
) Xi |
|
(xi,i(1), xi(2)) Xi, |
|
|
|||
|
|
|
|||
|
xi,s(1) = 0 s 6= i. |
|
|
||
Предпочтения i-го потребителя |
<ei связаны с предпочтениями <i |
в исходной экономике по |
|||
следующему правилу: |
|
||||
x˜i<eiz˜i
тогда и только тогда, когда
(x(1)i,i , x(2)i ) <i (z(1)i,i , z(2)i ).
Начальные запасы состоят только из частных благ в прежних количествах:
ω˜ i = (0, . . . , 0, ω(2)i ).
Технологическое множество ˜j фирмы имеет следующую структуру. Технология
Y j
y˜j = (y(1)j,1 , . . . , y(1)j,m, y(2)j )
˜ |
˜ |
является допустимой в технологическом множестве Yj |
(y˜j Yj ) тогда и только тогда, когда |
y(1)j,1 = · · · = y(1)j,m = y(1)j ,
и
(y(1)j , y(2)j ) Y.
17Для второй теоремы благосостояния это не совсем так, поскольку не для всех благ будет выполнено условие внутренности, поэтому теорема несколько модифицируется.
11.4. Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля |
413 |
Заметим, что технологическое множество каждого производителя позволяет производить индивидуализированные блага только в одинаковых количествах (независимо от того, какому потребителю они «предназначены»).
По построению ({(x(1), x(2)i )}i, {(y(1)j , y(2)j )}j) — допустимое состояние в исходной экономике тогда и только тогда, когда
({(0, . . . , 0, x(1), 0, . . . , 0, x(2)i )}i, {(y(1)j , . . . , y(1)j , y(2)j )}j) —
допустимое состояние в модифицированной экономике.
Аналогичное утверждение можно сделать и относительно взаимосвязи между Парето-опти- мальными состояниями исходной и модифицированной экономики.
Читателю оставляется в качестве упражнения проверка того, что набор (p, q, {(x(1), x(2)i )}i,
{(y(1)j , y(2)j )}j) — равновесие Линдаля в исходной экономике с общественными благами тогда и только тогда, когда (p˜, x˜, y˜) — вальрасовское равновесие в модифицированной экономике,
где
p˜ = (q, p), x˜i = (0, . . . , 0, x(1), 0, . . . , 0, x(2)i ), y˜j = (y(1)j , . . . , y(1)j , y(2)j ).
Пример 55 ((продолжение Примера 54)):
Пусть опять
|
|
ui(x, zi) = 2αi ln x + zi, c(y) = y2. |
|
|
|
|
|||||||||
В равновесии Линдаля |
|
p¯ = c0(¯y) = 2¯y, q¯i = vi0(¯y) = 2αi/y¯. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пользуясь i I q¯i = p¯, получим y¯ = |
|
i I αi |
, что совпадает с Парето-оптимальным |
||||||||||||
объемом производства общественного блага yˆ. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P |
|
|
|
|
pP |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть в экономике 3 участника, и αi = i. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
√ |
|
√ |
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
4 |
y¯ = 6, p¯ = 2 6, q¯1 = 2/ 6, q¯2 = 4/ 6, q¯3 = 6/ 6. |
|||||||||||||||
Модификация понятия равновесия позволяет получить характеристику Парето-оптималь- ных состояний экономики с общественными благами, аналогичную второй теореме благосостояния для экономики с частными благами. Тем самым, конструкция, предложенная Линдалем, указывает на возможность использовать механизм цен для координации решений и действий потребителей и производителей, для достижения эффективного распределения ресурсов в такой экономике, как и в экономике с частными благами.
Но эта конструкция скорее подчеркивает проблемы, которые связаны с использованием механизма цен для координации решений участников, чем дает описание этого механизма. Здесь есть три обстоятельства, на которые следует обратить внимание, подчеркивающие нереалистичность этой конструкции как механизма координации хозяйственной деятельности потребителей и производителей:
1. В теореме большое значение имеет то, что это модель совершенной конкуренции, что на рынках потребители и производители действуют как ценополучатели, т. е. воспринимают цены благ как данные. Такая гипотеза является оправданной, когда производителей и потребителей достаточно много. Хотя мы можем здесь предположить, что производителей общественного блага довольно много, то есть со стороны производителей нам нет никаких оснований считать, что эта гипотеза совершенной конкуренции нарушена, однако покупатель общественного блага на каждом индивидуализированном рынке всего один, т. е. это чистый случай монопсонии. И, конечно, в этой ситуации предполагать, что покупатель будет действовать как ценополучатель никаких оснований нет. Конечно, если попытаться реализовать эту конструкцию Линдаля в реальной жизни, то потребитель будет использовать свое влияние на цены для того, чтобы установить наиболее удовлетворительный уровень цен.