3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

125

Несмотря на возможность несовпадения, данная аппроксимация обладает свойствами, делающими ее полезной для моделирования поведения потребителя: во-первых, u (x) = u(x) для всех точек x из области значений функции спроса, во-вторых, функция u (·) порождает по существу тот же спрос, что и исходная функция полезности.

Теорема 39:

Пусть u(·) — исходная функция полезности, v(·, ·) — соответствующая ей непрямая функция полезности, а функция u (·) построена на основе задачи (♥) указанным выше способом. Предположим, что x¯ — оптимальный потребительский набор при ценах p¯ P

¯		¯	¯
и доходе R > 0, т. е. x¯ x(p¯, R). Тогда верно следующее:
(i) Вектор цен p¯ является решением задачи (♥) c x = x¯			и R = R, и выполнено u(x¯) =
v(p¯, R¯) = u (x¯).		¯	·	) при
(ii) Набор x¯ является решением задачи потребителя с функцией полезности u (
при ценах p¯ P и доходе R > 0.
Доказательство:	(i) Пусть p P — произвольный вектор, являющийся допустимым в задаче
(♥) c x = x¯ и	¯	¯
	R = R, т. е.	px¯ 6 R. Это неравенство, с другой стороны, означает, что x¯
		¯
допустим в задаче потребителя при ценах p и доходе R. Этот набор не может иметь большую

		¯
полезность, чем набор xˆ x(p, R), являющийся оптимальным в задаче потребителя при ценах
p	¯	u(x¯) 6 u(xˆ), или v(p¯	¯	¯	p¯ оптимален в
	и доходе R, т. е.		, R) 6 v(p, R). Отсюда следует, что

задаче (♥) c ¯ и ¯ . Таким образом, мы получили, что ¯ ¯ ¯ . x = x R = R v(p, R) = u (x)

(ii) Пусть xˆ — произвольный потребительский набор, удовлетворяющий бюджетному огра-

ничению при ценах p¯	¯	¯	¯
	и доходе R: px¯ ˆ	6 R. Рассмотрим задачу (♥) с x = xˆ	c и R = R.

Цены p¯ являются допустимыми в этой задаче, а u (xˆ) — значение этой задачи. Поэтому

¯ ¯ ˆ ¯ ¯ ¯ ¯ ˆ

v(p, R) > u (x). Как только что доказано, u (x) = v(p, R), поэтому u (x) > u (x).

3.C.4 Интегрируемость (рационализуемость) спроса

В предыдущих пунктах данного параграфа мы предполагали, что рассматриваемые функции спроса порождены задачей максимизации некоторой функции полезности. В этом пункте мы откажемся от данного априорного предположения и укажем на те свойства функций спроса, которые позволяют построить предпочтения, приводящие к тем же функциям спроса (т. е. рационализовать рассматриваемый спрос). Предположим, что функция x(p, R) определена на

P × R++ , где P R++l				— некоторое открытое выпуклое множество векторов цен (например,
l	¯	R	l	— область значений этой функции. Необходимые условия того, что
P = R++ ), и	X

данная функция порождена моделью рационального поведения, нам известны:

oФункция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу.

oФункция спроса x(p, R) удовлетворяет закону Вальраса (p, x(p, R)) = R (если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы).

oМатрица замены

∂pj	+ ∂R xj! .
∂xi		∂xi
			i,j

является симметричной и отрицательно полуопределенной29.

29Отрицательная полуопределенность матрица замены является следствием закона спроса при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому, который, в свою очередь, следует из слабой аксиомы выявленных предпочтений (см. пункт 3.3.1). Поэтому отрицательную полуопределенность матрицы замены здесь можно заменить на требование выполнения для спроса слабой аксиомы выявленных предпочтений.

3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

126

Возникает вопрос о том, можно ли рационализовать эту «функцию спроса» некоторой функцией полезности на X . Оказывается, что эти условия являются и достаточными, т. е. любая функция, удовлетворяющая этим условиям (и еще некоторым техническим условиям, которые упоминались ранее), может быть порождена моделью рационального поведения.

Заметим, что приведенные условия не являются независимыми, поскольку из последних двух следует первое, так что фактически выполнение закона Вальраса для данных функций спроса и симметричность и отрицательная полуопределенной матрицы коэффициентов замены являются достаточными условиями существования предпочтений, порождающих эти функции спроса. Покажем это.

Теорема 40:

Пусть функция спроса x(p, R) дифференцируема по ценам и доходу, удовлетворяет

закону Вальраса (px(p, R) = R), а матрица коэффициентов замены	∂xi + ∂xi xj	, яв-
	∂pj ∂R	i,j

ляется симметричной, тогда функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу.

Доказательство: Рассмотрим вектор-функцию fi(t) = xi(tp, tR), где i — одно из благ. В силу дифференцируемости функции спроса по ценам и доходу для любого t > 0 имеем, что (при проведении этих выкладок для упрощения записи аргументы (tp, tR) функции спроса и ее производных будем опускать):

fi0	(t) = Xj	∂xi		∂xi	R = Xj	∂xi		∂xi
			pj +				pj +		px =
		∂pj		∂R		∂pj		∂R

= Xj	∂pj pj +	∂R pjxj!	= Xj	pj	∂pj	+ ∂R xj! = Xj				pj
	∂xi	∂xi			∂xi	∂xi
						= Xj	pj	∂xj	+ xi
								∂pi

∂pi			+ ∂R xi!				=
∂xj				∂xj
Xj		∂x
	pj		j		=	−xi	+ xi = 0.
			∂R

При проведении этих преобразований мы воспользовались тождествами	Pj pj	∂xj	+ xi	= 0
		∂pi

P∂xj

иj pj ∂R = 1, которые получаются путем дифференцирования уравнения закона Вальраса

(см. Теорему 33 на с. 89). Таким образом, fi(t) — константа и, тем самым, для любого t верно, что fi(t) = fi(1), откуда x(tp, tR) = x(p, R) = t0x(p, R). Последнее и означает, что функция спроса x(p, R) однородна нулевой степени по ценам и доходу.

Перейдем теперь к построению предпочтений, рационализирующих данные «функции спроса». По аналогии с рассмотренной выше ситуацией, когда априорно предполагается, что данный спрос порожден задачей максимизации полезности, для этих функций можно определить

«функцию расходов» на × ¯ , так что она удовлетворяет дифференциальным уравнениям

P X

rpe(p, x) = x(p, e(p, x))

с граничными условиями e(p0, x) = R, где p0 — такой вектор цен, что x x(p0, R). При этом полученная функция e(·, ·) обладает следующими свойствами:

•Функция e(p, x) дифференцируема по p.

•Функция e(p, x) однородна первой степени по p.

•Функция e(p, x) не убывает по p, если функция спроса неотрицательна.

•Функция e(p, x) вогнута по p, в силу отрицательной полуопределенности матрицы Слуцкого.

3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

127

•Если для некоторого p верно соотношение e(p, x) = e(p, x0), то оно также верно и для любого p0 , т. е. e(p0, x) = e(p0, x0). (Данное свойство ни что иное, как следствие един-

ственности решения предложенного дифференциального уравнения.)

Покажем, что при любом фиксированном векторе цен q P для функции полезности u(x) = e(q, x) функция x(p, R) задает спрос потребителя. Предварительно докажем ряд вспомогательных утверждений. Первое из них показывает, что упорядочение потребительских наборов на основе полученных таким образом «функций расходов» не зависит от выбора конкретной функции расходов, т. е. фиксированного вектора цен, используемого для расчета стоимости потребительских наборов.

Теорема 41:

Пусть 0 ¯ и при некотором векторе цен выполнено

P

p

X

x

,

x

e(p, x) > e(p, x0).

Тогда аналогичное соотношение выполняется для любого другого вектора цен q P :

e(q, x) > e(q, x0).

Доказательство: Случай, когда для некоторого p P справедливо соотношение e(p, x) = e(p, x0), очевиден, как уже упоминалось, в силу единственности решения. Поэтому разберем случай, когда для некоторых цен p P выполнено e(p, x) > e(p, x0). Предположим противное,

а именно, что нашлись такие цены q P , для которых e(q, x) < e(q, x0). Рассмотрим функцию f(t) = e(p + t(q − p), x) − e(p + t(q − p), x0). Эта функция непрерывна, так как непрерывна

по ценам функция e(·, ·). Кроме того, f(0) > 0 > f(1), откуда в силу непрерывности следует

˜	˜	q˜ P , что
существование такого t, что	f(t) = 0. Другими словами найдется такой вектор

для него справедливо равенство e(q˜, x) = e(q˜, x0). Но это означает, что равенство должно выполняться и для первоначального вектора цен, т. е. e(p, x) = e(p, x0). Противоречие.

Заметим теперь, что поскольку e(p, x) однородна первой степени по p, то по формуле

Эйлера rp для всех ¯ и . По построению функции · · , если e(p, x) = p e(p, x) x X p P e( , )

набор x является значением спроса при ценах p, т. е. x = x(p, px), то x = rpe(p, x) (откуда следует, что e(p, x) = px). Данные свойства функции e(·, ·) позволяют установить следующее утверждение.

Теорема 42:

Для каждого набора ¯ и вектора цен 0 выполнено 0 0 . x X p P e(p , x) 6 p x

Доказательство: Поскольку ¯ , то этот набор представим в виде при некото- x X x = x(p, R)

рых p P и R > 0. Вогнутость функции e(·, ·) по ценам влечет, что e(·, ·) как функция цен лежит ниже своей касательной, поэтому выполнено неравенство

e(p0, x) 6 e(p, x) + (p0 − p)rpe(p, x),

откуда, сократив e(p, x) и prpe(p, x), получим

e(p0, x) 6 p0rpe(p, x).

Подставляя вместо градиента x, получаем требуемое соотношение.

Поясним смысл доказываемого неравенства. Пусть e(·, ·) — функция расходов рационального потребителя. По определению e(p0, x) — это минимальные расходы в ценах p0 на достижение по крайней мере того уровня благосостояния, который обеспечивается вектором x. Сам вектор x может не минимизировать расходы, поэтому, вообще говоря, e(p0, x) 6 p0x.

3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

128

Другими словами, выполнение неравенства e(p0, x) 6 p0x — это одно из свойств функции расходов рационального потребителя. Таким образом, Теорема 42, фактически, устанавливает, что сконструированная как решение дифференциального уравнения «функция расходов» не противоречит одному из естественных требований, связанных с рациональностью.Более того, как тривиальное следствие Теоремы 42 получаем, что данная «функция расходов», рассматриваемая как функция полезности, действительно рационализует предпочтения, т. е. порождает точно такой же спрос, как тот, на основе которого она построена.

Пусть 0 — некоторый набор из ¯ . Для этого набора найдутся цены 0 , такие что x X p P

0 0 0 0 . Из доказанной только что теоремы следует, что если взять ¯ в качестве мно- x = x(p , p x ) X

жества потребительских наборов, e(·, ·) как функцию второго аргумента в качестве функции полезности, p0 в качестве вектора цен, а e(p0, x0) в качестве дохода, то x0 является решением соответствующей задачи потребителя. Другими словами, x0 является решением задачи

e(p0, x) → max

¯ x X

p0x 6 e(p0, x0).

Действительно, возьмем произвольный набор ¯ , такой что 0 0 0 . По доказанной x X p x 6 e(p , x )

теореме для него выполнено p0x > e(p0, x), и, следовательно, e(p0, x0) > e(p0, x).

Заметим далее, что в качестве функции полезности в задаче потребителя мы могли бы взять e(q, ·) с любым вектором цен q P . Отсюда следует, что функция e(q, ·) рационализует

· · на ¯ . А именно, при всех ценах и доходах является решением соответствующей

)

R

,

p

(

x

X

)

,

(

x

задачи потребителя:

e(q, x) → max

¯ x X

px 6 R.

Отметим, что в данном случае условие симметричности «матрицы замены» S — это условие математической интегрируемости (т. е. условие существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений), а ее отрицательная полуопределенность — условие экономической интегрируемости, которое гарантирует, что найденное решение рационализует спрос.

3.C.5 Задачи

/ 170. Пусть функция u(·) — функция полезности, представляющая строго выпуклые и строго монотонные предпочтения, заданные на Rl+ , v(·) — соответствующая непрямая функция полезности. Покажите, что если функция u (·) построена на основе задачи (♥), то

u (x) = u(x) x Rl++.

Указание: Используйте теорему отделимости (см. доказательство утверждения о восстановлении технологического множества по функции прибыли в Теореме 54 на с. 149). Множество L++(x) = { y | y x } можно отделить от точки x. Поскольку предпочтения строго монотонны, то нормаль p к отделяющей гиперплоскости — вектор с положительными коэффициентами. Тогда p — решение задачи (♥).

/ 171. Пусть u(x) — функция полезности. Вычислите для нее непрямую функцию полезности, решите задачу (♥) и вычислите «восстановленную» функцию полезности u (x). Совпадает ли она с исходной функцией полезности? Решите задачу для следующих функций полезности:

(a) u(x) =	l	αk ln(xk);	(b) u(x) = mink{αkxk};
	k=1
	P		(d) u(x) = √3		+ x3.
(c) u(x) = x12 + x22;				x1x2

3.D. Агрегирование в потреблении

129

/172. Для функций полезности предыдущей задачи найдите функцию расходов и непрямую денежную функцию полезности.

/173. Для функций полезности предыдущей задачи найдите спрос, восстановите функцию

расходов (или, что то же самое, непрямую денежную функцию полезности), и постройте «восстановленную» функцию полезности u (x). Правильно ли восстановлены исходные предпочтения? Найдите спрос, соответствующий функции полезности u (x). Совпадает ли он с исходным

спросом?

/174. Функция спроса потребителя на первое из двух имеющихся в экономике благ равна x1(p1, p2) = a−bp1/p2 (не зависит от дохода). Найдите соответствующую функцию полезности.

/175. Найдите функцию полезности, которая рационализует спрос, полученный на основе лексикографических предпочтений.

/176. ??? задача 112 на с. 84

Приложение 3.D Агрегирование в потреблении

В этом параграфе мы рассмотрим условия, при которых функция рыночного спроса может быть порождена как решение задачи максимизации полезности отдельного (репрезентативного) потребителя. Такого рода конструкции, когда рыночный спрос представляется порождаемым некоторым воображаемым субъектом, является рабочим аппаратом современной макроэкономики и поэтому такая постановка вопроса интересна, осмысленна и является одним из базовых оправданий микрооснований макроэкономики.

Рассмотрим сначала какие свойства предпочтений гарантируют, что совокупный спрос можно представить в том же виде, что и индивидуальный спрос, т.е. совокупный спрос зависит только от цен и совокупного дохода. Это свойство совокупного дохода является необходимым условием существования репрезентативного потребителя. Предположим, что в экономике присутствуют n потребителей, каждый из которых имеет функцию спроса xi(p, Ri).

P

Как несложно заметить, совокупный спрос этих потребителей xi(p, Ri), вообще говоря, зависит от распределения доходов между ними. Пусть потребители в экономике имеют доходы (R1, . . . , Rn) и предположим, что доходы каждого из потребителей изменились на дифферен-

P

циально малую величину dRi , причем dRi = 0. Изменение суммарного спроса в экономике в

результате этого изменения доходов составит: P dxi(p,Ri) dRi . В случае если суммарный спрос

dRi

не зависит от распределения доходов, т. е.

P

P

xi(p, Ri) = x(p, Ri) это изменение совокуп-

ного спроса должно быть равно 0, т. е.

dxi(p,Ri)

dRi

= 0 и быть справедливым для всех

dRi

когда dxidRi i =

jdRj j .

P

dR

= 0. Что возможно лишь в ситуации

перераспределений удовлетворяющих

условию

P

i

(p,R )

dx (p,R )

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия для выполнения этого условия «всюду» и соответственно для глобального агрегирования предпочтений.

Теорема 43:

P

Рыночный спрос xi(p, Ri) не зависит от распределения доходов потребителей, т. е.

PP

xi(p, Ri) = x(p, Ri) тогда и только тогда, когда индивидуальные функции спроса порождены одним и тем же гомотетичным отношением предпочтения <.

Доказательство: Предположим, что каждая индивидуальная функция спроса xi(p, Ri) получена на основе совпадающих гомотетичных предпочтений. Как было показано выше, в случае гомотетичных предпочтений индивидуальная функция спроса будет положительно однород-

x(p, Ri).	P	i	) =	P i	x(p, 1) = (	P i	)x(p, 1) =
на первой степени по доходу. Таким образом,		x(p, R		R		R
P