3.B. Выявленные предпочтения в модели потребителя |
116 |
Замечание: Следствием этой теоремы является то, что непрерывность, монотонность и вогнутость функции полезности (непрерывность, монотонность и выпуклость предпочтений) нельзя опровергнуть на основе конечного набора данных о выборе потребителя на бюджетных множествах.
Замечание: То, что теорема Африата основана на конструировании «хорошей» функции полезности, ни в коем случае не означает, что данные нельзя рационализовать какой-то другой функцией, не обладающей указанными свойствами.
3.B.3 Задачи
/162. Индивидуум при ценах (4, 6) выбирает набор (6, 6), а при ценах (6, 3) он выбирает набор (10, 0). Удовлетворяют ли эти наблюдения аксиоме выявленных предпочтений?
/163. При ценах (1, 4) выбор потребителя был (2, 3). Какой из следующих наборов выявленно лучше, чем этот набор: (a) (5, 2), (b) (8, 1), (c) (15, 0)?
/164. При ценах (2, 1) выбор потребителя был (2, 2). Какой из следующих наборов выявленно лучше, чем этот набор: (a) (1, 5), (b) (5, 0), (c) (0, 5)?
/165. Совместимы ли с моделью рационального поведения с локально ненасыщаемой функцией полезности следующие наблюдения за рыночным поведением потребителя:
x(10, 10, 10) = (10, 10, 10); x(10, 1, 2) = (9, 25, 15/2); x(1, 1, 10) = (15, 5, 9)
(т. е. спрос при ценах (10, 10, 10) равен соответственно (10, 10, 10) и т. д.).
/ 166. Рациональный потребитель в базовом периоде при ценах pb выбрал объем потребления xb , а в периоде t при ценах pt выбрал объем потребления xt . Индексы физического объема потребления Пааше и Ласпейреса по определению равны
ptxt pbxt
Pq = ptxb , Lq = pbxb .
Какой из наборов xt, xb лучше для потребителя (a) если Pq > 1, (b) если Lq > 1?
/ 167. Индексы цен Пааше и Ласпейреса по определению равны
ptxt ptxb
Pp = pbxt , Lp = pbxb .
Пусть M — отношение потребительских расходов в период t к потребительским расходам в
t t |
лучше для потребителя (a) если |
базовом периоде, т. е. M = pbxb . Какой из наборов xt , xb |
|
p x |
|
Pp > M , (b) если Lp > M ? |
|
/ 168. Имеются следующие наблюдения за выбором потребителя: x1 = (5, 3), p1 = (1, 4), x2 = (2, 2), p2 = (1, 3), x3 = (2, 5), p3 = (3, 1).
(a)Продемонстрируйте, что эти наблюдения удовлетворяют обобщенной аксиоме выявленных предпочтений.
(b)Предложите функцию полезности, рационализующую эти наблюдения.
/169. Пусть при одних и тех же ценах p потребитель выбирал разные наборы x1, . . . , xn .
(a)Объясните, почему эти наблюдения не могут не удовлетворять обобщенной аксиоме выявленных предпочтений.
(b)Предложите простую функцию полезности, рационализующую такие наблюдения.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений |
117 |
|
|
Приложение 3.C Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений
Пусть в нашем распоряжении имеется система функций спроса x(p, R) потребителя (например, оцененная эконометрическими методами). Можно поставить перед собой две близкие, но несколько разные по смыслу задачи. Во-первых, можно по спросу восстанавливать функцию полезности (если предполагается, что такая функция у потребителя есть). Во-вторых, можно пытаться по спросу сконструировать ее (если не предполагается, что такая функция у потребителя есть), т. е. рационализовать наблюдаемый спрос некоторой функцией полезности. При решении этой второй задачи желательно уметь определять, возможно ли в принципе ее решить (если потребитель ведет себя непоследовательно, то, значит, в основе его поведения не может лежать функция полезности).
Традиционные подходы к решению данных задач опираются на то, что решение задачи потребителя характеризуются некоторыми соотношениями, которые можно рассматривать как дифференциальные уравнения. Решая эти дифференциальные уравнения (что, как правило, связано с вычислением интеграла), можно получить непосредственно функцию полезности, либо тесно связанные с ней функции. Поэтому в микроэкономике в этом контексте принято говорить об интегрировании и интегрируемости.
Ясно, что задача восстановления функции полезности не имеет однозначного решения, поскольку существует бесконечно много функций полезности, соответствующих одним и тем же предпочтениям. Поэтому речь может идти только о восстановлении такой функции полезности, которая чем-то уникальна. Если известно (или берется в качестве предположения), что предпочтения принадлежат некоторому классу, то, возможно, для этого класса предпочтений существует некоторая уникальная нормировка. Классический пример — так называемые квазилинейные предпочтения.
3.C.1 Восстановление квазилинейных предпочтений
Функция полезности вида u(x1, . . . , xl) = s(x1, . . . , xl−1) + xl называется квазилинейной. Очевидно, что две разные квазилинейные функций полезности, соответствующие одним и тем же предпочтениям, должны совпадать с точностью до константы. Таким образом, в данном случае уникальность нормировки определяется самим видом функции. Дополнительно, для нахождения константы, можно потребовать, чтобы выполнялось s(0) = 0.
Выведем сначала характеристики функции спроса. Предположим, что s(·) — строго вогнутая дифференцируемая функция, и выбор потребителя при некоторых ценах и доходе содержит все продукты в положительном количестве, т. е. x(p, R) > 0. Тогда по теореме Куна —
Таккера при некотором положительном λ, верны соотношения ∂s = λpi (i 6= l) и plλ = 1.
∂xi
Будем предполагать без потери общности, что pl = 1. Тогда λ = 1, и ∂s (x1, . . . , xl−1) = pi ,
∂xi
i 6= l. Из этих уравнений следует, что спрос на все блага, кроме последнего, не зависит от дохода:
xi = xi(p1, . . . , pl−1) = xi(p−i), i 6= l.
Кроме того, можно заметить, что эти уравнения, фактически, задают обратные функции спроса вида pi(x−l) для всех благ, кроме l-го /если функция спроса обратима??/.
Эти рассуждения приводят к следующим дифференциальным уравнениям:
∂s |
= pi(x1, . . . , xl−1), i = 1, . . . , l − 1. |
∂xi |
Решая их, восстановим функцию s(·).
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений |
118 |
||||||||||
Пример 25: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть l = 3 и спрос на первые два блага задается следующими функциями: |
|
||||||||||
|
x1(p1, p2) = |
1 |
|
, x2(p1 |
, p2) = |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
qp13p2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
qp1p23 |
|
||||||
Соответствующие обратные функции спроса имеют вид |
|
|
|
|
|
||||||
p1 |
(x1, x2) = x−3/4x1/4 |
, p2(x1 |
, x2) = x1/4x−3/4. |
|
|||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Решив дифференциальные уравнения (их можно решать по аналогии с Примером ?? ниже.)
∂s |
= x−3/4x1/4 |
, |
|
∂s |
= x1/4x−3/4 |
, |
||
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
∂x1 |
|
|
∂x2 |
|
|
|||
получим
s(x1, x2) = 4x11/4x12/4 + const.
Чтобы выполнялось s(0, 0) = 0, константа должна быть равна нулю. Окончательно получаем следующую квазилинейную функцию полезности:
u(x1, x2, x3) = 4x11/4x21/4 + x3. |
4 |
Особенно простой задача восстановления предпочтений оказывается, если известно (дополнительно к квазилинейности), что функция полезности сепарабельна, т. е.
l−1
X
u(x1, . . . , xl) = si(xi) + xl.
i=1
Условия первого порядка для задачи потребителя в предположении, что потребитель при рассматриваемых ценах и доходах предъявляет спрос на все блага (x(p, R) > 0), а цена последнего блага равна единице, имеют вид
s0i(xi(p)) = pi.
Эти уравнения, фактически, задают обратную функцию спроса вида pi(xi). При этом спрос на каждое благо зависит только от его цены, т. е. xi(p) = xi(pi). Проинтегрировав уравнения s0i = pi(xi), получим следующие выражения для функций si(·):
Z xi
si(xi) = pi(t)dt + si(0).
0
Интеграл в этом соотношении является так называемым потребительским излишком, поэтому
si(xi) = CSi(xi) + si(0)
и
l−1
X
u(x1, . . . , xl) = CSi(xi) + xl + const.
i=1
Таким образом, если предпочтения представимы квазилинейной функцией полезности, то по спросу (предварительно обратив его) можно восстановить непосредственно функцию полезности.
3.C. Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений |
119 |
Другой подход к восстановлению квазилинейной функции полезности состоит в восстановлении соответствующей непрямой функции полезности. При таком подходе тождество Роя
− |
∂v∂pi |
, |
∂R |
= xi(p, R) |
|
(p, R) |
|
∂v(p, R) |
|
рассматривается как система дифференциальных уравнений.
Учитывая вид функции спроса, получаем, что непрямая функция полезности имеет вид
l−1
X
v(p−l, 1, R) = s(x1(p−k), . . . , xl−1(p−l)) + R − pixi(p−l).
i=1
При этом |
∂v(p,R) |
= 1 |
, и |
∂v(p,R) |
не зависит от R. Поэтому, интегрируя l − 1 уравнение тож- |
|
∂R |
|
∂pi |
||||
дества Роя по p1 , . . . |
, pl−1 соответственно, мы можем получить (с точностью до константы |
|||||
интегрирования) искомую функцию v(·, ·). Соответствующие интегралы будут равны изменению потребительского излишка как функции цен.
Если предпочтения квазилинейные и сепарабельные, то непрямая функция полезности имеет вид
l−1 |
|
|
|
|
l−1 |
|
||||
X |
|
|
|
|
X |
|
||||
v(p, R) = |
|
|
si(xi(pi)) + R − pixi(pi). |
|||||||
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
||||
Из тождества Роя получаем соотношение: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∂v(p, R) |
|
|
∂vi |
|
||
xi(pi) = − |
|
|
= − |
|
(pi), |
|||||
|
∂pi |
∂pi |
||||||||
где vi(pi) = si(xi(pi)) − pixi(pi), и, следовательно, |
Zpi |
∞ xi(t)dt, |
||||||||
− Zpi |
∞ |
∂pi (t)dt = |
||||||||
+ |
|
|
∂vi |
|
+ |
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
vi(pi) − pi→+∞ vi(pi) = Zpi |
xi |
(t)dt, |
||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|||
или
Z +∞
Интеграл в последнем соотношении есть по определению потребительский излишек как функция цены:
vi(pi) = |
xi(t)dt + const. |
||
|
|
pi |
|
|
|
+ |
|
|
CSi(pi) = Zpi |
∞ xi(t)dt. |
|
l−1 |
|
l−1 |
|
X |
|
X |
|
v(p, R) = |
vi(pi) + R = |
CSi(pi) + R + const. |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
Отсюда
Знание непрямой функции полезности и системы функций спроса позволяет нам сопоставить каждому потребительскому набору, который может быть выбран как наилучший при некоторых ценах p и доходе R, значение полезности по следующему правилу: u(x(p, R)) = v(p, R). Однако данное правило задает полезность не всех наборов, а только для наборов из области значений функции спроса. Эту проблему мы еще обсудим ниже в случае функции полезности общего вида.