14.2. Модель дуополии Штакельберга

523

/584. Предположим, что выполнено условие (◦), функции издержек олигополистов одинаковы и средние издержки не убывают. Тогда благосостояние (измеряемое величиной совокупного излишка) возрастает при росте числа фирм в отрасли.

/585. Покажите, что если в дуополии Курно предельные издержки производителей удовлетворяют соотношению

c01(y) > c02(y),

то в равновесии первый производит меньше, чем второй.

/ 586. Пусть издержки олигополистов в модели Курно постоянны cj(yj) = Cj , а обратная функция спроса равна

p(y) = exp(−y).

Показать, что у игроков есть доминирующие стратегии, и найти их. Как будет изменяться суммарный выпуск отрасли с увеличением числа продавцов?

/ 587. Докажите, что если постоянные издержки олигополистов равны нулю, а переменные издержки одинаковы, то прибыль олигополистов положительна и при росте числа олигополистов стремится к нулю.

14.2Модель дуополии Штакельберга

В модели дуополии, предложенной Генрихом фон Штакельбергом15, первый участник выбирает производимое количество, y1 , и является лидером. Под этим мы подразумеваем то, что второй участник (ведомый) рассматривает объем производства, выбранный первым участником, как данный. Другими словами, второй участник сталкивается с остаточным спросом, который получается вычитанием из исходного спроса величины y1 . Ориентируясь на этот остаточный спрос, второй участник выбирает свой объем производства, y2 (или цену, что в данном случае одно и то же). Лидер «просчитывает» действия ведомого, определяет, какая цена устанавливается на рынке при каждом y1 , и исходя из этого максимизирует свою прибыль. В остальном модель повторяет модель Курно.

Эта модель приложима, например, к ситуации, когда в новой отрасли лидирующая фирма выбирает размер строящегося завода (мощность) и решает «работать на полную мощность». Считается, что она хорошо описывает рыночную ситуацию в случае, когда фирма-лидер, занимает значительную долю рынка. Так или иначе, ситуации, представленные в модели не столь и редки на реальных рынках. С точки зрения теории игр модель Штакельберга представляет собой динамическую игру с совершенной информацией, в которой лидер делает ход первым. Дерево игры изображено на Рис. 14.2.

1-й (лидер)

y1

2-й (ведомый)

y2

Π1=y1p(y1+y2)−c1(y1) Π2=y2p(y1+y2)−c2(y2)

Рис. 14.2. Дуополия Штакельберга

Выпуски (y1S, y2S), соответствующие совершенному в подыграх равновесию этой модели принято называть равновесием Штакельберга. Вектор выпусков не есть собственно совершенное в

15H. von Stackelberg: Marktform und Gleichgewicht, Wien, Berlin: Julius Springer, 1934.

14.2. Модель дуополии Штакельберга

524

подыграх равновесие. По определению совершенное в подыграх равновесие — это набор стратегий, (y1S, r2S(·)), где r2S(·) — равновесная стратегия ведомого игрока. (Стратегия ведомого игрока должна быть функцией r2(y1), которая сопоставляет каждому ходу лидера некоторый отклик.)

Определение 83:

Вектор выпусков (y1S, y2S), называется равновесием Штакельберга, если существует функция (представляющая равновесную стратегию ведомого)

r2S(·) : R+ 7→R+,

такая, что выполнены два условия:

1) Выпуск y2 = r2S(y1) максимизирует прибыль ведомого на [0, +∞) при любом выпуске лидера, y1 > 0.

2) Выпуск y1S является решением следующей задачи максимизации прибыли лидера:

Π1 = y1p(y1 + r2S(y1))y1 − c1(y1) → max .

y1>0

Равновесие Штакельберга находят с помощью обратной индукции. Лидер, назначая выпуск, рассчитывает отклик ведомого, R2(y1). Отклик будет таким же, как в модели Курно. Вообще говоря, отклик может быть неоднозначным. Тогда различные функции r2(y1), удовлетворяющие условию:

r2(y1) R2(y1) y1

могут задавать различные равновесия.

Мы будем далее предполагать, если не оговорено противное, что оптимальный отклик однозначен, т. е. R2(y1) — функция16. Задача лидера в этом случае имеет вид:

Π1 = y1p(y1 + R2(y1))y1 − c1(y1) → max .

y1>0

Если решением этой задачи является y1S , и y2S = R2(y1S), то (y1S, y2S) — равновесие Штакельберга.

y2

yS

y2=R2(y1)

y1

Рис. 14.3.

Дуополию Штакельберга можно представить графически (см. Рис. 14.3). Разницу между равновесиями в моделях Курно и Штакельберга иллюстрирует Рис. 14.4. Лидер выбирает точку на кривой отклика, которая бы максимизировала его прибыль. В равновесии кривая равной прибыли лидера касается кривой отклика.

16Однозначность отклика можно, например, гарантировать, если выполнено условие Хана (см. сноску 8).

14.2. Модель дуополии Штакельберга	525
y2	yC
	yS

y2=R2(y1)

y1=R1(y2) y1

Рис. 14.4.

14.2.1Существование равновесия Штакельберга

Докажем теперь теорему существования равновесия в модели Штакельберга.

Теорема 139:

Предположим, что в модели Штакельберга выполнены следующие условия:

1)функции издержек cj(y) дифференцируемы,

2)обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает,

3)существуют y˜j > 0j = 1, 2 такие, что p(yj) < c0j(yj) при yj > y˜j .

Тогда равновесие Штакельберга (y1S, y2S) существует, причем 0 6 yjS < y¯j .

Доказательство: Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказательство существования равновесия при монополии.

1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно выпуска лидера ведомому не выгодно выбирать объем производства, превышающий объем y˜2 , в том смысле, что Π2(y1, y2) < Π2(y1, y˜2) y1 при y2 > y˜2 . Рассмотрим разность прибылей:

Π2(y1, y2) − Π2(y1, y˜2) = p(y1 + y2)y2 − p(y1 + y˜2)˜y2 − (c2(y2) − c2(˜y2)).

Эту разность можно преобразовать следующим образом:

Π2(y1, y2) − Π2(y1, y˜2) =

y		y
= p(y1 + y2)y2 − p(y1 + y˜2)˜y2 − Zy˜22	p(y1 + t)dt + Zy˜22		[p(y1 + t) − c20 (t)]dt.
Поскольку p(y) убывает, то p(y1 + y2) < p(y1 + t) при t < y2		и p(y1 + t) 6 p(t) при y1 > 0,
поэтому
Π2(y1, y2) − Π2(y1, y˜2) <		y
< p(y1 + y2)y2 − p(y1 + y˜2)˜y2 − p(y1 + y2)(y2 − y˜2) + Zy˜22 [p(t) − c20 (t)]dt =
		y
= (p(y1 + y2) − p(y1 + y˜2))˜y2 + Zy˜22				[p(t) − c20 (t)]dt < 0.

Таким образом, прибыль ведомого при y2 = y˜2 выше, чем при выпуске любого большего количества. Тем самым, исходная задача выбора ведомого (при любом наперед заданном y1 >

14.2. Модель дуополии Штакельберга

526

0) эквивалентна задаче выбора на отрезке [0, y˜2]. Другими словами, отображение отклика исходной задачи совпадает с отображением отклика в задаче максимизации прибыли ведомого на отрезке [0, y˜2]. Обозначим множество решений модифицированной задачи при данном y1

˜	˜	: R+ 7→[0, y˜2]. Мы доказали,
через R2(y1). Тем самым определено отображение отклика R2
˜
что R2(y1) = R2(y1) y1 .		˜	(y) непусто
По Теореме ?? из Приложения (с. ??) для любого y	множество решений R2

˜·

икомпактно, и, кроме того, отображение R2( ) полунепрерывно сверху. (Читателю предо-

ставляется проверить самостоятельно, что эта теорема применима в данном случае.) В силу

совпадения ˜2 · и 2 · теми же свойствами будет обладать и 2 · .

R ( ) R ( ) R ( )

2) Рассмотрим теперь следующую задачу:

max	(•)
Π1(y1, y2) = y1p(y1 + y2)y1 − c1(y1) → y1,y2>0
y2 R2(y1).

Докажем, что решение этой задачи существует.

Пользуясь теми же рассуждениями, что и для функции прибыли ведомого, можно показать, что при любом наперед заданном y2 > 0 прибыль лидера в точке y1 = y˜1 больше, чем во всех точках y1 > y˜1 . Таким образом, множество решений задачи (•) не изменится, если в нее дополнительно включить ограничение y1 6 y˜1 .

Таким образом, нам требуется, чтобы существовало решение задачи максимизации прибыли лидера по y1 и y2 на множестве

R = (y1, y2) y1 [0, y˜1], y2 R2(y1) [0, y˜2] .

Из доказанных свойств отображения R2(·) следует, что множество R непусто, замкнуто и ограничено. Существование решения такой задачи следует из теоремы Вейерштрасса.

3) Пусть (y1S, y2S) — некоторое решение задачи (•). Теперь выбрав любую функцию r2S(y1), график которой проходит через точку (y1S, y2S), и такую что

r2S(y1) R2(y1) y1,

увидим, что выпуск y1S является решением задачи лидера

Π1 = y1p(y1 + r2S(y1))y1 − c1(y1) → max .

y1>0

Действительно, этот выпуск максимизирует цели лидера на всем допустимом множестве зада-

чи (•), а	значит — и на множестве, суженном дополнительным ограничением y			2	rS	(y	1	). Тем
	S	S	(·) удовлетворяет определению равновесия Штакельберга.		2
самым пара y1		, r2

14.2.2Равновесие Штакельберга и равновесие Курно

Представляется интересным сравнить объемы производства в модели Курно и в модели Штакельберга. Результат сравнения для ведомого однозначен: в модели Штакельберга он производит меньше. Покажем это.

Пусть y1C и y2C — объемы производства в модели Курно.

Лидер в модели Штакельберга в предположении однозначности отклика ведомого всегда может обеспечить себе такую же прибыль, как в модели Курно, назначив y1 = y1C , поэтому17

p(y1C + y2C)y1C − c1(y1C) 6 p(y1S + y2S)y1S − c1(y1S).

17Данное неравенство получено как сравнение прибылей лидера при выборе им объемов выпуска y1S и y1C . Отметим, что при этом оптимальным откликом ведомого на y1S будет y2S , а на y1C − y2C .

14.2. Модель дуополии Штакельберга

527

Поскольку y1C максимизирует прибыль лидера при y2 = y2C , то

p(y1S + y2C)y1S − c1(y1S) 6 p(y1C + y2C)y1C − c1(y1C).

Если y1S > 0, то из этих двух неравенств следует, что p(y1S + y2C) 6 p(y1S + y2S).

Из убывания спроса имеем, что

y2C > y2S.

Результат сравнения между объемами производства лидера в двух ситуациях зависит от наклона кривой отклика. В случае, если R2(·) убывает (на достаточно большом интервале, который должен заведомо включать, как y2C так и y2S ), имеем

y1C 6 y1S.

Если же R2(·) возрастает, то, наоборот,

y1C > y1S.

Функция R2(·) убывает, например, в случае линейного спроса и постоянных предельных издержек. Пример возрастающей функции отклика построить достаточно трудно. На Рис. 14.5 показана кривая отклика, соответствующая обратной функции спроса p(y) = 1/y2 при постоянных предельных издержках. При малых объемах производства лидера она возрастает, а при больших — убывает. Для более общего случая рассмотрим теорему.

y2

y2=R2(y1)

y1

Рис. 14.5.

Теорема 140:

Предположим, что выполнены следующие условия:

1)обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, c2(y), дважды дифференцируемы,

2)обратная функция спроса имеет отрицательную производную: p0(y) < 0, y > 0,

3)p0(y1 + y2) − c002(y2) < 0 при любых y1 и y2 ,

4)отклик R2(y1) является дифференцируемой функцией18.

18Однозначность и дифференцируемость отклика рассмотрены в Приложении.

14.2. Модель дуополии Штакельберга

528

Тогда в тех точках y1 , где R2(y1) > 0, наклон функции отклика R2(y1), удовлетворяет

условию

−1 < R20 (y1),

то есть суммарный выпуск R2(y1) + y1 , возрастает. Дополнительное условие19

p0(y1 + y2) + p00(y1 + y2)y2 < 0 y1, y1

является необходимым и достаточным для того, чтобы R20 (y1) < 0.

Доказательство: При принятых предположениях докажем, что суммарный выпуск дуополии, y1+R2(y1), возрастает по y1 . Функция R2(y1) при всех y1 таких, что R2(y1) > 0 удовлетворяет условию первого порядка — равенству

p(y1 + R2(y1)) + p0(y1 + R2(y1)) · R2(y1) = c02(R2(y1)).

Дифференцируя это соотношение по y1 , получим

p0(y1 + R2(y1)) · (1 + R20 (y1)) + p00(y1 + R2(y1))R2(y1) · (1 + R20 (y1)) +

+ p0(y1 + R2(y1)) · R20 (y1) = c002(R2(y1)) · R20 (y1).

Отсюда

(1 + R20 (y1)) · [2p0(y1 + R2(y1)) + p00(y1 + R2(y1))R2(y1) − c002(R2(y1))] =

= p0(y1 + R2(y1)) − c002(R2(y1)).

По условию второго порядка

2p0(y1 + R2(y1)) + p00(y1 + R2(y1)) · R2(y1) − c002(R2(y1)) 6 0.

С другой стороны, по предположению

p0(y1 + R2(y1)) − c002(R2(y1)) < 0.

Это гарантирует, что
2p0(y			1	+ R	(y	)) + p00(y			1	+ R	(y	))	·	R	(y	)	−	c00	(R	(y	)) = 0
				2	1					2	1			2	1			2	2	1		6
Получаем, что
1 + R0	(y	) =						p0(y1 + R2(y1)) − c200(R2(y1))															,	(O)
2	1			2p0(y1		+ R2(y1)) + p00(y1 + R2(y1)) · R2(y1) − c200																(R2(y1))
откуда 1 + R0 (y1) > 0 или R0 (y1) >							−	1.
2					2

Докажем теперь неубывание функции отклика R2(y1). Условие (O) можно переписать в

виде				p0(y1 + R2(y1)) + p00(y1 + R2(y1)) · R2(y1)
R0	(y	) =	−2p0(y1							.
2	1			+ R2(y1)) + p00(y1 + R2(y1))	·	R2(y1)	−	c00	(R2(y1))
								2

В этой дроби знаменатель отрицателен, поэтому условие R20 (y1) < 0 эквивалентно отрицательности числителя, что и требовалось.

19Это условие, в частности, следует из строгой выпуклости функции потребительского излишка. Напомним, что это одно упоминавшихся ранее условий Хана.

R2(y1) =

14.2. Модель дуополии Штакельберга

529

y2

yC

yS

y2=R2(y1)

45◦ y1

Рис. 14.6.

Пользуясь полученным ранее результатом, получим, что если R2(·) убывает, то

y1C + y2C 6 y1S + y2S,

а если возрастает, то

y1C + y2C > y1S + y2S.

В первом случае равновесная цена в равновесии Штакельберга не превышает равновесную цену в равновесии Курно, во втором — наоборот.

Иллюстрация полученных соотношений для случая убывающей кривой отклика представлена на Рис. 14.6. Из рисунка видно, что поскольку точка равновесия в модели Штакельберга лежит ниже кривой равной прибыли, проходящей через точка равновесия в модели Курно, то объем y2C должен быть выше y2S . Из-за убывания функции отклика объем y1C оказывается ниже y1S . Штрих-пунктирная линия, проходящая под углом 45◦ показывает расположение точек, в которых суммарный выпуск одинаков. Поскольку кривая отклика более пологая, то y1C + y2C оказывается меньше y1S + y2S .

Можно сравнить также прибыли участников в двух ситуациях. Как уже упоминалось ранее, по очевидным причинам прибыль лидера в модели Штакельберга выше. Читателю предлагается доказать самостоятельно простой факт, что прибыль ведомого в модели Штакельберга выше в случае возрастающей функции отклика, и ниже в случае убывающей функции отклика.

Пример 74:

Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a − by, а функции издержек дуополистов имеют вид cj(yj) = cyj (j = 1, 2). Функция отклика второго равна

a − c − by1 .

2b

Подставив ее в прибыль лидера, получим

Π1 = a −2 cy1 − 2b y12.

Максимум достигается при

a − c y1S = 2b .

Кроме того, в равновесии

a − c y2S = 4b .

Суммарный выпуск равен

yS + yS = 3 a − c

1 2 4 b

Это больше, чем выпуск в модели Курно, но меньше, чем выпуск при совершенной конкурен-

ции, то есть имеется неоптимальность.

4