3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства

p1p2(u(x))2 . С учетом этого легко найти хиксианский спрос:

p2+a2p1

h(p, x) = x(p, e(p, x)) = x p, p1p2(u(2		=		2	2	;
p2	+ a p1	!	p2	+ a p1 !		2
	x))2		p u(x)

80

!2

ap1u(x)

p2 + a2p1

.

Эти формулы совпадают с теми, которые получены в Примерaх 15 и 14.

4

Пример 17:

Для гомотетичных предпочтений (однородной функции полезности) непрямая функция полезности и спрос имеют следующий вид: v(p, R) = a(p)R и x(p, R) = Rx(p, 1) (см. Примеры 10 и 12). Используя соотношения двойственности, несложно увидеть, что функция расходов и хиксианская функция спроса имеют вид

e(p, x) =	u(x)	,	h(p,x) = x(p, e(p, x)) =	u(x)	x(p, 1).
						4
	a(p)			a(p)

x2

кривая безразличия

хиксианский
спрос	x1

Рис. 3.3. «Толстая» кривая безразличия

Рассмотрим теперь пример, когда хиксианский и маршаллианский спрос не совпадают. Для построения этого примера достаточно рассмотреть предпочтения, не обладающие свойством локальной ненасыщаемости. В качестве таковых, рассмотрим предпочтения, порождающие «толстую» кривую безразличия (такие кривые безразличия появятся, например, если взять в качестве функции полезности целую часть какой-нибудь «нормальной» функции полезности). Хиксианский спрос всегда будет лежать (случай двух благ) на левой границе «толстой» кривой безразличия. На Рис. 3.3 эта граница изображена темной линией. Маршаллианский же спрос может лежать внутри «толстой» кривой безразличия. (Найдите его на приведенном рисунке!)

В этом параграфе мы рассмотрели прямую и двойственную задачи потребителя, изучили их свойства и рассмотрели некоторые основные соотношения связывающие эти задачи. В следующем параграфе мы продолжим рассмотрение основных свойств данных задач, используя аппарат дифференциального исчисления.

3.1.4Задачи

/ 90. Пусть допустимое потребительское множество

n o

X = x Rl+ x1x2 + x1 > 1 ,

3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства

81

потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p Rl++ . Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях (p, R). Является ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях (p, R) бюджетное множество пусто?

/ 91. Пусть допустимое потребительское множество

n o

X = x Rl+ x1x2 > 2 ,

потребитель имеет начальный запас ω = (1, 1), цены на товары задаются вектором p Rl++ . Изобразите графически бюджетное множество потребителя при разных значениях p. Является ли оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях p бюджетное множество непусто?

/ 92. Пусть допустимое потребительское множество

n o

X = x Rl+ x1, x2 — целые ,

потребитель имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p Rl++ . Изобразите графически бюджетное множество потребителя.

/93. Пусть допустимое потребительское множество X = Rl+ , потребитель имеет начальный запас ω = (1, 1), цены на товары задаются вектором p Rl++ . Изобразите графически бюджетное множество потребителя, в случае если в экономике ввели налог с продаж, взимаемый

как процент от цены. Является ли бюджетное множество выпуклым?

/94. Пусть в экономике присутствует один потребительский товар, продаваемый по цене p. Доход потребителя складывается из фиксированной части R > 0 и заработной платы wh, где h — время, которое потребитель посвящает работе, а w — почасовая ставка оплаты труда. Потребитель не может работать больше 24 часов в сутки. Запишите бюджетное множество для этой задачи. Постройте его эскиз. Является ли оно выпуклым? Что произойдет, если в модель ввести налог с заработной платы? Дохода? Предложите схему налогообложения, когда бюджетное множество невыпукло.

/95. Предположим, что потребитель живет бесконечное число периодов времени (время дискретно). В каждый период t он, используя имеющийся у него капитал kt , исходя из вогнутой производственной функцией f(kt) производит некоторый товар, который может либо потребить ct , либо направить на увеличение своего капитала (инвестировать) it . Капитал предполагается убывающим от периода к периоду, с постоянной нормой выбытия 1 > δ > 0. Начальный запас капитала в нулевой момент времени равен k0 . Предположим также, что значения ct, it, kt могут принимать только неотрицательные значения. Запишите бюджетное множество для этой задачи. Покажите, что оно выпукло.

/96. Для случая двух товаров изобразите эскиз бюджетного множества, если цена первого товара зависит от объема, а цена второго постоянна, причем цена первого товара убывает при росте объема. Доход потребителя предполагаем фиксированным. Является ли данное бюджетное множество выпуклым?

/97. Докажите Теорему 22.

/98. При каких условиях в пунктах (vi) и (vii) Теоремы 22 нестрогие знаки (в том числе включения) могут быть заменены строгими? Покажите, что без дополнительных предположений этот факт, вообще говоря, неверен.

/99. Для каждой из нижеприведенных функций найдите маршаллианскую функцию спроса, непрямую функцию полезности, хиксианскую функцию спроса, функцию расходов. Проиллюстрируйте соотношения двойственности между маршаллианской и хиксианской функциями

3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства

82

спроса, а также между непрямой функцией полезности и функцией расходов.

(a) u(x) = x1 + x2;

(b) u(x) = √

+ √

;

(c) u(x) =

√

+ x2;

x1

x2

x1

x2

(f) u(x) =

x1x2

(d) u(x) = x1x2;

(e) u(x) = ln(x1) +

2

;

;

x1+x2

2

3.1. Модель поведения потребителя: основные понятия и свойства			83
(g) u(x) = x12 + x22;	(h) u(x) = min{x1, x2};	(i) u(x) = max{x1, x2};

(j)u(x) = min{2x1 − x2, 2x2 − x1};

(k)u(x) = 28x1 + 28x2 − 2x21 − 3x1x2 − 2x22;

(l)u(x) = x21 + x22 + 4x1 + 4x2 + 2x1x2 + 6.

Основываясь на полученных результатах, проверьте теоретические свойства маршаллианской функции спроса, непрямой функции полезности, хиксианской функции спроса, функции расходов.

/100. Приведите пример функции полезности, для которой. . .

(a)средства, расходуемые потребителем на приобретение каждого блага, составляют постоянную (и положительную) долю совокупных расходов потребителя;

(b)спрос потребителя на любое благо зависит лишь от относительной цены данного блага и совокупных потребительских расходов;

(c)спрос потребителя на первые l − 1 благ зависит лишь от относительной цены этих благ;

(d)спрос потребителя на первые l − 1 благо зависит лишь от цены данного блага;

(e)структура спроса потребителя постоянна (отношение величины покупок j блага к величине 1 блага, j = 1, . . . , l);

(f)множество оптимальных потребительских наборов при некоторых значениях цен и доходов не является выпуклым множеством.

/101. Покажите, что если функция полезности является квазилинейной, то непрямая функция полезности v(p, R) имеет вид v(p, R) = a(p) + b(p)R для тех значений p и R, при которых оптимальный потребительский набор содержит все блага (в положительных количествах).

/102. Покажите, что если функция полезности потребителя однородна, то отношение функций спроса на любые два товара не зависит от уровня дохода.

/103. Пусть полезность потребителя зависит от двух благ, и первое благо является дискретным (доступные уровни его потребления — целые числа), а потребитель имеет квазилинейные предпочтения. При каких ценах на благо 1 потребитель предъявляет спрос на него на уровне

1, 2, . . .?

/104. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, то непрямая функция полезности — выпуклая функция цен.

/105. Покажите, что если функция полезности квазилинейна, причем l-ое благо входит линейно, то хиксианский спрос на первые l − 1 благо не зависит от выбора кривой безразличия. Каков вид функции расходов в этом случае? При каких предположениях это справедливо?

/106. Докажите Теорему 25.

	√			(A > 0), где x1 > 0, 0 6 x2 < A.
/ 107. Рассмотрите функцию полезности u =		x1
	A−x2

(a)Является ли эта функция полезности вогнутой? Является ли она квазивогнутой? Изобразите на графике кривые безразличия.

(b)Найдите функцию спроса. Какими свойствами она обладает?

/108. [ABB] Рассмотрите функцию полезности вида u(x, y, z) = √x + √y + y + z/(1 + z).

(a)Покажите, что функция полезности строго монотонна, строго вогнута и непрерывна.

(b)Покажите, что если (x, y, z) R3+ и z > 0, то (x, y + z, 0) (x, y, z).

(c)Пусть p > 0 и p2 = p3 . Покажите, что для вектора спроса выполнено равенство

z(p, R) = 0.

(d) Рассмотрите последовательность цен pn = (1, 1/n, 1/n). Чему равны пределы z(pn, R)

и y(pn, R)?

/ 109. В случае, когда в экономике наличествуют всего 2 товара, найдите, если это возможно (или докажите, что это невозможно), маршаллианский, хиксианский спросы, непрямую функцию полезности и функцию расходов для потребителя с лексикографическими предпочтениями.