6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний	218

6.1Характеристика Парето-оптимальных состояний в квазилинейных экономиках

Квазилинейностью предпочтений потребителей объясняется ряд особых свойств рассматриваемой экономики. В частности, анализировать Парето-оптимальные состояния в квазилинейной экономике можно с помощью следующей задачи оптимизации:

XX

vi(xi) − cj(yj) → max

x,y

i I j J

XX

i I	xik 6 yjk k = 1, . . . , l,		(W)
	j J
	xi > 0	i I,
	yj > 0	j J.

Другими словами, верна следующая теорема, дающая полное описание границы Парето экономики EQ .

Теорема 78:

Состояние {(xˆ1, zˆ1), . . . , (xˆm, zˆm), (yˆ1, rˆ1), . . . , (yˆn, rˆn)} является Парето-оптимальным состоянием в квазилинейной экономике EQ тогда и только тогда, когда

(xˆ1, . . . , xˆm, yˆ1, . . . , yˆn)

является решением задачи (W),

rˆj = cj(yˆj)

и

XX

zˆi = ωi − cj(yˆj).

i I i I

Доказательство: ( ) Докажем сначала, что если {(xˆ1, zˆ1), . . . , (xˆm, zˆm), (yˆ1, rˆ1), . . . , (yˆn, rˆn)} — Парето-оптимальное состояние в квазилинейной экономике EQ , то набор (xˆ1, . . . , xˆm, yˆ1, . . . , yˆn)

является решением задачи (W).

Напомним, что Парето-оптимальное состояние при любом i0 I является решением следующей задачи условной максимизации:

vi0 (xi0 ) + zi0 → max vi(xi) + zi > vi(xˆi) + zˆi i 6= i0

XX

xik 6 yjk k = 1, . . . , l,

i I j J

X	X	X
zi +	rj 6	ωi,
i I	j J	i I

rj > cj(yj) j J,

xi > 0 i I, yj > 0 j J.

Как несложно показать, в этой задаче первое, третье и четвертое неравенства можно заменить на равенства, не изменяя множество решений задачи. Выражая из этих равенств zi и rj и исключая их из оставшихся неравенств, видим, что данная задача сводится к задаче (W).

6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний

219

( ) Обратно, пусть (xˆ1, . . . , xˆm, yˆ1, . . . , yˆn) является решением задачи (W). Рассмотрим произвольные zˆj , удовлетворяющие балансам

X	Xi I	jX	( )
	zˆi = ωi −	rˆj,
i I		J

где rˆj = cj(yˆj) j . Легко увидеть, что состояние

ˆ { ˆ ˆ ˆ ˆ }

S = (x1, zˆ1), . . . , (xm, zˆm), (y1, rˆ1), . . . , (yn, rˆn)

является допустимым состоянием экономики EQ . Докажем, что оно Парето-оптимально. Пусть это не так, и существует другое допустимое состояние экономики EQ ,

˜ { ˜ ˜ ˜ ˜ }

S = (x1, z˜1), . . . , (xm, z˜m), (y1, r˜1), . . . , (yn, r˜n) ,

такое что для всех потребителей (i I)

vi(x˜i) + z˜i > vi(xˆi) + zˆi,

и существует, по крайней мере, один потребитель i0 , для которого выполнено

vi0 (x˜i0 ) + z˜i0 > vi0 (xˆi0 ) + zˆi0 .

Складывая эти неравенства, получаем

Xi I vi(x˜i) + Xi I z˜i > Xi I vi(xˆi) + Xi I zˆi.							( )
˜
Поскольку S — допустимое состояние, то				jX	X
	X	z˜i	+
				r˜j =		ωi
	i I			J	i	I
и	r˜j > cj(y˜j), j J,
откуда
			X		jX
X		6				cj(y˜j).	( )
	z˜i			ωi	−
i	I		i	I	J
Складывая ( ), ( ) и ( ), получаем					Xi I	X
Xi I	jX	cj(y˜j) >
vi(x˜i) −					vi(xˆi) − cj(yˆj).
	J					j J

Поскольку (x˜1, . . . , x˜m, y˜1, . . . , y˜n) является допустимым в задаче (W), то это означает, что су-

˜	, . . . , xˆm, yˆ1, . . . , yˆn) в задаче (W).
ществование состояния S противоречит оптимальности (xˆ1

Первая часть доказанной теоремы для экономики EQ+ в общем случае неверна (см. нижеприведенный пример). Вторая часть верна при дополнительном предположении о том, что совокупные начальные запасы достаточно велики.

Как видно из вышеприведенной теоремы, задача поиска Парето-оптимума для экономики EQ эквивалентна задаче (W). В то же время множество допустимых состояний для экономики EQ+ является подмножеством множества допустимых состояний для экономики EQ . Поэтому не исключена ситуация, в которой Парето-оптимум экономики EQ+ не является Парето-опти- мумом экономики EQ и, следовательно, не будет решением задачи (W).

6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний

220

Несложно придумать пример экономики EQ+ и Парето-оптимума этой экономики, так чтобы в этом Парето-оптимуме ограничение zi > 0 оказалось существенным для одного из потребителей, и при снятии этого ограничения можно было бы увеличить полезность одного из потребителей, не уменьшая полезность остальных. Читатель может сконструировать такой пример самостоятельно.

Но даже если в Парето-оптимуме экономики EQ+ все ограничения zi > 0 выполняются как строгие неравенства, снятие данных ограничений может позволить осуществить Парето-улуч- шение. Приведем пример.

Пример 33:

Рассмотрим экономику с одним потребителем (m = 1), одним производителем (n = 1) и двумя благами (l+1 = 2). Для упрощения обозначений индексы будем опускать. Предпочтения потребителя заданы функцией v(x) = 5x3 −9x2 +6,9x, а технологическое множество фирмы — функцией издержек c(x) = x4 . Обе функции являются возрастающими при x > 0, поэтому y = x, r = c(x) и z+r = ω, так что поиск Парето-оптимума сводится к максимизации функции

v(x) − c(x)

при ограничениях x > 0 и c(x) 6 ω. Здесь ограничение c(x) 6 ω соответствует ограничению z > 0. Можно переписать последнее ограничение в виде x 6 c−1(ω).

0,025

0,5

1

1,5

2

−0,025

−0,05

−0,075

−0,1 0,125

Рис. 6.1. Пример существенности ограничения неотрицательности линейного члена

Пусть ω = 1, при этом c−1(ω) = 1. Как видно на Рис. 6.1 функция v(x)								−	c(x) имеет два ло-
	x	0,83473		x	2 ≈	1,6988
кальных максимума:	1 ≈		и			+	. Только второй из этих максимумов является
глобальным. Парето-оптимум экономики EQ достигается при x = x1 , поскольку максимиза-
ция идет на отрезке [0, 1]. В то же время Парето-оптимум экономики EQ и, следовательно,
решение задачи (W) достигается при x = x2 .									4

В этом примере ключевым моментом является то, что функция v(·) не является вогнутой. Можно было построить подобный пример иначе: так, чтобы функция v(·) была вогнутой, но функция издержек не была выпуклой. Таким образом, для доказательства аналога первой части предыдущей теоремы в «выпуклой» экономике EQ+ следует потребовать, чтобы все функции vi(·) были вогнутыми, а функции cj(yj) — выпуклыми. Аналогом этой теоремы для случая экономики EQ+ является следующая теорема.

Теорема 79:

1) Предположим, что функции vi(·) вогнуты, а функции издержек cj(·) выпуклы, и пусть

ˆ { ˆ ˆ ˆ ˆ }

S = (x1, zˆ1), . . . , (xm, zˆm), (y1, rˆ1), . . . , (yn, rˆn) —

Парето-оптимальное состояние в квазилинейной экономике EQ+ , причем zˆi > 0 i. Тогда набор (xˆ1, . . . , xˆm, yˆ1, . . . , yˆn) является решением задачи (W).

6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний

221

2) Обратно, пусть (xˆ1, . . . , xˆm, yˆ1, . . . , yˆn) является решением задачи (W), причем

XX

ωi − cj(yˆj) > 0.

i I j J

Тогда для произвольных zˆ1, . . . , zˆm > 0, удовлетворяющих балансам

XX

zˆi = ωi − cj(yˆj)

i I i I

набор {(xˆ1, zˆ1), . . . , (xˆm, zˆm), (yˆ1, c1(yˆ1)), . . . , (yˆn, cn(yˆn))} является Парето-оптимальным состоянием квазилинейной экономике EQ+ .

Доказательство: 1) Доказательство опирается на следующее вспомогательное утверждение: ес-

ˆ	+	, удовлетворяющий условиям теоремы, то он также
ли S	— Парето-оптимум в экономике EQ

является Парето-оптимумом в соответствующей экономике EQ . Если это утверждение верно, то доказываемое является тривиальным следствием предыдущей теоремы.

Докажем это вспомогательное утверждение от противного. Пусть в соответствующей экономике EQ существует допустимое состояние

˜
S = {(x˜1, z˜1), . . . , (x˜m, z˜m), (y˜1, r˜1), . . . , (y˜n, r˜n)},
	ˆ
которое доминирует по Парето состояние S .
Рассмотрим выпуклую комбинацию этих двух состояний:
ˆ	˜	[0, 1].
S(α) = αS + (1	− α)S, α

Существует достаточно малое α > 0, такое что S(α) является допустимым в экономике EQ+ . Однако при α > 0 состояние S(α) представляет собой Парето-улучшение в экономике EQ+

ˆ
по сравнению с S , что противоречит предположению теоремы.
Подробное изложение доказательства оставляется в качестве упражнения.
2) Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Приведенные выше результаты позволяют нам в случае квазилинейной экономики использовать задачу (W) для анализа Парето-оптимальных состояний.

В ситуации, когда функции vi(·) строго вогнуты, а функции cj(·) выпуклы, решение задачи (W) единственно, поэтому два Парето-оптимальных состояния в экономике EQ (в экономике EQ+ , если z˜i и zˇi положительны)

{(x˜1, z˜1), . . . , (x˜m, z˜m), (y˜1, r˜1), . . . , (y˜n, r˜n)},

{(xˇ1, zˇ1), . . . , (xˇm, zˇm), (yˇ1, rˇ1), . . . , (yˇn, rˇn)},

могут различаться лишь объемами потребления (l+1)-го блага. Другими словами, x˜i = xˇi i

I и y˜j = yˇj j J .

Поэтому, как несложно заметить, в случае экономики EQ граница Парето представляет собой гиперплоскость вида (читателю предлагается доказать этот результат самостоятельно)

X

ui = const.

i I

В экономике EQ+ граница Парето может «загибаться» из-за того, что некоторые из ограничений zi > 0 являются существенными, что иллюстрирует следующий пример.

6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний

222

u2

14

12

10

8

6

4

2

u1

0

0

2

4

6

8

10

Рис. 6.2. Парето-граница в экономике типа EQ+

Пример 34:

На Рис. 6.3. изображена Парето-граница в экономике типа EQ+ со следующими параметрами: 2 блага (l + 1 = 2), 2 потребителя, с функциями полезности

u1 = 2√x1 + z1 и u2 = 4√x2 + z2,

и один производитель с функцией издержек

c(y) = y.

Начальные запасы 2-го блага равны 10.

Несложно проверить, что решение задачи (W) дает x1 = 1 и x2 = 4. Однако это решение описывает точки границы Парето только при u1 [2, 7]. Парето-граница при этом имеет вид

	u2 = 15 − u1.
При u1	[0, 2] Парето-граница имеет вид
	u2 = 14 −		u12
				.
			4
При u1	[7, 11] Парето-граница имеет вид
	√					4
	u2 = 4 11 − u1.

В случае двух благ можно привести графическую иллюстрацию Парето границы экономики типа EQ+ на основе диаграммы Эджворта (см. Рис. 6.3). Жирная линия представляет собой границу Парето.

Так как в достаточно широком классе случаев решения задачи (W) описывают Парето-гра- ницу, то целевую функцию задачи (W) можно использовать для решения вопроса о принадлежности некоторого допустимого состояния к Парето-границе. В связи с этим, естественно рассматривать функцию

XX

W (x, y) =	vi(xi) − cj(yj)
i I	j J

в качестве индикатора благосостояния. Основанием для этого является следующая теорема. Пусть

˜
S = {(x˜1, z˜1), . . . , (x˜m, z˜m), (y˜1, r˜1), . . . , (y˜n, r˜n)},
ˇ	, zˇ1), . . . , (xˇm, zˇm), (yˇ1, rˇ1), . . . , (yˇn, rˇn)} —
S = {(xˇ1

допустимые состояния экономики EQ (EQ+ ). Тогда выполнена следующая теорема.

6.1. Характеристика Парето-оптимальных состояний			223
			z2
			x1
x2
	c(y)		y
ω
z1
Рис. 6.3. Парето-граница экономики типа EQ+ на основе диаграммы Эджворта
Теорема 80:	˜
			имеет не меньшую полезность, чем в
1) Если каждый из потребителей в состоянии S
ˇ
состоянии S , т. е.
vi(x˜i) + z˜i > vi(xˇi) + zˇi i,
и4	cj(yˇj) =
zˇi +		i	ωi,
i I	J		I
X	jX	X
то
W (x˜, y˜) > W (xˇ, yˇ),

причем если существует потребитель i0 , такой что

vi0 (x˜i0 ) + z˜i0 > vi0 (xˇi0 ) + zˇi0

˜

ˇ

(т. е. состояние S доминирует

S по Парето), то

W (x˜, y˜) > W (xˇ, yˇ).

˜

ˇ

2) Для экономики EQ выполнено и обратное: если для состояний S

и S верно W (x˜, y˜) >

W (xˇ, yˇ), то можно подобрать z˜10 , . . . , z˜m0

такие, что состояние экономики

{

(x˜

1

, z˜0

), . . . , (x˜

m

, z˜0

), (y˜

1

, r˜ ), . . . , (y˜

n

, r˜ )

}

,

1

m

1

n

будет допустимым, причем

v

(x˜

) + z˜0 > v

(xˇ

) + zˇ i.

i

i

i

i

i

i

Доказательство: Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Первая часть данного утверждения говорит о том, что любое Парето-улучшение сопровождается ростом индикатора W (·). Смысл второй части приведенного утверждения состоит

в том, что если ˜ ˜ ˇ ˇ , то можно в состоянии ˜ произвести такие трансфер-

W (x, y) > W (x, y) S

ты (перераспределить деньги), что новое состояние будет строго доминировать состояние ˇ

S

4Это условие будет, например, выполнено в общем равновесии.