5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики

181

также, что каждая фирма является однопродуктовой, ее технология описывается производственной функцией Кобба — Дугласа, а также что каждый продукт производится какой-то

фирмой. Покажите, что если						im=1 ωi > 0, то для этой экономики выполняется условие, что
множество Z = (				J Yj +		ωi)	∩	R+l непусто, замкнуто и ограничено.
		j			iPI
Какие	дополнительные условия гарантируют существование квазиравновесия (равновесия)
	P			P

в такой экономике?

/ 278. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями, функции полезности которых

имеют вид

ui(xi) = Xl αik√xik, αik > 0. k=1

При каких начальных запасах известные вам утверждения (какие?) гарантируют существование равновесия в этой экономике?

/ 279. Предположим, что (p¯, x¯, y¯) — квазиравновесие в экономике Эрроу — Дебре, p¯ > 0, p¯ 6= 0, Xi = Rl+ , предпочтения потребителей строго выпуклы, непрерывны и монотонны.

Пусть также 0 Yj , ωi > 0, Pm ωi > 0. Покажите, что это квазиравновесие является

i=1

равновесием по Вальрасу.

/ 280. В экономике обмена есть только два блага (l=2), функции полезности всех потребите-

лей i имеют вид

q q ui(x1i , x2i ) = x1i + x2i ,

а начальные запасы равны ωi = (0, 1). Вычислите квазиравновесия в этой модели.

/281. Рассмотрим экономику с l благами и m потребителями, предпочтения которых представляются функциями полезности Кобба — Дугласа, а начальные запасы положительны. При каких начальных запасах известные вам утверждения (какие?) гарантируют существование равновесия в этой экономике?

/282. Рассмотрим экономику с 4 благами и 4 потребителями, функции полезности которых имеют вид

ui(xi) = min{xi1, xi2}, i = 1, 2,

u3(x3) = x31 + min{x33, x34}, u4(x4) = x42 + min{x43, x44}.

Начальные запасы имеют вид ωi = ei (i-й орт). Охарактеризуйте все квазиравновесия, в которых не все цены равны нулю. Какие из них не являются равновесиями?

/ 283. Рассмотрим экономику с 4 благами и 4 потребителями, функции полезности которых имеют вид

ui(xi) = min{xi1, xi2}, i = 1, 2, ui(xi) = min{xi3, xi4}, i = 3, 4,

Первый потребитель имеет по единице первого и третьего блага, второй — по единице второго и четвертого. У остальных потребителей нет начальных запасов. Охарактеризуйте все квазиравновесия, в которых не все цены равны нулю, и покажите, что ни одно из них не является равновесием.

5.4Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики

Оценку того или иного механизм координации решений экономических субъектов (например механизма рыночной координации) можно осуществлять на основе характеристики резуль-

5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики

182

татов такой координации, безотносительно самого процесса координации. Поэтому в связи с анализом рыночного равновесия уместным является вопросом о том, является ли равновесие эффективным, т. е. принадлежит ли оно границе Парето.

Определение 49:

Допустимое состояние экономики (x˜, y˜) является Парето-улучшением для допустимого состояния (x, y) или, другими словами, доминирует его по Парето, если для каждого потребителя i I выполнено x˜i <i xi и существует хотя бы один потребитель i0 для которого x˜i0 i0 xi0 .

Допустимое состояние экономики (xˆ, yˆ) называется Парето-оптимальным, если для него не существует Парето-улучшений8.

Множество оптимальных по Парето состояний образует границу Парето, P , экономики. Проиллюстрируем понятие оптимальности по Парето с помощью диаграммы Эджворта

(см. Рис. 5.3). Парето-оптимальность состояния xˆ равносильна тому, что множества L+1 (xˆ1) и L++2 (xˆ2) не имеют общих точек и множества L++1 (xˆ1) и L+2 (xˆ2) не имеют общих точек

на ящике Эджворта. Здесь L+i (xˆi) — множество потребительских наборов, которые не хуже для потребителя i, чем набор xˆi , а L++i (xˆi) — множество потребительских наборов, которые лучше, чем набор xˆi . Для оптимальности достаточно, чтобы множества L+1 (xˆ1) и L+2 (xˆi) имели только одну общую точку — xˆ .

x12 x21

L+1 (xˆ1)

xˆ

L+2 (xˆ2)

x11

x22

Рис. 5.3. Иллюстрация Парето-оптимальности на ящике Эджворта

5.4.1Характеризация границы Парето через задачу максимизации взвешенной суммы полезностей

Чтобы находить границу Парето, удобно пользоваться вспомогательной задачей. Сопоста-

P

вим каждому из потребителей число αi > 0, такое что i I αi = 1, и рассмотрим следующую задачу максимизации взвешенной суммы полезностей на множестве допустимых состояний экономики:

Задача поиска оптимума Парето

X

αiui(xi) → max

x,y

i I

(x, y) E.

(Pα)

8Эта концепция оптимальности была предложена итальянским экономистом Вильфредо Парето в книге V. Pareto: Manuele di economia politica, Milan: Societa Editrice Libaria, 1906.

5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики

183

Здесь (x, y) E означает, что (x, y) — допустимое состояние экономики E . Чтобы показать связь этой задачи с Парето-границей, введем также вспомогательное понятие слабой Парето-границы.

Определение 50:

Допустимое состояние экономики (x˜, y˜) является строгим Парето-улучшением для допустимого состояния (x, y) или, другими словами, строго доминирует его по Парето, если для каждого потребителя i I выполнено x˜i i xi .

Допустимое состояние экономики (xˆ, yˆ) принадлежит слабой границе Парето, WP , если не существует другого допустимого состояния, которое строго доминирует его по Парето.

Очевидно, что по определению обычная (сильная) граница Парето P всегда содержится в слабой границе Парето WP , т. е. P WP .

Теорема 65:

(1)Если (xˆ, yˆ) — решение задачи (Pα), то (xˆ, yˆ) принадлежит слабой границе Парето,

аесли, кроме того, αi > 0 i I , то (xˆ, yˆ) принадлежит (сильной) границе Парето.

(2)Пусть множества Xi выпуклы, функции полезности ui(·) непрерывны и вогнуты, технологические множества Yj выпуклы. Тогда если (xˆ, yˆ) принадлежит слабой границе

ем задачи (Pα).	i	(	Pi I	α	i	= 1), что (xˆ, yˆ) является решени-
Парето, то найдутся такие неотрицательные α

Доказательство: (1) Предположим, что существует решение задачи (Pα), (xˆ, yˆ), которое не принадлежит слабой границе Парето. Тогда найдется такое допустимое состояние (x˜, y˜), что ui(x˜i) > ui(xˆi) i I . При этом значение целевой функции задачи (Pα) будет больше в точке x˜ , чем в точке xˆ , а это противоречит тому, что (xˆ, yˆ) — решение задачи (Pα). Доказательство для случая положительных коэффициентов и обычной (сильной) границы Парето полностью аналогично.

(2) Пусть (xˆ, yˆ) принадлежит слабой границе Парето. Введем обозначение

u(x) = (u1(x1), . . . , un(xn))

и рассмотрим следующее множество:

U− = { v Rn | (x, y) E : v 6 u(x) } .

Множество U− непусто, так как u(xˆ) U− . Покажем, что U− — выпуклое множество.

Пусть v0 U− и v00 U− . Это означает, что существуют допустимые состояния экономики, (x0, y0) и (x00, y00), такие что v0 6 u(x0) и v00 6 u(x00). Выпуклая комбинация этих состояний,

(βx0 + (1 − β)x00, βy0 + (1 − β)y00), где β [0, 1],

является допустимым состоянием экономики. Так как ui(·) — вогнутые функции, то

u(βx0 + (1 − β)x00) > βu(x0) + (1 − β)u(x00).

Это означает, что βv0 + (1 − β)v00 6 u(βx0 + (1 − β)x00), т. е. выпуклая комбинация точек из U− тоже принадлежит U− :

βv0 + (1 − β)v00 U−, при β [0, 1].

Множество u(xˆ) + Rn++ = { v Rn | vi > ui(xˆi) i I } также является непустым и выпуклым.

5.4. Парето-оптимальные состояния экономики и их характеристики

184

Поскольку (xˆ, yˆ) принадлежит слабой границе Парето, то рассмотренные множества не

имеют общих точек:

U− ∩ (u(xˆ) + Rn++) = ,

в противном случае мы нашли бы допустимое состояние экономики, в котором каждый потребитель имел бы б´ольшую полезность, чем в (xˆ, yˆ). По теореме отделимости существует разделяющая эти два множества гиперплоскость, т. е. существуют вектор a Rn , a 6= 0 и

число b, такие что

av 6 b при v U−

и

av > b при v u(xˆ) + Rn++.

Покажем, что a > 0. Предположим, что существует потребитель i, для которого ai < 0. Тогда

если v u(xˆ) + Rn++ , то v + tei u(xˆ) + Rn++ , где t — положительное число, ei — i-й орт. Мы всегда можем подобрать достаточно большое t, чтобы выполнялось a(v + tei) < b, а это

противоречит тому, что v + tei u(xˆ) + Rn++ .

Рассмотрим последовательность vN = u(xˆ)+1/N ·1l, где 1l — вектор, состоящий из единиц.

Поскольку vN u(xˆ) + Rn++ N , то avN > b. Переходя к пределу, получим au(xˆ) > b. С другой стороны, u(xˆ) U− и au(xˆ) 6 b. Следовательно, au(xˆ) = b.

v2

u(xˆ)+R++2

u(xˆ)

U−

v1

Рис. 5.4.

Таким образом, мы доказали существование гиперплоскости в Rn , с коэффициентами a >6= 0, которая проходит через u(xˆ) и разделяет множества U− и u(xˆ) + Rn++ (см. Рис. 5.4). Возьмем в качестве коэффициентов αi нормированные коэффициенты ai :

ai

αi = Pj J aj .

Не существует допустимого состояния (x, y), такого что

XX

αiui(xi) >	αiui(xˆi).
i I	i I

Действительно, для такого состояния выполнено u(x) U− , откуда au(x) 6 au(xˆ). Разделив

задачи (Pα).	P i	, получим αu(x)	6	αu(xˆ). Это означает, что (xˆ
это неравенство на	a				, yˆ) является решением

Из этой теоремы следует, что множество решений задачи (Pα) при неотрицательных коэффициентах совпадает со слабой границей Парето и, следовательно, содержит в себе границу Парето. С другой стороны, множество решений задачи (Pα) при положительных коэффициентах содержится в границе Парето. Другими словами, эта задача позволяет получить для