14.3. Картель и сговор

534

В случае двух фирм эта дифференциальная характеристика означает, что кривые равной прибыли касаются друг друга (см. Рис. 14.8). Дифференциальную характеристику можно пере-

писать в виде:

n

0 ˇ · X ˇ − 0 p (Y ) λiyˇi + λk[p(Y ) ck(ˇyk)] = 0 k.

i=1

Поскольку λj = 1, то из убывания функции спроса следует, что первое слагаемое не равно нулю, и что все множители Лагранжа положительны.

Пользуясь этими соотношениями, докажем, что сговор неустойчив, если нет каких-то механизмов, принуждающих к выполнению соглашений. Конкретнее, подразумевается, что если в точке сговора любая фирма немного увеличит свой выпуск, то ее прибыль возрастет.

Теорема 142:

Пусть

1) при сговоре все фирмы производят продукцию в положительных количествах: yˇj >

0 j ,

0ˇ

2)обратная функция спроса убывает и дифференцируема, причем p (Y ) < 0;

3)функции издержек дифференцируемы,

4)функции прибыли вогнуты.

Тогда в точке сговора

∂Πk (ˇy1, . . . , yˇn) > 0 k. ∂yk

Доказательство: Пользуясь дифференциальной характеристикой внутренней точки сговора и положительностью всех множителей Лагранжа, получим

λ

∂Πk

(ˇy , . . . , yˇ ) =

X6

λ

∂Πi

(ˇy , . . . , yˇ ) = p0(Yˇ )

Xi6

λ yˇ > 0 k.

k ∂yk

1

i ∂yk

1

n −

i i

n −

·

i=k

=k

14.3.3Картель

Рассмотрим теперь модель картеля. Поскольку фирмы могут перераспределять прибыль и целевые функции олигополистов квазилинейны по деньгам, то максимум суммарной прибыли есть Парето-оптимум олигополии. Фактически, картель действует как монополия, однако, следует несколько изменить модель, по сравнению со случаем обычной монополии, поскольку у каждой из входящих в картель фирм своя функция издержек. Суммарная прибыль равна

n	n
X	X
	Πj = p(Y )Y − cj(yj),
j=1	j=1

где Y = y1 + · · · + yn — суммарный объем производства. Продифференцировав по выпускам всех фирм, получим дифференциальную характеристику равновесия картеля:

p(Y K) + p0(Y K)Y K 6 c0j(yjK),

p(Y K) + p0(Y K)Y K = c0j(yjK), если yjK > 0.

Как видим, картель так распределит объемы производства между предприятиями при положительных объемах выпуска, чтобы предельные издержки были равными25. Так, если c0j(yj) = cj , то совокупный выпуск отрасли совпадает с равновесием при монополии, когда предельные издержки монополиста равны

c = min cj.

j

25Отметим, что это также означает такое распределение выпуска среди участников картеля, которое минимизирует суммарные издержки.

14.3. Картель и сговор

535

Пример 75:

Пусть как и в Примере 72 обратная функция спроса линейна: p(y) = a − by, а функции издержек имеют вид cj(yj) = cyj . Объем производства картеля определяется соотношением

p(Y K) + p0(Y K)Y K = a − bY K − bY K = c = c0j(yjK).

Таким образом, он равен

Y K = a2−b c,

а прибыль картеля равна

(a − bY K)Y K − cY K = (a − c)2 .

4b

В равновесии Курно, как мы показали в Примере 72, суммарный объем производства равен

Y = n(a − c) (n + 1)b

а суммарная прибыль, как несложно рассчитать, равна

n(a − c)2

(n + 1)2b,

откуда ясна неоптимальность равновесия Курно с точки зрения производителей. Они могли

бы получать больше прибыли, если бы производили меньше.

4

Используя ту же логику доказательства, как в Теоремах 137 и 138, можно показать, что олигополисты будут производить меньше, если объединятся в картель, чем если они будут конкурировать по Курно (здесь, как и ранее, мы предполагаем равенство функций издержек у всех олигополистов). Доказательство соответствующей теоремы оставляется читателю в качестве упражнения. Аналогичное утверждение верно и без требования равенства функций издержек, но с сильными предположениями о функции выручки26.

Теорема 143:

Пусть

1)равновесия в модели Курно и модели картеля существуют и все фирмы производят продукцию в положительных количествах: yjK > 0 j ,

2)обратная функция спроса убывает и дифференцируема, функция выручки p(y)y вогнута,

3)функции издержек cj(·) дифференцируемы и выпуклы,

Тогда в точке картеля суммарный выпуск меньше, чем в равновесии Курно:

Y > Y K.

В общем случае ничего определенного относительно соотношения между объемом выпуска картеля и выпуском в равновесии Курно сказать нельзя. Ниже приводится пример, когда картель выпускает больший объем продукции, чем в одном из (трех) равновесий Курно.

26См. E. Wolfstetter: Topics in Microeconomics : Industrial Organization, Auctions, and Incentives, Cambridge University Press, 1999 (3.4.4, “What if Suppliers form a Cartel?”, p. 98), 3.4.4, “What if Suppliers form a Cartel?”, p. 98.

14.3. Картель и сговор						536
Пример 76:
Пусть в отрасли функция обратного спроса равна
	p(y) = 9 − y
и есть два производителя с одинаковыми функциями издержек
c(y) =	6y − 4y2			, y 6 4,
	3			y		4.
	12,
					>

В этой отрасли есть 3 равновесия Курно: (2, 2), (0, 9/2) и (9/2, 0). Максимум прибыли картеля достигается в точках (0, 9/2) и (9/2, 0). Видно, что в симметричном равновесии (2, 2) выпуск

меньше, чем у картеля.

4

Заметим, что хотя в данном примере функция издержек недифференцируема, ее легко модифицировать, сгладив в окрестности точки y = 4. По-видимому, основная причина полученного результата состоит в том, что в этом примере имеет место возрастающая отдача.

Ясно, что так же как и рассмотренный ранее сговор, картель является неустойчивым, если нет способа гарантировать выполнение соглашения между фирмами.

Теорема 144:

Пусть

1)в картеле все фирмы производят продукцию в положительных количествах: yjK > 0 j ,

2)обратная функция спроса убывает и дифференцируема,

3)функции издержек дифференцируемы.

Тогда в точке картеля

∂Πj	K	K
	(y1	, . . . , yn) > 0	j,
∂yj

т. е. каждая фирма может повысить свою прибыль, увеличив свой выпуск.

Доказательство: Производная функции прибыли j -го участника по своему выпуску равна

∂Πj = p(Y ) + p0(Y )yj − c0j(yj). ∂yj

Учитывая дифференциальную характеристику точки (y1K, . . . , ynK),

		p(Y K) + p0(Y K)Y K = cj0 (yjK),
имеем
	∂Πj	(y1K, . . . , ynK) = −p0(Y K)(Y K − yjK) > 0.
	∂yj

Таким образом, если достигнуто соглашение о квотах выпуска (yj = yjK), максимизирующих суммарную прибыль, то каждой фирме выгодно (по крайней мере локально) производить больше своей квоты.