9.4. Оптимум второго ранга. Налог Рамсея

324

а) В этом равновесии один из потребителей получает положительный трансферт, покупает первое благо и продает второе, а другой потребитель получает положительный трансферт, покупает второе благо и продает первое.

б) Один из потребителей получает положительный трансферт, покупает первое благо и продает второе, а другой потребитель получает отрицательный трансферт и продает оба блага.

в) Один из потребителей получает положительный трансферт и покупает оба блага, а другой потребитель получает отрицательный трансферт и продает оба блага.

г) Один из потребителей получает положительный трансферт и покупает оба блага, а другой потребитель получает отрицательный трансферт, продает первое благо и покупает второе.

/ 442. В экономике с двумя благами, цены которых равны 4 и 2 потребитель имеет начальные запасы (20, 10). Потребитель также получает доход в виде прибыли величиной 12, и, кроме того, платит налог на покупку второго блага в размере 50% цены.

а) Каким будет бюджетное множество потребителя? (Изобразите соответствующую фигуру на графике с указанием координат вершин.)

б) Функция полезности потребителя имеет вид u(x1, x2) = x1 + x2 . Каким будет выбор потребителя?

/ 443. В экономике с двумя благами, цены которых равны 4 и 2 потребитель имеет начальные запасы (20, 10). Потребитель может получить доход только от продажи начальных запасов. Он, кроме того, платит подушный налог величиной 12 и налог на покупку второго блага в размере 1.

а) Каким будет бюджетное множество потребителя? (Изобразите соответствующую фигуру на графике с указанием координат вершин.)

б) Функция полезности потребителя имеет вид u(x1, x2) = min{x1, x2}. Каким будет выбор потребителя?

9.4Оптимум второго ранга. Налог Рамсея

Предположим, что для неких целей государству требуется собрать определенную сумму налогов. Например, это может быть требование собрать столько налогов, чтобы на эту сумму можно было приобрести некоторый заданный набор благ11. Коль скоро Парето-оптимум в равновесии с налогами недостижим, то естественно поставить задачу уменьшить в каком-то смысле «бремя», связанное с налогами.

Обычные Парето-оптимальные состояния определяются на множестве всех (физически) допустимых состояний экономики. Поскольку при ограничении на сумму собранных налогов не все допустимые состояния могут быть реализованы как равновесие с налогами, то естественно рассматривать только состояния, которые могут быть реализованы как такое равновесие, и изменить соответствующим образом понятие оптимальности.

Обычный Парето-оптимум принято называть оптимумом первого ранга, а Парето-оптимум, который определяется на множестве всех тех состояний, которые могут быть реализованы с помощью равновесий из определенного класса — оптимумом второго ранга.

11Как известно, в модели общего равновесия цены определены только с точностью до положительного множителя, поэтому не имеет смысла рассматривать чисто номинальное задание по сбору налогов. Необходимо каким-то образом связать денежную сумму с реальными величинами.

9.4. Оптимум второго ранга. Налог Рамсея

325

Определение 67:

Оптимум второго ранга — это такое состояние экономики из заданного множества состояний, для которого не существует другого состояния экономики из того же множества состояний, которое доминировало бы его по Парето.

Таким образом, можно сформулировать следующую задачу оптимального налогообложения: подобрать такие налоги, чтобы равновесие с этими налогами являлось оптимумом второго ранга при некотором заданном ограничении на сумму налогов.

Рассмотрим квазилинейную сепарабельную экономику12.

Нам достаточно рассмотреть одного репрезентативного потребителя с функцией полезно-

сти

X

u(x, z) = v(x) + z = vk(xk) + z

k K

и одного репрезентативного производителя с функцией издержек

X

c(y) = ck(yk).

k K

Предполагаем, что запасы обычных благ равны нулю, поэтому материальные балансы для них имеют вид:

xk = yk.

Если в эту экономику вводятся налоги с единицы товара (unit taxes) на все блага, кроме последнего (по которому квазилинейна функция полезности)13, то на каждом рынке существует две цены — цена производителя (pLk ) и цена потребителя (pHk ), которые связаны между собой соотношением

pHk = pLk + tk.

Из задачи потребителя получаем, что в равновесии (внутреннем в смысле xk > 0) выполнено условие первого порядка

pHk = vk0 (xk).

Аналогично для репрезентативного производителя

pLk = c0k(yk).

Таким образом, дифференциальная характеристика равновесия с налогами в рассматриваемой квазилинейной сепарабельной экономике имеет вид

vk0 (xk) = c0k(xk) + tk.

Задача оптимального налогообложения состоит в том, чтобы собрать с рынков обычных благ определенную сумму налогов таким образом, чтобы благосостояние было максимальным, где благосостояние измеряется функцией (индикатором благосостояния)

W = v(x) − c(y).

12См. F. P. Ramsey: A Contribution to the Theory of Taxation, Economic Journal 37 (1927): 47–61. Хотя в статье Ф. Рамсея это не оговаривается в явном виде, но речь там, фактически, идет о квазилинейной экономике. В этом параграфе анализ проводится на той же модели, но при упрощающем предположении о сепарабельности функции полезности и функции издержек (т. е. в терминологии Рамсея в предположении, что «товары независимы»).

13Это благо в теории оптимального налогообложения обычно интерпретируется как время потребителя, которое он может делить между досугом и трудом.

9.4. Оптимум второго ранга. Налог Рамсея

326

Эквивалентная формулировка состоит в том, чтобы минимизировать чистые потери от налогов

ˆ −

DL = W W,

где ˆ — максимально возможный уровень благосостояния, достигаемый в Парето-оптимуме.

W

Внутреннее равновесие с налогами не может быть оптимумом первого ранга, поскольку в оптимуме предельная оценка должна совпадать с предельными издержками:

vk0 (ˆxk) = c0k(ˆxk).

Другими словами, чистые потери в равновесии с налогами положительны (если только налоги не равны нулю).

Из сепарабельности следует, что общие чистые потери есть сумма чистых потерь по отдельным рынкам, измеряемых разностью

DLk = vk(ˆxk) − ck(ˆxk) − vk(xk) − ck(xk) .

При дифференцируемости эти потери можно представить в виде интеграла:

xˆ	vk0	(s) − ck0 (s) ds.
DLk = Zxkk

Поскольку, как обычно в квазилинейной экономике, vk0 (·) представляет собой обратную функцию спроса, а c0k(·) — обратную функцию предложения, то чистые потери на отдельном рынке геометрически равны площади «треугольника» между кривой спроса, кривой предложения, и прямой, представляющей объем продаж в равновесии с налогами (заштрихованная фигура на Рис. 9.6). Задача оптимального налогообложения сводится к минимизации суммы таких «треугольников» по всем рынкам.

Dk

Sk

pHk

tk

pLk

Рис. 9.6. Чистые потери благосостояния на рынке k-го блага

Таким образом, ставится задача нахождения оптимума второго ранга путем выбора налоговых ставок tk , максимизирующих благосостояние при следующих ограничениях:

1)Состояние экономики должно быть равновесием с налогами.

2)Сбор налогов не должен быть меньше заданной величины R.

(Можно, наоборот, рассматривать максимизацию сбора налогов при ограничении на величину потерь благосостояния.)

В результате приходим к следующей задаче

XX

W =	vk(xk) −	max
		ck(xk) → xk,tk
	k K	k K

vk0 (xk) = c0k(xk) + tk, k,

X

tkxk > R.

k K

9.4. Оптимум второго ранга. Налог Рамсея

327

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид

L =		vk(xk) − ck(xk) + λ		X		tkxk − R +		σk[vk0	(xk) − ck0	(xk) − tk].
X		X					kX
	K		K		K			K
k		k		k

Приравняем производные к нулю:

∂L	= vk0 (xk) − ck0 (xk) + λtk + σk(vk00(xk) − ck00(xk)) = 0,
∂xk
		∂L	= λxk − σk = 0.
	∂tk

Отсюда, учитывая, что vk0 (xk) − c0k(xk) = tk , и исключая множители Лагранжа σk получаем, что искомое состояние должно описываться соотношением

tk + λtk + λxk(vk00(xk) − c00k(xk)) = 0,

или

tk = 1 +λ λxk(−vk00(xk) + c00k(xk)),

Учтем, что vk0 (·) — обратная функция спроса, а c0k(·) — обратная функция предложения. Это позволяет записать формулу через эластичности спроса и предложения:

		1			v0		(xk)
εkD(xk) =					k					(< 0),
		vk00(xk)
						xk
		1						c0	(xk)
εS(x ) =								k			.
k	k		ck00(xk)						xk

Кроме того, поскольку мы рассматриваем состояние равновесия с налогами, то можно заменить vk0 (xk) на pHk и c0k(xk) на pLk .

Окончательно, получаем формулу (формулу Рамсея)					! .
tk = 1 + λ ·		εDk	+ εSk
	λ	pH		pL
		| k |		k

Подставив в эту формулу pHk = pLk + tk , выразим из нее tk и разделим на pLk :

				1		+	1
	tk	= λ	|εkD|				εkS				.
	pL					1
	k	1 + λ + λεS

k

При малой величине собираемых налогов, R, множитель Лагранжа, λ, мал. Действительно, можно доказать, что при R = 0 множитель Лагранжа λ равен нулю. Пусть это не так и λ > 0. Воспользуемся тем, что

tk = 1 +λ λxk(−vk00(xk) + c00k(xk)).

При λ > 0 из условий Куна — Таккера ограничение на сбор налогов должно выполняться

P

как равенство, т. е. k K tkxk = R = 0. Подставим в это ограничение tk :

λ	x2( v00(x ) + c00(x )) = 0.
1 + λ	kX	− k	k k k
	k
	K