s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s				Глава
Риск и неопределенность				7

Принятие экономическим субъектом решений в условиях риска (неопределенности) означает, что его благосостояние в будущем зависит от двух факторов: его решения в данный момент и от того, какое состояние мира (состояние природы) реализуется в будущем: какая будет погода, экономическая конъюнктура и т. п. Что именно произойдет, человек, принимающий решение, может только догадываться. Когда же определенное состояние реализуется, то принятое решение уже нельзя изменить.

Таким образом, для характеристики ситуации выбора в условиях неопределенности мы должны, в дополнение к множеству возможных решений A, описать множество состояний мира S и множество исходов (результатов) принятия решений X . При этом исход xa(s) X , описывает, что «получает» данный субъект в состоянии мира s S , если принимает решение a A. Это может быть, например, некоторый набор из множества допустимых потребительских наборов. Часто рассматривают случай, когда X = R (или R+ ). В этом случае исходы обычно называют выигрышами (денежными выигрышами). Ряд положений теории выбора в условиях неопределенности не зависит от природы рассматриваемых исходов.

Предполагается, что на множестве состояний мира S задано тем или иным способом распределение вероятностей. Этот объект называется вероятностным пространством. Тогда с точки зрения теории вероятностей множество состояний мира S — это множество элементарных событий, а функция xa(·), описывающая исходы действия a во всех состояниях мира, — это случайная величина. Соответствующую случайную величину мы будем обозначать x˜a . В дальнейшем, чтобы не усложнять анализ техническими деталями, мы, как правило, будем предполагать, что множество состояний мира S конечно: S = {1, . . . , N}. Тогда случайная величина x˜a является дискретной и может быть описана таблицей:

12 . . . N

xa1	xa2	. . .	xaN
µa1	µa2	. . .	µaN

Здесь µas > 0 — вероятность того, что реализуется состояние мира s при условии, что осу-

P

ществлены действия a (принято решение a). Сумма вероятностей равна единице: s S µas = 1.

Мы будем часто говорить об x˜a как о случайных величинах, но, вообще говоря, речь неявно идет и о соответствующих вероятностных пространствах. А именно, объект x˜a включает в себя не только информацию о функции xa(·), но и о вероятностях состояний мира µas , т. е. всю информацию, содержащуюся в приведенной таблице. Будем называть x˜a случайным потребительским набором.

Как обычно, мы следуем неоклассической парадигме и предполагаем, что индивидуум осуществляет принятие решения в условиях риска на основании своих предпочтений. Вообще говоря, для предсказания поведения индивидуума достаточно задать его предпочтения на множестве возможных решений A. Однако, хотелось бы иметь более общее описание, чтобы анализировать поведение в условиях риска не в одной конкретной ситуации, задаваемой набором исходов xas и вероятностей состояний мира µas , а в некотором достаточно богатом

235

7.1. Представление предпочтений линейной функцией полезности

236

множестве таких ситуаций. Таким образом, следует предположить существование предпочте-

˜
ний на множестве A×X пар (a, x˜), где случайный потребительский набор x˜ включает исходы
xs и их вероятности µs (s S ).	˜

Рассматривая предпочтения на A × X , мы неявно предполагаем, что, вообще говоря, индивидууму не безразлично, какие действия a он предпринял. Содержательно это означает, что при принятии решения важны как исходы xs принятого решения при всех возможных состояниях мира S , так и (говоря неформально) возможные издержки получения исходов, связанные с действиями a. Однако все последствия предпринятых действий мы можем включить в наборы xs , так что сами по себе действия a будут носить «нейтральный» характер. Другими словами, мы без потери общности можем рассматривать ситуацию, когда экономическому субъекту безразлично, какое решение привело к данным результатам:

Для любых двух решений a, b A и любого случайного потребительского набора

˜ ˜ ˜ ˜ x X выполнено (a, x) (b, x).

Таким образом, мы можем считать, что предпочтения заданы на множестве ˜ .

X

Множество возможных случайных потребительских наборов, ˜ , должно быть достаточно

X

богатым. Удобно предположить, что оно имеет структуру X × M , где M — множество (симплекс) всех возможных векторов вероятностей µ = {µs}s S , удовлетворяющих естественным требованиям µs > 0 s S и Ps S µas = 1.

В следующих двух параграфах мы покажем, что при некоторых предположениях относи-

тельно предпочтений на множестве ˜ существует представляющая их функция полезности

X

U(·) особого вида (линейная по вероятностям состояний мира). Этот материал может быть пропущен без ущерба для понимания последующего изложения.

7.1Представление предпочтений линейной функцией полезности

Как уже сказано выше, мы будем исходить из того, что у принимающего решение индивидуума имеются некоторые предпочтения {<, , } на множестве случайных потребительских наборов. Как обычно, будем при этом предполагать, что предпочтения являются неоклассическими (в частности, отношение отрицательно транзитивно и асимметрично):

0 На × ˜ заданы неоклассические предпочтения { }.

(A1 ) A X <, ,

Как известно, если предпочтения являются неоклассическими (рациональными) и непрерывными, они могут быть представлены функцией полезности. В этом параграфе, опираясь на результаты последующего, мы покажем, что при выполнении некоторых дополнительных предположений относительно предпочтений, представляющая их функция полезности имеет некоторый специальный вид.

Итак, наша цель состоит в том, чтобы доказать, что представляющая рассматриваемые предпочтения функция полезности имеет вид:

X

U(x˜) = µsu(xs).

s S

Функция U(·) такого вида называется функцией Неймана — Моргенштерна (ожидаемой полезностью), а функция u(·), заданная на множестве исходов X , — элементарной функцией полезности (функцией Бернулли)1.

1Эта функция впервые была выведена на основе аксиом Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном в их знаменитой книге John Von Neumann and Oskar Morgenstern. Theory of Games and Economic Behavior,

7.1. Представление предпочтений линейной функцией полезности

237

Первое предположение, которое требуется сделать, состоит в том, что для потребителя не имеет значения само по себе состояние мира. Это предположение позволяет характеризовать предпочтения на случайных потребительских наборах x˜ посредством предпочтений на лотереях — объектах более простой природы. Если для потребителя не имеет значения само по себе состояние мира, и потребление xs в нескольких различных состояниях мира совпадает, то можно «объединить» эти состояния и сложить вероятности. Получившийся объект

ибудет называться лотереей. Лотерея включает информацию только о результатах, которые непосредственно влияют на потребителя, и вероятностях получения этих результатов, но не содержит информации о том, как эти результаты получены, и каким состояниям мира они соответствуют.

Покажем, как построить такие лотереи и осуществить соответствующий переход к предпочтениям на них. Пусть, например, имеется три равновероятных состояния мира: «желтое», «фиолетовое» и «голубое». В желтом состоянии мира потребитель потребит 1 кг картошки

и2 л пепси-колы, в фиолетовом также 1 кг картошки и 2 л пепси-колы, а в голубом — 3 кг картошки и 1 л пепси-колы. В результате получаем лотерею, в которой набор (1, 2) имеет вероятность 2/3, а набор (3, 1) — вероятность 1/3.

Вобщем случае пусть x˜ — случайный потребительский набор. Рассмотрим множество {x˙ j} всех различных между собой исходов xs из этого случайного набора, которым соответствуют положительные вероятности (другими словами, это носитель соответствующей случайной

величины). Каждому исходу x˙ j сопоставляется вероятность pj , равная сумме вероятностей состояний мира, в которых исход равен x˙ j , то есть

Xs	j
pj =	µs.
s:x =x˙

Такие объекты (множества различных исходов и их вероятности) принято называть лотереями на множестве X . Построенную на основе исходного случайного потребительского набора x˜

˜ лотерею будем обозначать ˜ . Множество построенных таким образом лотерей будем

X `(x)

обозначать L:

no

L˜ ˜ ˜

=`(x) x X .

Если потребовать, чтобы при сравнении разных x˜ принимались во внимание только исходы

и вероятности их получения, то предпочтения на множестве ˜ порождают предпочтения на

X

множестве лотерей, порожденных этими величинами. В таком случае можно рассматривать непосредственно лотереи и предпочтения на множестве лотерей. Таким образом, мы предпо-

лагаем, что исходные предпочтения на ˜ удовлетворяют следующему свойству:

X

00 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

(A1 ) Если для x, y X выполнено `(x) = `(y), то x y.

Несложно понять, что предпочтения на множестве L, построенные на основе исходных, будут неоклассическими.

Дальнейшее изложение не зависит от способа задания множества лотерей L и предпочтений на нем. Поскольку многие ситуации выбора изначально представляются как ситуации выбора на множестве лотерей, то приведенный ниже анализ имеет и самостоятельное значение.

Если множество состояний мира достаточно «большое» и множество ˜ достаточно бога-

S X

то, то и множество лотерей L будет достаточно представительным. Мы будем предполагать, что множество лотерей L содержит все так называемые простые лотереи, выделяемые следующим определением.

Princeton University Press, 1944 (рус. пер.: Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970). Сама идея ожидаемой полезности появилась гораздо раньше (см. напр. работу Даниила Бернулли упоминаемую в сноске ?? на с. ??).

7.1. Представление предпочтений линейной функцией полезности

238

Определение 53:

Под простой лотереей мы будем понимать лотерею с конечным носителем, т. е. пару (Xp, p), где Xp — конечное подмножество множества исходов X , а p — вектор вероятностей получения исходов из Xp .

Если множество состояний мира конечно, то все лотереи из множества L будут простыми. Однако при этом L не может содержать все простые лотереи, поскольку количество исходов в носителе лотереи не может быть больше числа состояний мира.

Вначале мы охарактеризуем условия существования функции полезности Неймана — Моргенштерна для предпочтений, заданных на множестве, состоящем только из простых лотерей. Позже мы поясним, как этот результат распространить на более общий случай.

Простую лотерею можно представить следующей таблицей (где, как говорилось выше, все x˙ j предполагаются различными):

x˙ 1	x˙ 2	· · ·	x˙ k
p1	p2	· · ·	pk

В дальнейшем удобно простую лотерею представлять в виде функции p(·), заданной на всем множестве X , считая, что p(x) = 0, если x / Xp и p(xj) = pj . Тогда без потери общности простую лотерею (Xp, p) можно отождествлять с p, где p понимается как сокращенное обозначение функции p(·). В дальнейшем будем придерживаться этого упрощения. Будем обозначать соответствующее p множество Xp , т. е. носитель лотереи, через Supp(p).

Supp(p) = x X p(x) > 0 .

Понятно, что по определению вероятности

X

p(x) = 1.

x Supp(p)

Множество всех простых лотерей участника обозначим S . В дальнейшем мы будем предполагать, что предпочтения заданы на всех возможных парах элементов множества S .

Как уже говорилось из предположений (A10 ) и (A100 ) следует, что предпочтения на лотереях являются неоклассическими (рациональными). Поскольку в дальнейшем мы будем работать только с простыми лотереями, то переформулируем исходные предположения в терминах этих лотерей:

(A1) На множестве простых лотерей S заданы неоклассические предпочтения {<, , }. Кроме рациональности предпочтений на лотереях, нам потребуется также сделать два важ-

ных предположения о свойствах комбинаций лотерей.

Определение 54:

Для любой пары простых лотерей p, q S и числа α [0, 1] определим выпуклую комбинацию (смесь) p α q как простую лотерею, носителем которой является объединение носителей лотерей p и q:

Supp(p α q) = Supp(p) Supp(q),

а вероятность исхода x рассчитывается по формуле

αp(x) + (1 − α)q(x), x Supp(p α q).

Построение выпуклой комбинации лотерей с различающимися множествами исходов иллюстрирует Рис. 7.1.

Одна из возможных интерпретаций операции выпуклой комбинации лотерей p α q состоит в том, что рассматривается двухэтапная лотерея: лотерея с двумя исходами, которые в

7.1. Представление предпочтений линейной функцией полезности

239

свою очередь являются обычными одноэтапными лотереями. В первоначальной лотерее вероятности равны α и 1 − α: с вероятностью α реализуется исход p, а с вероятностью 1 − α — исход q. При этом предполагается, что оценка лотереи потребителем не зависит от способа ее реализации: двухэтапная и соответствующая ей одноэтапная лотереи эквивалентны. То есть в оценке любой лотереи потребитель ориентируется лишь на исходы этой лотереи и вероятности, с которыми эти исходы реализуются, что и подразумевает предположение (A100 ). Так, две показанные на Рис. 7.1 лотереи эквивалентны, поскольку приводят в конечном итоге к одним и тем же исходам с одинаковыми вероятностями этих исходов, и поэтому их можно рассматривать как одну и ту же альтернативу.

p	x1		αp+(1−α)q		x1
α
1−p	x2		α(1	p)
q	x1		−		x2
			(1−α)(1−q)
1−α
1−q	x3		(б)		x3
(а)

Рис. 7.1. (а) Две простые лотереи, p и q и (б) их выпуклая комбинация p α q

Легко понять, что множество всех простых лотерей S содержит все выпуклые комбинации своих элементов: если p, q S , тогда p α q S , α [0, 1]. Но ясно, что для произвольного подмножества множества S это свойство может не выполняться.

Мы будем исходить из того, что для выпуклых комбинаций лотерей выполнены следующие два предположения:

(A2) Аксиома независимости от посторонних альтернатив:

Пусть p q и r — произвольная лотерея. Тогда для любого α, 0 < α 6 1 выполняется соотношение p α r q α r.

Эту аксиому можно интерпретировать через двухэтапные лотереи. Предположим, что индивидуум считает лотерею p более предпочтительной, чем q. Ему предлагают выбрать заранее, что он предпочтет — p или q, и проводят лотерею, исходами которой с вероятностями α и 1 − α соответственно являются та из лотерей p и q, которую он выбрал, и лотерея r. Ясно, что он выберет p. Но это, фактически, то же, что выбирать между двумя двухэтапными лотереями: лотереей, где исходами являются p и r с вероятностями α и 1 − α соответственно, и лотерей, где исходами являются q и r с вероятностями α и 1−α. Следовательно, индивидууму следует выбрать первую из этих двухэтапных лотерей, что и означает, что p α r q α r.

(A3) Аксиома исчерпания Архимеда:

Если p q r, то существуют числа α, β (0, 1), такие что

p α r q p β r.

Эта аксиома утверждает, что если лотерея q лучше r, но хуже p, то не может быть так, чтобы все нетривиальные смеси лотерей p и r были либо лучше, либо хуже q: найдется хотя бы одна смесь, которая хуже q, и хотя бы одна смесь, которая лучше q.

При этих предположениях предпочтения на простых лотереях задаются функцией, которая линейна по вероятностям (имеет вид Неймана — Моргенштерна).

Определение 55:

Функция полезности U(·), представляющая предпочтения на простых лотереях, называется функцией полезности Неймана — Моргенштерна, если существует определенная на множестве

7.1. Представление предпочтений линейной функцией полезности		240
исходов X функция u(·), такая что	X
x
U(p) =	p(x)u(x).

Supp(p)

Мы хотим доказать следующий результат2.

Теорема 84:

Если предпочтения на множестве простых лотерей S удовлетворяют предположениям (A1)-(A3), то существует представляющая их функция полезности U(·), имеющая вид Неймана — Моргенштерна. Такое представление единственно с точностью до линейного преобразования.

Теорема 84 указывает предположения о предпочтениях на простых лотереях (на множестве S ), гарантирующие существование функции полезности U(p), имеющей вид Неймана — Моргенштерна. Этих предположений, вообще говоря, недостаточно для того, чтобы гарантировать существование подобной функции полезности на более сложных лотереях. Однако, если в дополнение к свойствам (A1)-(A3) предположить, что предпочтения определены на множестве всех лотерей, заданных на X , (т. е. борелевских вероятностных мер на множестве X ) и непрерывно (в слабой топологии) на этом множестве, то построенную функцию U(p) можно определить на любой вероятностной борелевской мере стандартным способом, поскольку множество простых мер является плотным во множестве всех борелевских мер. Читатель может попробовать доказать соответствующие утверждения самостоятельно, обращаясь, в случае необходимости, к учебникам по математическому анализу и топологии.

Таким образом, мы можем определить полезность U как функцию от лотереи p L. По-

кажем, что эта же функция задает предпочтения на множестве исходных случайных величин

˜ ˜ x X .

Действительно эта функция (рассматриваемая как функция U(x˜)), обладает тем свойством, что если случайным величинам x˜ и y˜ соответствует одна и та же лотерея, то по предположению (A100 ) x˜ и y˜ эквивалентны, и, следовательно, U(x˜) = U(y˜). При этом функция U(x˜) оказывается линейной по исходным вероятностям µs . Для того, чтобы это показать, следует вспомнить, как мы построили вероятности p(x), x Supp(p), на основе исходных вероятностей µs :

kk

x X	X	X X j	X
U =	p(x)u(x) =	pju(x˙j) =	µsu(xj) =	µsu(xs).
Supp(p)	j=1	j=1 s:xs=x˙	s	S

Окончательно получаем следующий вид для функции полезности, представляющей исходные

предпочтения на ˜ :

X

X

U(x˜) = µsu(xs).

s S

Заметим, что, в соответствии с определением функции Неймана — Моргенштерна, ее можно записать в следующем виде

U(x˜) = E u(x˜).

где E — оператор математического ожидания. Заметим также, что этот вид не зависит от предположений о конечности множества состояний мира. Если это множество не является конечным, то соответствующие суммы по s S заменяются интегралами. В дальнейшем

2Здесь используется не та система аксиом, которая предложена в книге фон Неймана и Моргенштерна. Мы исходим из ставшего традиционным подхода Н. Йенсена (N. E. Jensen: An Introduction to Bernoullian Utility Theory, I: Utility Functions, Swedish Journal of Economics 69 (1967): 163–183.