11.6. Голосование простым большинством

417

Ясно, что равновесие при консенсусе может существовать лишь при специальном подборе долей финансирования. Поэтому рассмотренная здесь концепция равновесия имеет, как и равновесие Линдаля, только теоретическое значение. Его можно использовать как своего рода исходный пункт при анализе долевого финансирования. В общем случае, при произвольно выбранных долях финансирования общественного блага, нет оснований ожидать, что при любых рыночных ценах желаемые объемы потребления общественных благ у всех потребителей будут совпадать. Поэтому возникает проблема согласования их предпочтений относительно этих количеств.

Другими словами, в концепции равновесия с долевым финансированием способ финансирования общественных благ следует дополнить некоторым механизмом принятия коллективных решений об объемах производства общественных благ, который бы «работал» и при отсутствии консенсуса. Ниже приводятся примеры таких механизмов.

11.5.1Задачи

/ 512. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида:

u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).

Производная v0(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = 4y.

Финансирование общественного блага осуществляется на долевой основе с долями δ1 и δ2 . Известно, что был достигнут консенсус. Что можно сказать об отношении долей δ1/δ2 ? Обоснуйте свое утверждение.

/ 513. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функциями полезности вида:

u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).

Производная v0(x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = 5y.

Финансирование общественного блага осуществляется на долевой основе с долями 2/3 и 2/3. При каких условиях на a и b в этой экономике не может быть достигнут консенсус? Обоснуйте свое утверждение.

11.6Долевое финансирование с равновесием при голосовании простым большинством

Один из самых распространенных механизмов принятия общественных решений (процедур коллективного выбора) — это голосование.

При анализе голосования мы будем исходить из предпочтений потребителей на наборах общественных благ (при заданных рыночных ценах и структуре общественных расходов). Для этого рассмотрим следующие задачи:

ui(x(1), x(2)i ) → max

XX

δik(xk)pkxk +	pkxik6βi,	(11.5)
k K1	k K2

(x(1), x(2)i ) = xi Xi,

11.6. Голосование простым большинством

418

где полезность максимизируется по x(2)i при заданной величине x(1) . На основе этих задач предпочтения можно задать с помощью функции полезности u˜i(·), сопоставляющей каждому набору общественных благ x(1) максимально достижимое значение полезности в данной задаче.

Одна из самых распространенных процедур — голосовании по правилу простого большинства.

Определение 78:

Пусть A — множество альтернатив и {<i}i — набор предпочтений i = 1, . . . , m на A. Альтернатива a¯ A называется равновесием при голосовании по правилу простого большинства

если не существует такой альтернативы a A, что она лучше a¯ по большинству предпочтений.

На основе этой процедуры можно предложить концепцию равновесия для экономики с общественными благами.

Определение 79:

Равновесие с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого большинства есть набор (p¯, x¯, y¯), такой что18

???list # (x¯, y¯) — допустимое состояние экономики с общественными благами;

# для каждого потребителя x¯(2)i является решением задачи (11.5) при ценах p, доходах

X

βi = p¯ωi + γijp¯y¯j + Si

j J

иобъемах потребления общественных благ x(1) = x¯(1) ;

#x¯(1) — равновесие при голосовании по правилу простого большинства для альтернатив, заданных множеством наборов общественных благ X(1) , и набора предпочтений, заданных

функциями u˜i(·);

# каждая технология y¯j является решением соответствующей задачи производителя (11.3) при ценах p¯ .

Выбор количества общественных благ с помощью голосования простым большинством сталкивается с двумя серьезными проблемами:

(1)Такое равновесие существует только при довольно ограничительных предположениях. Известный парадокс Кондорсе19 показывает, что, вообще говоря, при числе участников не менее трех (> 3) равновесие при голосовании может не существовать даже при конечном числе альтернатив.

(2)Даже если равновесие существует, оно обычно не Парето-оптимально.

Существование равновесия при голосовании можно гарантировать в случае, когда предпочтения потребителей однопиковые.

Приведем определение понятия однопиковых предпочтений для частного случая, когда множество альтернатив A является подмножеством действительных чисел (этот случай соответствует экономике, в которой существует только одно общественное благо). Отношение

18По-видимому, впервые голосование по поводу выбора объема общественного блага было проанализировано Говардом Боуэном в статье H. R. Bowen: The Interpretation of Voting in the Allocation of Economic Resources,

Quarterly Journal of Economics 58 (1943): 27–48.

19 Жан Антуан Кондорсе (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat marquis de Condorcet), 1743-1794 — французский математик и социолог.

В примере Кондорсе рассматриваются 3 участника, выбирающие из 3 альтернатив. Парадокс возникает, когда предпочтения заданы следующим образом:

a1 1 a2 1 a3, a3 2 a1 2 a2, a2 3 a3 3 a1.

11.6. Голосование простым большинством

419

предпочтения <i потребителя (на множестве альтернатив A) однопиковое, если выполняются следующие условия:

(a) существует оптимальная с точки зрения потребителя i альтернатива aˆi (альтернатива aˆi такая, что aˆi <i a для всех a A);

(b)если a1 6 a2 6 aˆi , то a2 <i a1 ;

(c)если a1 > a2 > aˆi , то a2 <i a1 .

Проиллюстрируем сказанное на примере квазилинейной экономики. Пусть доля δi каждого потребителя в финансировании общественного блага постоянна и положительна. Тогда предпочтения потребителя i на множестве возможных вариантов потребления общественного блага задаются функцией

u˜i(x) = vi(x) − δipx.

Будем считать, что для любого i функция u˜i(x) достигает максимума на множестве неотрицательных чисел при любом положительном p. Обозначим это оптимальное с точки зрения потребителя i количество общественного блага xˆi 20. Тогда соответствующие предпочтения являются однопиковыми (при aˆi = xˆi ) на множестве альтернатив A = [0, ∞).

Действительно, по построению величина xˆi — максимум функции u˜i(x) на множестве A. Несложно также проверить, что, поскольку vi0(x), не убывает, эти предпочтения удовлетворяют условиям (b) и (c).

Заметим, что величину u˜i(ˆxi) = vi(ˆxi) − δipxˆi можно интерпретировать как потребительский излишек, соответствующий индивидуализированной цене общественного блага δip.

Если предельные издержки vi0(·) являются непрерывной функцией, то xˆi удовлетворяет

соотношениям

vi0(ˆxi) 6 δip,

причем, если xˆi > 0, то

vi0(ˆxi) = δip.

Эти уравнения задают равновесие.

Возможное поведение оценок u˜i(xi) объемов общественного блага для случая, когда m = 3, приведено на диаграмме:

u˜1	(x)	u˜3	(x)

u˜2(x)

xˆ1 xˆ2 xˆ3

x

Заметим, что в случае, когда m — нечетное число (m = 2s + 1), равновесие при голосовании имеет особо простую структуру. В этом случае равновесной является медиана из объемов xˆi , то есть (s + 1)-й по порядку возрастания объем. (Если все величины xˆi разные, ровно s = (m − 1)/2 потребителей предпочитает увеличить потребление общественного блага, а другие s потребителей желали бы его уменьшить). В приведенном на диаграмме примере это альтернатива xˆ2 . Таким образом, равновесие при голосовании определяется предпочтениями медианного потребителя. Обозначим индекс такого потребителя через i . Заметим, что i , вообще говоря, зависит от цены общественного блага p, поскольку от p зависят функции u˜i(x).

20Условие vi0(xi) → 0 при xi → ∞ гарантирует существование такого количества.

11.6. Голосование простым большинством

420

Учитывая сказанное, (внутреннее) равновесие на рынке общественного блага в состоянии равновесия с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого большинства характеризуется следующим образом. Если y¯ — равновесный объем, а p — равновесная цена общественного блага, то

p = c0(¯y) и xˆi = y,¯

где i — медианный потребитель при цене p.

Вобщем случае при нахождении равновесия для нахождения медианного потребителя нужно знать равновесную цену, которая, в свою очередь, зависит от медианного потребителя (желаемого им объема потребления общественного блага).

Но если предельные издержки производства общественного блага постоянны, то (во внутреннем равновесии) равновесная цена известна заранее — она равна предельным издержкам

иi — медианный потребитель при этой цене.

Вобщем случае найти медианного потребителя при «правильной» цене можно на основе

следующего приема.

Заметим сначала, что поскольку p = c0(ˆxi ), то величина xˆi является решением одного из следующих m уравнений

vi0(xi) = δic0(xi).

Предположим, что x¯i — медиана из рассматриваемых величин {x¯i} — решений таких уравнений. Тогда x¯i является предпочитаемым медианным потребителем объемом потребления общественного блага (то есть xˆi = x¯i ), а величина p¯ = c0(¯xi ) — равновесной ценой общественного блага.

Для доказательства этого факта достаточно показать, что при цене p¯ = c0(¯xi ) потребитель i является медианным потребителем. Покажем это. Для каждого потребителя i, такого что x¯i 6 x¯i , величина c0(¯xi) не превышает величину равновесной цены p¯ = c0(¯xi ). Поэтому предпочитаемое при цене p потребителем i количество общественного блага xˆi — решение уравнения vi0(xi) = δip¯ — не превышает величину x¯i . Таким образом xˆi 6 xˆi . Аналогичным образом показывается, что если x¯i > x¯i , то xˆi > xˆi . А это и означает, что потребитель i является медианным при ценах p¯ = c0(¯xi )21.

С другой стороны, если предельные полезности, деленные на доли, vi0(xi)/δi , упорядочены одинаково вне зависимости от уровня общественного блага, то медианный потребитель не зависит от цены.

Сравним оптимальное количество общественного блага и его объем в равновесии при голосовании с долевым участием.

В особой ситуации, когда доли расходов равны предельным полезностям, соответствующим его оптимальному количеству, т. е. δi = vi0(ˆx), для всех участников выполнено соотношение: xˆi = xˆ, т. е. xˆ предпочитается всеми потребителями (а не только более чем их половиной) любой другой альтернативе.

Но при определении «правильных» долей финансирования мы должны опираться на приватную информацию о предпочтениях потребителей, т. е. решить проблему выявления предпочтений, трудности решения которой мы уже обсуждали и будем обсуждать ниже.

21Можно рассмотреть и несколько другую процедуру — голосование относительно величины издержек на производство общественного блага, r = c(x) (с индуцированными на множестве возможных общественных издержек предпочтениями v˜i(r) = vi(c−1(r))). Анализ этого механизма проводится по той же схеме. При этом оказывается, что величина c(¯xi ) представляет собой равновесное значение издержек. Таким образом, медианные общественные издержки соответствуют медианному уровню общественного блага, хотя эти две процедуры голосования подразумевают разные расходы (так как величина

px¯i = c0(¯xi )¯xi ,

вообще говоря, отлична от величины c(¯xi )).

11.6. Голосование простым большинством

421

В общем случае мы можем ожидать как недопроизводства общественного блага (ˆxi , xˆ)), так и его перепроизводство.

Пусть, например, потребители финансируют общественное благо поровну, т. е. δi = m1 , где число потребителей m нечетное. Тогда в равновесии при голосовании объем потребления общественного блага xˆi будет таким, что

vi0 (ˆxi ) = m1 c0(ˆxi ).

С другой стороны, оптимальный (по Парето) объем потребления общественного блага есть величина xˆ, такая что

1	Xi I	vi0(ˆx) =	1	c0(ˆx).
m			m

Таким образом, объем производства общественного блага в равновесии при голосовании с равными долями финансирования xˆi является оптимальным тогда и только тогда, когда средняя предельная полезность для этого количества равна предельной полезности медианного потребителя.

Легко придумать такой набор функций vi(x), что для любого объема потребления общественного блага x средняя предельная полезность больше предельной полезности медианного потребителя. В этом случае (при убывающей отдаче) можно доказать, что xˆ > xˆi . Если бы xˆ 6 xˆi , то

m1 c0(ˆx) = m1 X vi0(ˆx) > v˜i0 (ˆx) > v˜i0 (ˆxi ) = m1 c0(ˆxi ).

i I

Наоборот, если для любого объема потребления общественного блага x средняя предельная полезность меньше предельной полезности медианного потребителя, то xˆ < xˆi . Если бы xˆ > xˆi , то

m1 c0(ˆx) = m1 X vi0(ˆx) < v˜i0 (ˆx) 6 v˜i0 (ˆxi ) = m1 c0(ˆxi ).

i I

Пример 56 ((продолжение Примеров 54 и 55)):

В рассмотренном выше примере, когда

vi(xi) = 2αi ln xi и c(y) = y2,

имеем xˆi = √mαi и xˆ = √mα¯ , где α¯ = Pi I αi/m. Поэтому xˆ > xˆi тогда и только тогда, когда α¯ > αi .

Пусть, например, αi = i, и m нечетно. Тогда

α¯ = αi = i = m 2+ 1,

и объем производства общественного блага в равновесии при голосовании совпадает с оптимальным.

Если αi = i2 , то
α¯ =	(m + 1)(2m + 1)		и αi = (i )2 =	(m + 1)2
					.
				4
6
Поскольку α¯ > αi при m > 1, то xˆ > xˆi .

Если αi = exp(γi), то при γ > 0 выполнено α¯ > αi	и xˆ > xˆi . В то же время при γ < 0
выполнено α¯ < αi и xˆ < xˆi .	4