4.5.		Агрегирование в производстве					159
		б) f(r) =		i airiρ ,		i},
		в) f(r) =		P { i	/a
				min r
/		г) f(r) =		i airi .
	231.		Предположим, что предприятие имеет строго вогнутую производственную функцию
				P
f(r). Рассмотрим следующие две задачи:
						wr → minr	f(r) → maxr
						y 6 f(r)	wr 6 c

Докажите следующие два утверждения:

I. Пусть r является решением первой задачи. Тогда r является решением второй задачи при c = wr .

II. Пусть r является решением второй задачи. Тогда r является решением первой задачи при y = f(r ).

/ 232. Предположим, что предприятие со строго вогнутой производственной функцией f(r) имеет функцию издержек c(w, y). Докажите, что оптимальный объем производства в следующих двух задачах совпадает:

py − wr → maxy,r

py − c(w, y) → maxr

y6 f(r)

/233. Доказать, что если функция издержек выпукла, то производителю выгоднее производить продукцию, чем закрыться (производить нулевой объем).

/234. Докажите Теорему 56.

/235. Докажите Теорему 57.

/236. Докажите Теорему 58.

/237. Докажите Теорему 60.

/238. Докажите Теорему 61.

/239. Пусть функция издержек строго вогнута, и, кроме того, c(0) = 0. Докажите, что данная функция издержек была порождена производственной функцией, которая в точках оптимального выбора производителя характеризуется возрастающей отдачей от масштаба.

/240. Для технологии, описываемой производственной функцией f(r) = rα , вычислите функцию издержек. Покажите, что функция издержек однородна по цене фактора производства и выпукла по выпуску y.

/241. Показать, что если производственная функция квазивогнута и обладает постоянной отдачей от масштаба, то функция предельных издержек не убывает по выпуску.

/242. Покажите, что издержки фирмы возрастут, если цены на все выпускаемые этой фирмой продукты увеличатся пропорционально.

/243. Покажите, что если производственная функция строго вогнута, то функция издержек строго выпукла.

4.5Агрегирование в производстве

Пусть существует n фирм с технологическими множествами Yj , j = 1, . . . , n. Зададимся вопросом о том, можно ли найти технологическое множество YΣ , такое чтобы производитель с таким технологическим множеством (репрезентативный производитель или агрегированный производитель) демонстрировал определенном смысле такое же поведение, как и n исходных производителей.

4.5. Агрегирование в производстве

160

Оказывается, что такое технологическое множество построить очень просто:

X

YΣ = Yj,

j

т. е.

X

YΣ = { yj | yj Yj } .

j

Теорема 62:

(1) Если при ценах p технология y¯j является решением задачи j -го производителя,

то технология

X y¯Σ = y¯j

j

является решением задачи агрегированного производителя при тех же ценах.

(2) Обратно, если y¯Σ является решением задачи агрегированного производителя, то найдутся технологии y¯j , каждая из которых является решением задачи соответствующего

производителя.
Доказательство: Доказательство оставляется читателю в качестве упражнения.

Как следствие указанного свойства, между функциями прибыли существует следующая связь:

X

πΣ(p) = πj(p).

j

Если fj(·) — производственная функция j -й фирмы, то агрегированная фирма будет иметь производственную функцию fΣ(·), которая получается как значение следующей задачи:

X

fj(rj) → max

j rj Rj

X

rj = rΣ.

j

Можно показать, что построенная таким образом функция fΣ(·) будет производственной функцией, соответствующей агрегированному технологическому множеству YΣ .

Аналогично, если cj(·) — функция издержек j -й фирмы, то агрегированная фирма будет иметь функцию издержек cΣ(·), которая получается как значение следующей задачи:

Xj	cj(w, yj) → yj Yjo
		max
	Xj	yj = yΣ.

4.5.1Задачи

/244. Докажите Теорему 62.

/245. Докажите, что приведенный в этом параграфе способ агрегирования производственных функций корректен.

/246. Докажите, что приведенный в этом параграфе способ агрегирования функций издержек корректен.

/247. Технологические множества n фирм одинаковы и состоят из двух технологий, (0, 0) и (−1, 1). Опишите агрегированное технологическое множество YΣ . Покажите, что усредненное технологическое множество YΣ/n в пределе заполняет весь отрезок между (0, 0) и (−1, 1).

4.5. Агрегирование в производстве

161

/248. Повторите анализ предыдущей задачи для ситуации, когда технологические множества дополнены свободой расходования.

/249. Технологические множества n фирм одинаковы и заданы неравенствами

(yj1 + 1)2 + (yj2 + 1)2 6 2, j = 1, . . . , n.

Найдите неравенство, задающее соответствующее агрегированное технологическое множество.

/ 250. Технологические множества n фирм одинаковы и заданы неравенствами

yj1 + yj22 6 0, j = 1, . . . , n.

Найдите неравенство, задающее соответствующее агрегированное технологическое множество.

/ 251. Для следующих производственных функций, j = 1, . . . , n, найдите агрегированную производственную функцию:

а) fj(r) = αjr,

б) fj(r) = αj√ln(r + 1), в) fj(r) = αj r,

г) fj(r) = αj(1 − exp(−r)),

/ 252. Для следующих функций издержек, j = 1, . . . , n, найдите агрегированную функцию издержек:

а) cj(w, y) = wαjy,

б) cj(w, y) = wαj(exp(y) − 1), в) cj(w, y) = wαjy3 ,

г) cj(w, y) = −wαj ln(1 − y),

/253. Фирма имеет n заводов, издержки производства которых описываются следующими функциями: ci(w, y) = wαiy2 , i = 1, . . . , n. Определите функцию издержек фирмы.

/254. Фирма имеет два завода, издержки производства которых описываются следующими функциями c1(w, y) = wαy2 , c2(y) = wβy. Определите функцию издержек фирмы.

s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s				Глава
Классические				5
(совершенные) рынки.
Общее равновесие

Анализ классических рынков уместно начать с перечисления характеристик рынков, при наличии которых их называют совершенными или классическими:

1)Отсутствие экстерналий — не опосредованных рынком влияний одних экономических субъектов на других. На поведение экономических субъектов поведение других экономических субъектов может влиять только через уровни цен и фиксированные денежные трансферты (например, получение потребителем прибыли с принадлежащих ему предприятий).

2)Существуют рынки всех благ, от которых зависят полезности потребителей и/или технологические множества производителей.

3)Существующие рынки является связанными: любое благо можно поменять на любое другое благо.

4)Совершенная конкуренция: каждый экономический субъект считает, что он не может повлиять на цены, принимает их как данные («достаточно мал»).

5)Нет издержек сделок, нет «рыночного трения». Цена покупки и цена продажи совпадают.

6)Совершенство информации. Уровни цен и характеристики обмениваемых благ известны каждому экономическому субъекту.

Реальные рынки далеки от совершенных рынков, однако их анализ выявляет некоторые эффекты, общие для всех рынков, и предваряет анализ несовершенных. В теоремах благосостояния мы покажем, что совершенный рынок как механизм согласования интересов экономических субъектов приводит к Парето-оптимальным исходам. В дальнейшем мы рассмотрим отдельные типы рыночных несовершенств и связанные с ними отклонения равновесий от Па- рето-оптимальности, то есть так называемые фиаско рынка.

5.1Классическая модель экономики. Допустимые состояния

Пусть имеются l > 1 благ и m > 1 потребителей. Каждый из потребителей характеризуется неоклассическими предпочтениями {i, <i, i} на множестве Xi , а также принадлежащими ему начальными запасами ωi . Как правило, в дальнейшем мы будем предполагать, что предпочтения потребителя представимы функцией полезности ui(·)1. Множество Xi — это множество всех тех наборов, которые потребитель (физически) в состоянии потребить. Обычно в микроэкономических моделях множество Xi совпадает с неотрицательным ортантом: Xi = Rl+ . Но мы не вводим такой априорной предпосылки, рассматривая и ситуации, когда Xi не совпадает с Rl+ . Например, в ситуации, когда одним из благ является досуг, его потребление ограничено бюджетом времени потребителя. Другое ограничение может состоять в том, что потребление тех или иных благ не может быть ниже некоторой положительной пороговой величины («прожиточного минимума»). В ситуации, когда потребители сами создают некоторые блага, их можно моделировать отрицательными компонентами потребительских наборов.

1Если неоклассические предпочтения непрерывны, то, в соответствии с теоремой Дебре, существует представляющая данные предпочтения непрерывная функция полезности ui(·).

162

5.1. Классическая модель экономики. Допустимые состояния

163

Кроме того, пусть в экономике есть n производителей (фирм), каждый из которых характеризуется производственным множеством Yj (множеством векторов чистого выпуска); k-я компонента вектора yj Yj показывает, сколько k-го блага выпускается j -м производителем. Технологические множества Yj в дальнейшем мы будем часто задавать в виде неявных производственных функций gj(·). Напомним, что по определению gj(·) называется неявной производственной функцией, если технология yj принадлежит технологическому множеству Yj тогда и только тогда, когда gj(yj)>0. Как и ранее, с целью упрощения изложения мы будем рассматривать только скалярные неявные производственные функции. Переформулировка рассматриваемых ниже теорем для случая векторных неявных производственных функций (т. е. технологических множеств, задаваемых несколькими ограничениями) не связана с какими-либо концептуальными трудностями.

Таким образом, классическая модель экономики задается следующими компонентами:

âI = {1, . . . , m} — множество потребителей,

âJ = {1, . . . , n} — множество производителей (фирм),

âK = {1, . . . , l} — множество товаров (благ),

âXi Rl — множество допустимых наборов i-го потребителя,

â{ i, <i, i} — предпочтения потребителя или ui(·) — функция полезности i-го потребителя (ui : Xi 7→R),

âωik — начальный (до обмена) запас k-го блага у i-го потребителя,

âYj Rl — технологическое множество (множество допустимых технологий) j -го производителя, gj(·) — неявная производственная функция (gj : Rl 7→R).

Для описания состояния экономики используются следующие переменные:

âxik — потребление i-м потребителем k-го блага (k K ),

âxi = (xi1, . . . , xil) — потребительский набор i-го потребителя,

âx = (x1, . . . , xm) — потребительские наборы всех потребителей,

âyjk — производство j -м производителем k-го блага (это чистый выпуск, т. е. отрицательные компоненты соответствуют затратам),

âyj = (yj1, . . . , yjl) — технология j -го производителя,

ây = (y1, . . . , yn) — набор технологий всех производителей.

Набор (x, y) = ({xi}i I , {yj}j J ) называют состоянием экономики. Естественно рассматривать не все такие наборы, а только (физически) допустимые состояния экономики.

Определение 43:

Под допустимым состоянием экономики принято понимать такую пару (x, y), что

X при всех i I	вектор	xi	является допустимым набором для i-го потребителя (т. е.
xi Xi ),		yj
X при всех j J	вектор		является допустимой технологией для j -го производителя
(т. е. yj Yj ),

X для экономики в целом выполнены балансы (общий объем потребления в экономике по каждому благу равен сумме общего объема производства и суммарных начальных запасов):

Xi I	Xi I jX
	xik = ωik + yjk, k K.
	J

Отметим, что часто в моделях общего равновесия используются полубалансы:

Xi I	Xi I jX
xik 6	ωik + yjk, k K.
	J

При этом строгое неравенство должно означать, что в экономике осталось непотребленное благо. В рамках моделей с балансами в виде равенств возможность «выбрасывать» блага можно моделировать с помощью технологических множеств со свободой расходования по данным